Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

1
Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych
Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne „fałsz” i „prawda”, to działanie
elementów dwustanowych opisują operacje dwuelementowej algebry Boole’a.
Algebrę Boole’a definiują: dwuelementowy zbiór {0, 1} oraz trzy operacje: alternatywa (OR),
koniunkcja (AND) i negacja (NOT) wraz ze zbiorem aksjomatów i twierdzeń.
Zmienne należące do zbioru {0, 1} oraz ww. operacje nazywamy zmiennymi i operacjami
logicznymi.
Układy realizujące funkcje logiczne nazywamy funktorami logicznymi (powszechnie używa
się też określenia: bramki logiczne)
NEGACJA ( ang. NOT, pol. NIE, mat. ¬ )
Jest to zamiana wartości cyfry na przeciwną (tzn. 0 na 1 i 1 na 0).
¬0=1
¬1=0
Działanie podstawowych operacji logicznych często przedstawia się w postaci układów
elektrycznych zawierających żarówki i wyłączniki. Przyjmując, że wyłącznik zwarty i
świecąca się żarówka reprezentują jedynkę, a wyłącznik rozwarty i zgaszona żarówka
reprezentują zero, działanie negacji realizuje przedstawiony niżej układ
Negacja jest operacją jednoargumentową. Symbol graficzny funktora realizującego negację
Negacja jest najprostszym działaniem logicznym. Wynikiem jest liczba przeciwna do
wyjściowej.
Działanie funktora NOT
2
SUMA LOGICZNA ( ang. OR, pol. LUB, mat. ∨ )
Suma logiczna dwu cyfr binarnych jest równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy obydwie cyfry
są równe 0
0∨0=0
0∨1=1
1∨0=1
1∨1=1
Sumę logiczną realizuje przedstawiony niżej układ
Symbol graficzny funktora OR
oraz przykłady działania tego funktora
ILOCZYN LOGICZNY ( ang. AND, pol. I, mat. ∧ )
Iloczyn logiczny dwu cyfr binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy, gdy obydwie
cyfry są równe 1
0∧0=0
0∧1=0
1∧0=0
1∧1=1
3
Iloczyn logiczny realizuje przedstawiony niżej układ
Symbol graficzny funktora AND
oraz przykłady działania tego funktora
Funktory NAND i NOR
NAND ≡ NOT AND
Symbol graficzny funktora NAND
NOR ≡ NOT OR
Symbol graficzny funktora NOR
4
ALTERNATYWA WYKLUCZAJĄCA ( ang. XOR, pol. ALBO, mat. ⊕ )
inaczej: różnica symetryczna, suma modulo 2
XOR ≡ eXclusive OR
Alternatywa wykluczająca dwu cyfr binarnych jest równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy
obydwie cyfry są jednakowe.
0⊕0=0
0⊕1=1
1⊕0=1
1⊕1=0
Symbol graficzny funktora XOR
2. Podstawowe operacje logiczne dla liczb binarnych
W operacjach logicznych liczba binarna jest traktowana jako zbiór pojedynczych cyfr.
Przykład:
3. Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Dodawanie. Liczby dwójkowe dodajemy podobnie, jak dziesiętne. Gdy po dodaniu dwóch
cyfr uzyskuje się wartość niemożliwą do zapisania pojedynczą cyfrą, zachodzi tzw.
przeniesienie. Odejmujemy wtedy od wyniku podstawę systemu, a do następnej (starszej)
pozycji dodajemy 1.
W przypadku liczb dwójkowych przeniesienie wystąpi już wtedy, gdy wynik dodawania dwu
cyfr jest większy od 1
5
Reguły dodawania:
Odejmowanie. Reguły odejmowania:
Mnożenie i dzielenie. Przykłady
6
Mnożenie przez 2 w układzie binarnym → przesunięcie liczby o jedną pozycję w lewo i
dopisanie zera z prawej strony liczby
Dzielenie przez 2 w układzie binarnym → przesunięcie liczby o jedną pozycję w prawo i
odrzucenie ostatniej cyfry (jeśli liczba parzysta to tą cyfrą jest zero)
Przykład: mnożenie przez 10 w układzie dziesiętnym i przez 2 w dwójkowym
Podobnie mnożenie i dzielenie w układzie dwójkowym przez 4 i inne potęgi dwójki –
przesunięcie w lewo lub w prawo o odpowiednią liczbę pozycji.
