Teoria Inflacji - E-SGH
Transkrypt
Teoria Inflacji - E-SGH
Ekonometria Modele VAR, przyczynowość Grangera Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Klasyfikacja modeli ekonomicznych W praktyce modelowania stosuje się wiele klas modeli ekonomicznych: – Modele czysto teoretyczne (np. model IS-LM, model Walrasa, model duoplou) – Stosowane modele teoretyczne, np. modele RBC, DSGE, CGE, ich ścisłą podstawą są modele teoretyczne, natomiast są one „zanurzone w danych” w sensie kalibracji lub estymacji parametrów – odporność na krytykę Lucasa – Modele hybrydowe, często wykorzystywane w praktyce modelowania, np. model NECMOD stosowany przez NBP – Stosowane modele empiryczne, np. modele SVAR – Structural Vector Autoregression, czyli strukturalne modele wektorowej autoregresji, w pewnym sensie włączają one trochę teorii do czysto empirycznych modeli VAR, są one bardzo często stosowane w praktyce makromodelowania, czy modele VECM – Modele czysto empiryczne, np. modele autoregresyjne AR czy ich wersja wielorównaniowa – VAR (Vector AutoRegression) Teoria ekonomii • IS-LM RBC DSGE hybrydowe SVAR VAR statystyka i ekonometria Problem endogeniczności w modelu jednorównaniowym • Endogeniczność w modelu ekonometrycznym powstaje, gdy dla pewnego 𝑗 𝐸 𝑋𝑗 𝜖 ≠ 0 • Rozważmy przykładowo model (dobrym przykładem jest model cena-ilość): 𝑦𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥𝑡 + 𝜖𝑡 w którym wiemy, że 𝑥𝑡 jest endogeniczne, czyli samo jest funkcją 𝑦𝑡 , przykładowo: 𝑥𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑦𝑡 + 𝜂𝑡 . Wtedy: 𝑎0 + 𝑎1 𝑏0 𝑎1 𝑏1 𝑦𝑡 = + 𝜂𝑡 + 𝜖 1 − 𝑎1 𝑏1 1 − 𝑎1 𝑏1 1 − 𝑎1 𝑏1 𝑡 𝑏0 + 𝑎0 𝑏1 1 𝑏1 𝑥𝑡 = + 𝜂𝑡 + 𝜖 1 − 𝑎1 𝑏1 1 − 𝑎1 𝑏1 1 − 𝑎1 𝑏1 𝑡 • Szacując model dla 𝑦𝑡 natrafiamy na problem endogeniczności, ponieważ 𝑥𝑡 jest skorelowany z 𝜖𝑡 : 𝑏0 + 𝑎0 𝑏1 1 𝑏1 𝑏1 𝐸 𝑥𝑡 𝜖𝑡 = 𝐸 + 𝜂 + 𝜖 𝜖 = 𝑉𝑎𝑟(𝜖𝑡 ) 1 − 𝑎1 𝑏1 1 − 𝑎1 𝑏1 𝑡 1 − 𝑎1 𝑏1 𝑡 𝑡 1 − 𝑎1 𝑏1 • • Zatem w przypadku współzależności zmiennych natrafiamy na problem endogeniczności, którego konsekwencją jest obciążenie otrzymanego estymatora (nie są spełnione założenia twierdzenia Gaussa-Markowa) Jednym z rozwiązań tego problemu jest zastosowanie estymatora IV (Instrumental Variable Estimator) lub łączna estymacja obu równań – czyli estymacja wielorównaniowa Modele VAR (Vector Autoregression) • Jest to ważna klasa modeli wielorównaniowych, stosowanych w makroekonometrii – Pozwala łatwo zaadresować problem endogeniczności, w praktyce spotykany niemal zawsze (przykładowo: inwestycje i produktywność, PKB i stopy procentowe, sprzedaż i wydatki reklamowe) • • • Poznamy kilka aspektów tej ważnej klasy modeli Rozważmy 2 zmienne 𝑦1𝑡 oraz 𝑦2𝑡 i ich łączny opis, bardzo przypominający prosty model AR, w którym każda zmienna zależy od opóźnionej własnej wartości oraz od opóźnionej wartości pozostałej zmiennej: 𝑦1𝑡 = 𝑏1 + 𝑎11 𝑦1𝑡−1 + 𝑎12 𝑦2𝑡−1 + 𝜖1𝑡 𝑦2𝑡 = 𝑏2 + 𝑎21 𝑦1𝑡−1 + 𝑎12 𝑦2𝑡−1 + 𝜖2𝑡 𝑦1𝑡 𝜖1𝑡 𝑎11 𝑎12 𝑏1 Oznaczając 𝑌𝑡 = 𝑦 , 𝑏 = ,𝐴 = 𝑎 oraz 𝜖𝑡 = 𝜖 układ ten 𝑏2 2𝑡 21 𝑎22 2𝑡 możemy zapisać jako: 𝑦1𝑡 𝜖1𝑡 𝑎11 𝑎12 𝑦1𝑡−1 𝑏1 = + + 𝑦2𝑡 𝑎21 𝑎22 𝑦2𝑡−1 𝜖2𝑡 𝑏2 Lub 𝑌𝑡 = 𝑏 + 𝐴 ⋅ 𝑌𝑡−1 + 𝜖𝑡 Czyli w zasadzie jest to model autoregresyjny dla wielu zmiennych Jak można łatwo zapisać model VAR z wieloma opóźnieniami? • • • Model VAR z jednym opóźnieniem zapisujemy jako VAR(1). VAR(2) wygląda następująco: 𝑌𝑡 = 𝑏 + 𝐴1 𝑌𝑡−1 + 𝐴2 𝑌𝑡−2 + 𝜖𝑡 Możemy cały ten układ zapisać jako: 𝑌𝑡 𝜖 𝐴 𝐴2 𝑌𝑡−1 𝑏 = + 1 + 𝑡 𝑌𝑡−1 0 0 𝐼 0 𝑌𝑡−2 Czyli w zasadzie w postaci VAR(1) dla zmodyfikowanych zmiennych: 𝑌𝑡 = 𝑏 + 𝐴𝑌𝑡−1 + 𝜖𝑡 Zatem każdy model VAR(p), czyli VAR rzędu 𝑝 𝑝 𝑌𝑡 = 𝑏 + 𝐴𝑖 𝑌𝑡−𝑖 + 𝜖𝑡 𝑖=1 Można zapisać jako VAR(1), jak powyżej, co jest nazywane formą kanoniczną Dygresja - operatory opóźnień i przyrosty • • • • • • • • Niech operator 𝐿 będzie operatorem opóźnień, czyli opóźnia o jeden okres obiekt, do którego został przyłożony Zatem: 𝐿𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−1 Zatem: 𝑥𝑡−2 = 𝐿𝑥𝑡−1 = 𝐿 𝐿𝑥𝑡 = 𝐿2 𝑥𝑡 a na przykład 𝐿0 𝑥𝑡 = 1 ⋅ 𝑥𝑡 = 𝑥𝑡 Ogólnie: 𝐿𝑛 𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−𝑛 Operator 𝐿 jest operatorem liniowym: 𝑎 + 𝑏𝐿𝑥𝑡 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑥𝑡−1 Zatem operator przyrostu Δ jest w zasadzie operatorem 1 − 𝐿, ponieważ Δ𝑥𝑡 = 1 − 𝐿 𝑥𝑡 = 1 ⋅ 𝑥𝑡 − 𝐿𝑥𝑡 = 𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1 Co to jest przyrost przyrostu? Δ2 𝑥𝑡 = Δ Δ𝑥𝑡 = Δ 𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1 = 𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1 − 𝑥𝑡−1 − 𝑥𝑡−2 = 𝑥𝑡 − 2𝑥𝑡−1 + 𝑥𝑡−2 . Z operatorem opóźnień można postępować jak ze zwykłym wielomianem, zatem: Δ2 𝑥𝑡 = 1 − 𝐿 2 𝑥𝑡 = 1 − 2𝐿 + 𝐿2 𝑥𝑡 = 𝑥𝑡 − 2𝑥𝑡−1 + 𝑥𝑡−2 Dygresja - model AR w notacji z operatorem opóźnień • Znamy już model AR, np.: 𝑥𝑡 = 𝛽𝑥𝑡−1 + 𝜖𝑡 • W notacji z operatorem opóźnień można go