W h

1. WSTĘP DO MECHANIKI KWANTOWEJ
1.1. Budowa materii i kwantowanie ładunku
Materia w skali mikroskopowej nie jest
ciągła lecz zbudowana z atomów –
mówimy, że jest skwantowana
Powierzchnia platyny
Ładunek elektryczny nie jest ciągły lecz jest wielokrotnością
ładunku elementarnego
e = 1,602 ⋅10−19 C
Ładunek elektryczny jest skwantowany
QM1
2015/16
1
1.2. Fale mechaniczne
Fala to zaburzenie lub zespół zaburzeń rozchodzących się w
przestrzeni, które mogą mieć postać impulsu lub drgań.
kierunek drgań
elementu sznura
t1
t2
v
Pewien fragment ośrodka materialnego zaczyna drgać wokół położenia
równowagi, a dzięki sprężystym własnościom tego ośrodka drgania są
przekazywane sąsiednim fragmentom i zaburzenie rozchodzi się jako
fala mechaniczna.
Fala harmoniczna - każdy element ośrodka
drga ruchem harmonicznym prostym:
QM1
2015/16
ψ (t ) = A cos (2π f t + ϕ )
A – amplituda, f – częstotliwość, ϕ
2
– faza początkowa
v
t=0
λ
ψ (x,t) - wychylenie elementu
y
w x w chwili t
ψ(x,t)
x
Pionowe wychylenie powtarzające się w przestrzeni gdy x wzrasta o λ
długość fali:
 2π
 λ
ψ ( x) = A cos

 2π

x  = A cos
(x + λ)  =ψ (x + λ)

 λ

Przemieszczenie piku z x(0) po czasie t do x(t) :
 2π
ψ ( x, t ) = A cos 
poruszającej się w prawo:
λ
Funkcja falowa fali
spełniająca równanie fali:
QM1
∂ 2ψ
∂x
2
=
x(t ) − v t = x(0)
t


 x − λ + ϕ  , gdzie v = λ / T
T


1 ∂ 2ψ
2
v
2015/16
∂t2
3
1.3. Klasyczna teoria światła
Klasyczna falowa teoria promieniowania
elektromagnetycznego oparta jest na
czterech równaniach Maxwella.
Równanie fali elektromagnetycznej
Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych
→ przemieszczanie się zmiennych pól
elektrycznych i magnetycznych.
Do rozchodzenia się nie potrzebny jest
ośrodek materialny, istnieją również w
próżni.
QM1
2015/16
4
λ
ω
Prędkość fali
v= = =
T k
elektromagnetycznej w próżni:
1
ε 0µ0
= 2,998 ⋅10 8 m/s
własności fal elektromagnetycznych:
prędkość w próżni c = (ε0 µ0) –1/2, bez względu na długość,
fale poprzeczne,
przenoszą energię i mogą ją przekazywać innym obiektom,
ich źródłami są poruszające się z przyspieszeniem ładunki,
bardzo szeroki zakres długości λ i częstotliwości ν : c = λν.
QM1
2015/16
5
Zjawiska charakterystyczne dla fal:
odbicie – zmiana kierunku ruchu na granicy ośrodków bez zmiany
ośrodka,
załamanie − na granicy ośrodków fala przechodząc do drugiego
ośrodka zazwyczaj zmienia kierunek swego ruchu,
rozszczepienie − załamanie fal zależne od ich długości powoduje
rozkład fali na fale składowe
dyfrakcja − ugięcie na przeszkodach, szczelinach o rozmiarach
porównywalnych z długością fali,
interferencja − nakładanie się fal z różnych źródeł mogące doprowadzić do ich wzmocnienia lub wygaszenia,
QM1
2015/16
6
odbicie
QM1
2015/16
7
załamanie
Prędkość rozchodzenia się światła w ośrodku
v jest różna dla każdej fali ( barwy ) λ
Rozszczepienie światła białego w pryzmacie …
Prawo załamania fali
sin α v 1
=
sin β v 2
v1
α
β
QM1
.. i w kropelce wody
v2
2015/16
8
Interferencja światła na dwu szczelinach
przesłona ze
szczelinami
ekran
r2
λ
α
r1
δ
natężenie światła
P
L >> λ
Interferencja → nakładanie się dwu lub więcej spójnych (ustalona różnica faz)
fal harmonicznych o tych samych długościach λ.