4. Liczby ujemne
Przedstawiony wyżej system binarny, określany mianem naturalnego kodu binarnego (NKB
lub NB) pozwala na zapis tylko liczb dodatnich i zera. Aby możliwe było zapisywanie liczb
ujemnych, konieczna jest modyfikacja zapisu w taki sposób, żeby ciąg zer i jedynek zawierał
informacją zarówno o wartości bezwzględnej, jak i o znaku liczby.
4.1. System znak-moduł (ZM)
Pierwszy bit jest bitem znaku (nie przypisuje mu się wagi), 0 oznacza +, 1 oznacza np. dla liczb czterobitowych:
5
-5
0101
1101
bit znaku
Niestety, przyjęcie takiego systemu zapisu liczb komplikuje operacje binarnego dodawania i
odejmowania, które są wykonywane przez procesor.
Zero nie jest reprezentowane jednoznacznie, mamy bowiem np.
0000
1000
+0
-0
(podwójna reprezentacja zera)
7
4.2. System uzupełnieniowy do 2 (U2)
Znak liczby nie jest tu oddzielony od jej wartości , a „ujemność” liczby jest wbudowana w
metodę zapisu. Najstarsza waga jest ujemna, np. dla liczb czterobitowych mamy wagi:
-23 22
-8 4
21 20
2 1
czyli dla liczb czterobitowych:
0000
0
0001
1
......................
0111
7
1000
-8
1001
-7
1010
-6
1011
-5
......................
1111
-1
(tzn. -8+0)
(tzn. -8+1)
(tzn. -8+2)
(tzn. -8+3)
(tzn. -8+7)
Zalety:
- Każda liczba dodatnia zaczyna się od zera, a ujemna od jedynki
- Tylko jedno zero
- Łatwa zmiana znaku liczby
- Operacje arytmetyczne jak dla liczb NB
Wady:
- Porządek kodów nie jest zgodny z porządkiem liczb
4.2.1. Zmiana znaku liczby w kodzie U2
Aby zmienić znak liczby, należy zamienić wszystkie cyfry na przeciwne, czyli 0 na 1 oraz 1
na 0 (w kierunku od lewej do prawej) za wyjątkiem najmniej znaczącej jedynki i zer za tą
jedynką.
Przykład dla liczb czterobitowych (zamiana 5 na –5 i odwrotnie)
8
4.2.2. Dodawanie i odejmowanie liczb w kodzie U2
Dodawanie - tak samo, jak w kodzie naturalnym
Odejmowanie - dodanie z przeciwnym znakiem
Przykłady dla liczb czterobitowych
4.3. Kodowanie w systemie +N
System ten jest wykorzystywany w reprezentacjach zmiennopozycyjnych (np. IEEE754).
Porządek kodów jest zgodny z porządkiem liczb.
Przyjmuje się, że 00...000 reprezentuje liczbę najmniejszą, np. dla liczb k-bitowych
111...111
................
................
000...000
2k-1
-2k-1+1
Dla liczb 8-bitowych
11111111-> 128
11111110 -> 127
................
10000000 -> 1
01111111 -> 0
................
00000001 -> -126
00000000 -> -127
9
Dla liczb k-bitowych N=2k-1 - 1
Wartością liczby całkowitej jest
X+N = XNB – N
Przykład. Liczba 5 zapisana na 8 bitach w kodzie +N
5. Rozszerzenie nieskończone
Rozszerzenie nieskończone to rozszerzenie kodu liczby na większą liczbę pozycji z
zachowaniem oryginalnej wartości
Kod naturalny (NB) → wiodące zera są nieznaczące
Przykład:
5 zapisane na 4 pozycjach
0101
po rozszerzeniu na 8 pozycji
00000101
Kod U2 → wiodące zera (dla liczb dodatnich) są nieznaczące
wiodące jedynki (dla liczb ujemnych) są nieznaczące
Przykład:
-5 zapisane na 4 pozycjach
1011
po rozszerzeniu na 8 pozycji
11111011
6. Cyfrowe układy arytmetyczne – przykład
Odpowiednie połączenie funktorów logicznych pozwala wykonywać operacje arytmetyczne.
Reguły dodawania dwu cyfr binarnych w formie tabelki (v1 , v2 – dodawane cyfry, s – ich
suma, c – przeniesienie),
10
Urządzenie wykonujące dodawanie dwu cyfr binarnych zgodnie z ww. tabelką nazywa się
półsumatorem
Półsumator dodaje dwie cyfry dwójkowe (v1 , v2 ), podając ich sumę (s) i przeniesienie (c).
Przykład półsumatora zbudowanego z pięciu funktorów NAND
oraz sprawdzenie jego działania dla wszystkich możliwych wariantów danych wejściowych
11