zapisać jako: 𝑥𝑡 = 𝛽𝐿𝑥𝑡 + 𝜖𝑡 1 − 𝛽𝐿 𝑥𝑡 = 𝜖𝑡 • Wiemy, że: 𝑥𝑡 = 𝛽𝑥𝑡−1 + 𝜖𝑡 = 𝛽 𝛽𝑥𝑡−2 + 𝜖𝑡−1 + 𝜖𝑡 = 𝛽 2 𝑥𝑡−2 + 𝛽𝜖𝑡−1 + 𝜖𝑡 ∞ = 𝛽 2 𝛽𝑥𝑡−3 + 𝜖𝑡−2 + 𝛽𝜖𝑡−1 + 𝜖𝑡 = 𝛽 3 𝑥𝑡−3 + 𝛽 2 𝜖𝑡−2 + 𝛽𝜖𝑡−1 + 𝜖𝑡 = 𝛽𝑖 𝜖𝑡−𝑖 𝑖=0 𝜕𝑥𝑡 = 𝛽𝑖 • Wyprowadzaliśmy z tego funkcje IRF, ponieważ: 𝜕𝜖 • Można to samo, ale łatwiej pokazać na podstawie nowej notacji. Zauważywszy, że 1 1 dla a < 1 zachodzi 1−𝑎 = 1 + 𝑎 + 𝑎 2 + ⋯ można pokazać, że: 1−𝛽𝐿 = 1 + 𝛽𝐿 + • 𝑡−𝑖 𝛽 2 𝐿2 + 𝛽 3 𝐿3 + ⋯ o ile 𝛽 < 1 Zatem: 1 − 𝛽𝐿 𝑥𝑡 = 𝜖𝑡 𝑥𝑡 = 1 𝜖𝑡 = 1 + 𝛽𝐿 + 𝛽𝐿2 + ⋯ 𝑥𝑡 1 − 𝛽𝐿 𝑥𝑡 = 𝜖𝑡 + 𝛽𝜖𝑡−1 + 𝛽 2 𝜖𝑡−2 + ⋯ Reprezentacja VMA i funkcja odpowiedzi na impuls • • • • Operator opóźnień może działać również na wektory (opóźniając jednocześnie wszystkie elementy wektora), zatem model VAR można zapisać w postaci: 𝑌𝑡 = 𝑏 + 𝐴 ⋅ 𝐿𝑌𝑡 + 𝜖𝑡 Czyli: 𝐼 − 𝐴𝐿 𝑌𝑡 = 𝑏 + 𝜖𝑡 O ile 𝐴 < 1, czyli kiedy wszystkie wartości własne macierzy 𝐴 są mniejsze co do modułu od 1 (często mówi się, że leżą w kole jednostkowym, bo zdarza się, że są one liczbami zespolonymi), to istnieje 𝐼 − 𝐴𝐿 −1 i jest ona dana 𝐼 − 𝐴𝐿 −1 = 𝐼 + 𝐴𝐿 + 𝐴2 𝐿2 + ⋯ (taki model VAR nazywamy często stabilnym) Zatem: 𝑌𝑡 = 𝐼 − 𝐴 −1 𝑏 + 𝐼 − 𝐴𝐿 −1 𝜖𝑡 𝑌𝑡 = 𝐼 − 𝐴 −1 + 𝜖𝑡 + 𝐴𝜖𝑡−1 + 𝐴2 𝜖𝑡−2 + ⋯ Powyższa reprezentacja nazywana jest VMA (Vector Moving Average) i definiuje ona funkcję odpowiedzi na impuls, czyli jak zmienne 𝑌 reagują wraz z upływem czasu na wzrost 𝜖 o jednostkę w przeszłości: 𝜕𝑌𝑡+𝑖 𝐼𝑅𝐹 𝑌𝑡+𝑖 , 𝜖𝑡 = = 𝐴𝑖 𝜕𝜖𝑡 Oczywiście o ile w przyszłości proces generujący nasze dane 𝑌𝑡 nie uległ zmianie Zastosowania modeli VAR • Z modeli VAR można wyciągną sporo dodatkowych informacji: – Funkcja odpowiedzi na impuls IRF – Prognozowanie (bardzo łatwe, nie ma potrzeby dodawania informacji z zewnątrz próby) – Dekompozycja wariancji, która informuje o tym, jak ważne są poszczególne szoki dla różnych analizowanych zmiennych w różnych horyzontach czasu, np. w krótkim i długim okresie (nie będziemy tego pokazywać) – Jak by wyglądała przeszłość, gdyby pewne szoki się nie wydarzyły, np. gdyby nie było szoków określonego typu • • • • Do tych zastosowań zazwyczaj należy nadać interpretacje ekonomiczną dla szoków, czyli „włożyć do czysto empirycznego modelu VAR” trochę ekonomii. Nazywane jest to strukturalizacją modelu VAR i polega na jego identyfikacji. Tych tematów również nie będziemy tu poruszać Jednym z ważnych zastosowań modeli VAR jest testowanie przyczynowości Wybór