Warunek na jasny prążek (maksimum natężenia światła na ekranie w punkcie P ):
różnica dróg optycznych fal docierających do P : δ = r1 – r2 = n λ , n = 1, 2 , ....
L>>d (L – odległość szczelin od ekranu,
δ = d sin α = nλ
d – odległość między szczelinami),
QM1
2015/16
9
Dyfrakcja (i interferencja) światła na jednej szczelinie
przesłona ze
szczeliną
ekran
natężenie światła
P
λ
α
L >> λ
Warunek na wystąpienie ciemnych prążków, czyli minimów natężenia światła:
a sin α = nλ
n = 0,1,2,…,
a – szerokość szczeliny, L >> a.
α – kąt ugięcia
QM1
2015/16
10
1.4. Kwantowa teoria światła
Mechanika kwantowa → korpuskularne (cząsteczkowe) podejście do światła.
Promieniowanie elektromagnetyczne w pewnych zjawiskach należy
traktować jako strumień cząstek, fotonów, obdarzonych pędem i
mających określoną energię:
E = hν ,
h = 6,62 ⋅10 –34 J⋅s − stała Plancka,
ν – częstotliwość promieniowania
elektromagnetycznego
Idea kwantowania energii → Max Planck
Teoria Plancka promieniowania ciała doskonale
czarnego zgodna z wynikami doświadczalnymi.
W oparciu o klasyczną termodynamikę i teorię fal
elektromagnetycznych niemożliwe jest podanie
wzoru na krzywą doświadczalną I(λ).
QM1
2015/16
11
Ciało doskonale czarne - pochłaniające całe
docierające doń promieniowanie i mające największą
spośród ciał o tej samej temperaturze zdolność emisji.
Widmo promieniowania ciała widmem ciągłym.
Rozgrzane ciała emitują fale o różnych
długościach w różnych ilościach .
Ilość emitowanych fal o danej długości przez dane
ciało zależy od jego temperatury.
nowa teoria promieniowania
→ atomy i cząsteczki wysyłają promieniowanie
nie w sposób ciągły, ale w postaci porcji energii
zależnych jedynie od częstotliwości fali ν.
natężenie
Max Planck →
Pojedyncza porcja energii to kwant
QM1
2015/16
długość fali λ
12
Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne
Uwalnianie przez światło elektronów z
powierzchni różnych materiałów, np. metali.
katoda
światło
if
Fotokomórka (fotodioda próżniowa)
starego typu:
−fotokatoda emitująca elektrony pod
wpływem padającego na nią
promieniowania,
− anoda ma postać cienkiego pręta
lub pętli z drutu
anoda
A
U
QM1
W zależności od materiału z którego
wykonana jest fotokatoda i bańka lampy
zakres czułości rozciąga się od bliskiej
podczerwieni do nadfioletu i wyżej
2015/16
13
Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne
W efekcie fotoelektrycznym maksymalna energia kinetyczna
elektronu po zaabsorbowaniu fotonu o energii hν dana jest wzorem:
E kin = h ν − W ,
W − praca wyjścia równa energii potrzebnej do uwolnienia elektronu z metalu,
rzędu kilku eV.