rzędu 𝑝 modelu VAR dokonujemy zazwyczaj na podstawie kryteriów informacyjnych – wybierając model o najniższej wartości danego kryterium Modele VAR, można jak każde modele wielorównaniowe estymować podwójną MNK (tzw. 2MNK), ale udowodniono, że jeśli model jest stabilny, to można go estymować równanie po równaniu zwykłą MNK, co daje zgodne estymatory szukanych parametrów Przyczynowość Granger’a • • • • • • Zakłada ona, że przyczyna poprzedza skutek oraz, że przyczyna zawiera informację o skutku, która jest unikalna i nie zawarta w innej zmiennej Jest to specyficzna forma „przyczynowości”, ale w praktyce często wykorzystywana Formalnie: Proces stochastyczny 𝑦2𝑡 jest przyczyną w sensie Granger’a dla procesu {𝑦1𝑡 } jeśli błąd średniokwadratowy liniowej predykcji 𝐸 𝑦1,𝑡+𝑠 𝑦1𝑡 ≠ 𝐸 𝑦1,𝑡+𝑠 |𝑦1𝑡 , 𝑦2𝑡 Czyli dodanie zmiennej 𝑦2𝑡 do równania prognozującego 𝑦1𝑡 poprawia (zmniejsza) błąd prognozy Koncept przyczynowości w sensie Granger’a jest bardzo ciekawy, ale ekonomiści tworzą modele, w których występują oczekiwania. Wtedy to przyszłe (oczekiwane) wartości danej zmiennej (np. płac, czy innych elementów kosztów krańcowych) są przyczyną dla bieżących wartości (np. cen i inflacji), czyli przyszłość wpływa na teraźniejszość. Podobnie jest w przypadku wyceny giełdowej spółek czy indeksów giełdowych. Przyczynowość Granger’a można łatwo testować w ramach modelu VAR Czy pieniądz rządzi światem? • • • Rozważmy monetarny model VAR (𝑦𝑡 - produkt, 𝑀𝑡 - pieniądz) 𝜖1𝑡 𝑎11 𝑎12 Δ log 𝑦𝑡−1 Δ log 𝑦𝑡 𝑏 = 1 + 𝑎 + 𝜖2𝑡 Δ log 𝑀𝑡 𝑏2 21 𝑎22 Δ log 𝑀𝑡−1 Przyczynowość w sensie Granger’a testuje się w zasadzie jako brak przyczynowości (Granger non-casuality), czyli restrykcje zerowe (np. za pomocą testu Walda) na poszczególne elementy macierzy 𝐴 Przykładowo jeśli pieniądz ma być przyczyną w sensie Granger’s dla produktu, to należy pozytywne przetestować zestaw 2 hipotez: – 𝑎12 ≠ 0 (pieniądz pomaga prognozować produkt) – 𝑎21 = 0 (produkt nie pomaga prognozować pieniądza) • Jeśli z kolei produkt ma być przyczyną w sensie Granger’s dla pieniądza, to należy pozytywne przetestować zestaw 2 hipotez: – 𝑎21 ≠ 0 (produkt pomaga prognozować pieniądz) – 𝑎12 = 0 (pieniądz nie pomaga prognozować produktu) • Jeśli jest inaczej, to test jest niekonkluzywny • Jeśli dobrym opisem danych jest VAR wyższego rzędu 𝑝, to należy w każdym kroku testować łączną istotność wszystkich opóźnień