ν − częstotliwość promieniowania, h − stała Plancka
Na gruncie fizyki klasycznej niemożliwe jest poprawne wytłumaczenie
wszystkich faktów doświadczalnych obserwowanych w tym zjawisku:
katoda
światło
ifo
Ek
J1
natężenie
światła
t
if
anoda
A
U
QM1
ν0
ν
2015/16
U
h
napięcie
polaryzacji
U
14
Na gruncie fizyki klasycznej niemożliwe jest poprawne wytłumaczenie
wszystkich faktów doświadczalnych obserwowanych w tym zjawisku:
1. Maksymalna energia kinetyczna Ek uwolnionych
elektronów niezależna od natężenia padającego światła.
ifot
Ek
J2 >J1
J1
natężenie
światła
ν0
ν
Uh
2. Występowanie zjawiska powyżej
wartości progowej częstotliwości ν0
3. Proporcjonalność maksymalnej
energii kinetycznej elektronów do
częstotliwości światła ν.
QM1
2015/16
U
napięcie polaryzacji
3. Zanik fotoprądu ifot dla napięcia
hamowania Uh = Ek /e, a dla dużych
napięć nasycenie fotoprądu
15
Einstein o zjawisku fotoelektrycznym:
światło należy traktować jako strumień cząstek – fotonów,
z których każda niesie określoną porcję (kwant) energii:
E = hν
ν − częstotliwość promieniowania, h − stała Plancka
jeden foton całkowicie absorbowany przez jeden elektron, który
dzięki temu może uzyskać maksymalną energię kinetyczną:
E kin = h ν − W ,
W − praca wyjścia równa energii potrzebnej do uwolnienia elektronu z metalu,
rzędu kilku eV (wykorzystana na pokonanie sił przyciągania pochodzących od
atomów z płytki oraz na pokrycie strat energii kinetycznej wskutek zderzeń
elektronów wewnątrz płytki).
Częstotliwość progowa:
hν 0 = W
Większe natężenie światła J to większa ilość fotonów w strumieniu
świetlnym → większa ilość fotoelektronów i wzrost fotoprądu
płynącego w obwodzie.
QM1
2015/16
16
1.5. Dwoista natura promieniowania
Dualizm falowo-korpuskularny (cząsteczkowy):
Promieniowanie elektromagnetyczne ma dwoistą naturę:
w jednych zjawiskach przejawia się falowy, w innych
cząsteczkowy charakter promieniowania
E = hν
p = h /λ
wielkości charakteryzujące fale ν, λ i wielkości charakteryzujące
fotony E, p.
Nie możemy danego procesu fizycznego z udziałem
promieniowania elektromagnetycznego opisywać jednocześnie za
pomocą fotonów i fal !
QM1
2015/16
17
1.6. Fale materii
Hipoteza L. de Broglie’a:
Korpuskularno-falowe zachowanie jest cechą również i materii.
r
p
r
p
Każdej cząstce materialnej o pędzie
i energii E przypisywana fala materii.
Fala materii
cząstki swobodnej
λ=h/p
Długość fali de Broglie’a, stowarzyszonej z poruszającą się cząstką:
h
λ= ,
p
Fala materii cząstki
zlokalizowanej
a jej częstotliwość: ν = E / h .
Możliwość obserwacji falowych aspektów ruchu cząstek →
długość fali materii porównywalna, lub większa,
z rozmiarami charakterystycznymi badanego
układu fizycznego.
QM1
2015/16
18
Dyfrakcja elektronów
Elektrony :
Ekin = 100 eV = 1,6⋅10 –17 J , długość fali materii λ = 0,12 nm.
Sieć krystaliczna ( odległości między płaszczyznami atomowymi rzędu
0,1 nm) pełniąca rolę siatki dyfrakcyjnej.
Cząsteczka o masie 1 g: Ekin = 0,5⋅10 – 3 J, fala materii λ = 6,6⋅10–22 nm.
Obserwacja dyfrakcji nie jest możliwa - nie istnieją w przyrodzie
odpowiednio małe obiekty (rozmiary jądra atomowego ~ 10 – 6 nm ).
Folia metalowa
Działo
elektronowe
Wiązka elektronów
QM1
2015/16
Pierścienie dyfrakcyjne
19
Falowa natura elektronów →
interferencja na dwu szczelinach przesłona
ekran
θ
wiązka
elektronów
po 100 elektronach
Warunek wystąpienia
maksimum natężenia:
d sin θ = nλ
d – odległość między
środkami szczelin,
n =1,2,.. – rząd maksimum
po 3 000 elektronach
po 20 000 elektronach
Analogia z interferencją
światła na dwu szczelinach
QM1
2015/16
20
Zachowanie elektronów przechodzących przez kryształy analogiczne do
zachowania promieniowania rentgenowskiego (fali elektromagnetycznej)
Dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego
oraz elektronów na folii aluminiowej
Promieniowanie rentgenowskie
(promieniowanie X) –
promieniowanie elektromagnetyczne o λ rzędu 0,1 ÷ 0,01 nm.
QM1
2015/16
21
Wiązka elektronów
lub promieni X
θ
Dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego
oraz elektronów na kryształach
θ
Maksimum natężenia wiązki odbitej od
płaszczyzn sieciowych, gdy spełniony
warunek Bragga:
d
2d sin θ = nλ
d – odległość między płaszczyznami
sieciowymi kryształu, θ - kąt odbicia,
2δ
Doświadczenie
Davissona-Germera:
- różnica dróg optycznych
θ θ
Z prawa Bragga:
d
δ
δ
2d sin θ
λ=
n
Z hipotezy de Broglie’a:
=
h
h
λ= =
p
2mE
2δ = n λ
QM1
2015/16
22
Praktyczne zastosowanie metod
dyfrakcji cząstek elementarnych:
do badania struktur krystalicznych,
określania struktur magnetycznych
kryształów za pomocą rozpraszania
neutronów (neutronografia)
Falowa natura cząstek wykorzystana w mikroskopie elektronowym.
QM1
Odbiciowy mikroskop
elektronowy (SEM)
2015/16
Transmisyjny mikroskop
elektronowy (TEM)
23
pyrrhotite. SEM
JEOL 200 kV Electron Microscopy
QM1
2015/16
24
Zdolność rozdzielcza mikroskopu zależy od długości fali λ.
natężenie światła
Obrazy dwóch leżących blisko siebie obiektów zachodzą na siebie
i mogą się zlewać w jedną plamę lub być od siebie odseparowane.
QM1
Warunek na pierwsze minimum
dyfrakcyjne:
a sin α = λ
Zdolność rozdzielcza
mikroskopów elektronowych, w
których zamiast wiązki światła
stosuje się wiązkę elektronów,
może być 1000 razy większa niż
optycznych
2015/16
25
Obrazy z mikroskopu
elektronowego
QM1
2015/16
26
Zasada komplementarności :
modele: falowy i korpuskularny wzajemnie się uzupełniają.
W danym doświadczeniu możemy obserwować zawsze tylko jeden
charakter promieniowania lub materii – falowy lub korpuskularny –
ale nigdy oba równocześnie!
1.7. Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Wśród wielkości fizycznych opisujących zachowanie układu w
skali mikroskopowej można wyróżnić pary o tej własności, że
niemożliwe jest jednoczesne przeprowadzenie ścisłego
pomiaru obu wielkości z danej pary:
∆x ⋅ ∆p x ≥ h / 2 ,
gdzie
QM1
∆E ⋅ ∆t ≥ h / 2 ,
h = h / 2π = 1,0545 ⋅ 10 −34 J ⋅ s
2015/16
27
Zasady nieoznaczoności odbiciem praw natury, a nie
konsekwencją niedokładności przyrządów pomiarowych.
Ograniczenie nakładane na dokładność iloczynu obu wielkości, a nie na
dokładność każdej z tych wielkości osobno → możliwy dokładny pomiar
jednej wielkości z pary, ale kosztem olbrzymiej niedokładności drugiej.
r
p λ =h/p
Cząstka swobodna – fala materii Ψ(x,t) ma
dobrze określoną długość λ → p = h /λ dobrze
określony pęd i jego nieoznaczoność ∆p = 0, ale
nieoznaczoność położenia ∆x = ∞, czyli cząstka
może się znajdować gdziekolwiek !
r
p
Cząstka zlokalizowana – fala materii Ψ(x,t) ma
źle określoną długość λ → źle określony pęd i
jego nieoznaczoność ∆p duża, ale nieoznaczoność
położenia ∆x mała, czyli cząstkę można
zlokalizować w pewnym obszarze !
W świecie makroskopowym zasada Heisenberga nie jest istotna,
ponieważ wielkość stałej Plancka h jest bardzo mała.
QM1
2015/16
28
1.8. Funkcja falowa
Fala materii, stowarzyszona z każdą mikroskopową
cząstką, opisywana za pomocą funkcji falowej :
Ogólnie: Ψ = a + i b to funkcja zespolona, i
2
r
Ψ(r , t )
= − 1 liczba urojona.
Re Ψ =a, Im Ψ =b
r
p
Cząstka swobodna
Re Ψ
Im Ψ
Ψk ( x, t ) = C e i ( k ⋅x −ω ⋅t ) = C cos (k ⋅ x − ω ⋅ t ) + i C sin (k ⋅ x − ω ⋅ t )
Gdzie C – amplituda fali, k = 2π / λ = p / h,
ω = 2πν = E / h
Funkcja falowa zawiera w sobie całą informację o cząstce lub
układzie cząstek – określa stan kwantowomechaniczny cząstki
lub układu ( pierwszy postulat mechaniki kwantowej ).
QM1
2015/16
29
Ψ = a + i b f. zespolona, i − liczba urojona, a
Ψ * = a − i b funkcja z nią sprzężona
Probabilistyczna teoria Maxa Borna:
jeśli w chwili
r t dokonamy pomiaru położenia cząstki opisywanej funkcją
falową Ψ ( r , t ), to prawdopodobieństwo tego, że wynik pomiaru wykaże
położenie cząstki w infinitezimalnym elemencie objętości dτ = dx⋅dy⋅dz,
r
wokół punktu określonego przez r , jest równe:
∗
r
r
r 2
Ψ (r , t ) ⋅ Ψ ( r , t ) dτ = Ψ (r , t ) dτ
Funkcje falowe:
Spełniają równanie falowe Schrödingera,
nie mają samoistnego znaczenia fizycznego – wielkości zespolonych nie da
się zmierzyć żadnym przyrządem fizycznym.
związek pomiędzy własnościami funkcji falowej a zachowaniem się
opisywanej przez nią cząstki wyrażony za pośrednictwem gęstości
prawdopodobieństwa:
r 2
Ψ (r , t ) − już mierzalnej wielkości.
QM1
2015/16
30
Pamiętaj: gęstość prawdopodobieństwa zawsze rzeczywista i nieujemna!
r
pr
Ψ (r , t )
2
Re Ψ ( x, t )
Pomiędzy cząstką a falą − korelacja
przestrzenna, tj. znacząca amplituda funkcji
falowej w położeniu zajmowanym przez
cząstkę
gęstość prawdopodobieństwa w tym obszarze
posiada znaczące wartości, a poza nim prawie
zerowa .
∆x
Znamy
r
2
Ψ (r , t )
r
Ψ(r , t )
obliczymy prawdopodobieństwo znalezienia
cząstki w danym obszarze − w przypadku
jednowymiarowym:
b
Pa b =
QM1
a
b
x
2015/16
∫
a
2
Ψ ( x, t ) dx .
31
Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki gdziekolwiek w przestrzeni
równe 1. Funkcje spełniające ten warunek normalizacji to funkcje
unormowane:
+∞
∫
r
2
Ψ ( r , t ) dτ = 1 .
−∞
Średnie położenie cząstki − wartość oczekiwana położenia:
∞
〈 x〉 =
∫
2
x Ψ ( x , t ) dx
−∞
Pojęcie toru cząstki w sensie klasycznym nie istnieje w mechanice kwantowej !!
Zasada nieokreśloności
Heisenberga ∆x ∆p x ≥ h / 2
Teoria probabilistyczna
M.Borna
QM1
2015/16
32