x Ameryki
Transkrypt
x Ameryki
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa, a zatem i stopa zwrotu (zwrot) R t z inwestycji w akcję na okres t − 1, t (kupno w momencie t − 1, sprzedaŜ w momencie t) jest zmienną losową P t − p t−1 + D t−1,t , p t−1 tzn. moŜe przyjąć pewne wartości r t,1 , . . . , r t,m z pewnym (zwykle nieznanym) prawdopodobieństwem: Rt = PR t = r t,1 = p 1 , . . . , PR t = r t,m = p m . ”Ryzyko” σR t dla akcji to odchylenie standardowe zmiennej losowej R t : σR t = VarR t = ER t − ER t 2 . Uwaga. Do obliczeń przyjmuje się ”empiryczną wartość oczekiwaną” (= średnia arytmetyczna rzeczywistych stóp zwrotu r t−n dla akcji w minionych okresach t − n − 1, t − n, n = 1, 2, . . . , m : m 1 r̄ t = m ∑ r t−n , n=1 oraz ”empiryczne odchylenie standardowe”: m σ̄ = ”Zwrot” tj. wartość oczekiwana ER t stopy zwrotu: ER t = r t,1 p 1 +. . . +r t,m p m . 1 m−1 ∑r t−n − r̄ t 2 . n=1 Kontrakt terminowy (Futures) to papier wartościowy zobowiązujący jedną ze stron do zakupu (pozycja długa - long), a drugą do sprzedaŜy (pozycja krótka - short) bazowego papieru wartościowego lub towaru po ustalonej cenie X w ustalonym okresie T, T + Δ . PoniewaŜ fT = ST − X W chwili t < T : portfel A : kontrakt (f t ) plus kwota dająca X po czasie T − t (Xe −δT−t ) portfel B : papier bazowy (S t ) 100 80 60 40 20 0 -20 20 40 60 80 100 s 120 140 160 180 200 -40 -60 -80 w chwili T : portfele A i B dają papier bazowy, więc V A T = V B T = S T V A t = V B t f t + Xe −δT−t = S t -100 to wartość teoretyczna f t kontraktu terminowego (dla pozycji długiej) w momencie t ≤ T : f t = S t − Xe −δT−t . gdzie: S t - rzeczywista cena bazowego papieru (towaru) w momencie t , δ - siła oprocentowania (= nominalna stopa procentowa do kapitalizacji ciągłej) dla lokat bezpiecznych (np. obligacji rządowych). 4. Opcja kupna (call) to papier wartościowy dający prawo (ale nie obowiązek) do zakupu bazowego papieru wartościowego (towaru) po ustalonej cenie X w ustalonym momencie T (opcja europejska), albo do ustalonego momentu T (opcja amerykańska). Wartość teoretyczna c T - dla europejskiej, C T - dla amerykańskiej opcji kupna w momencie T : c T = C T = S T − X + = maxS T − X, 0 . maxS − 100, 0 d Φd = 100 80 60 d= 40 20 0 20 40 60 80 100 S 120 140 160 180 200 Wartość teoretyczna c t - dla europejskiej, C t - dla amerykańskiej opcji kupna akcji w momencie t < T c t > f t = S t − Xe −δT−t . (wg modelu Blacka - Scholesa): c t = C t = cS t , t = S t Φd − Xe −δT−t Φd − σ T − t , gdzie: σ - odchylenie standardowe stopy zwrotu R t dla akcji, Φ - dystrybuanta rozkładu normalnego N0; 1 : ln St X 1 2Π + δ + ∫e 2 − x2 dx , −∞ σ2 2 T − t σ T−t . Uwaga. Mamy zawsze c t > S t − Xe −δT−t . 5. Opcja sprzedaŜy (put) to papier wartościowy dający prawo (ale nie obowiązek) do zakupu bazowego papieru wartościowego (towaru) po ustalonej cenie X w ustalonym momencie T (opcja europejska), albo do ustalonego momentu T (opcja amerykańska). Wartość teoretyczna p T - dla europejskiej, P T - dla amerykańskiej opcji sprzedaŜy w momencie T : p T = P T = maxX − S T , 0 . W chwili t < T : portfel A : opcja kupna (c t ) plus kwota dająca X po czasie T − t (Xe −δT−t ) portfel B : opcja sprzedaŜy (p t ) plus papier bazowy (S t ) 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 S 120 140 160 180 200 w chwili T : portfele A i B mają wartości: Wartość teoretyczna p t dla europejskiej opcji sprzedaŜy akcji w momencie t < T spełnia warunek parytetu ”kupno sprzedaŜ”: p t + S t = c t + Xe −δT−t , stąd p t = S t Φd − 1 − Xe −δT−t Φd − σ T − t − 1 = −S t Φ−d + Xe −δT−t Φ−d + σ T − t . V A T = V B T = ST gdy S T > X X + 0 gdy S T ≤ X S T + 0 gdy S T > X X gdy S T ≤ X V A T = V B T V A t = V B t c t + Xe −δT−t = p t + S t Wyjaśnienie warunku: Ct = ct Wyjaśnienie warunku: p t + S t = c t + Xe −δT−t , W chwili t < T : portfel A : opcja kupna (C t ) plus kwota dająca X po czasie T − t (Xe −δT−t ) w chwili T : portfele A w przypadku realizacji opcji w momencie t ma w momencie t wartość: V rA t = S t − X + Xe −δT−t a w przypadku niezrealizowania opcji V nA t = C t + Xe −δT−t czyli więcej niŜ maksymalny zysk X, w przypadku przetrzymania opcji do momentu T. Wartość teoretyczna futures (dla pozycji długiej) w zaleŜności od momentu t oraz ceny S (przy X = 100, T = 1, dla δ = 0. 9 oraz dla δ = 0 : W chwili T : V rA T = S T − Xe δT−t + X < S T a w przypadku niezrealizowania opcji V nA t = C T + X = maxS T − X, 0 + X = maxS T , X. Uwaga. Dla amerykańskiej opcji sprzedaŜy akcji moŜna podać tylko oszacowanie wartości teoretycznej P t : P t + S t > C t + Xe −δT−t P t > C t + Xe −δT−t − S t . Jeśli S t < X − X e −δT−t , to wykonanie opcji amerykańskiej w momencie t < T daje w momencie T wartość X − S t e δT−t > X, 1 0.8 150 0.6 t 100 0.4 0.2 50 0 -50 50 S 100 150 200 -100 f t = S − 100 exp−0. 91 − t ft Wartość teoretyczna futures (dla pozycji długiej) w zaleŜności od ceny S (przy X = 100, T = 1, δ = 0. 9 dla t = 0. 25, t = 0. 5 t = 0. 75, t = 0. 95 : 100 80 60 40 20 150 0 100 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1 -20 50 0 20 40 60 80 100 S 120 140 160 180 200 -50 -100 Cena teoretyczna opcji call w zaleŜności od momentu t oraz ceny S (przy X = 100, T = 1, dla δ = 0. 3, σ = 0. 4 oraz dla δ = 0, σ = 0 : Wartość teoretyczna futures (dla pozycji długiej) w zaleŜności od momentu t (przy X = 100, T = 1, δ = 0. 9, dla S = 75, 100, 125, 150 : 100 1 0.8 0.6 t 50 0.4 0.2 0 50 S 100 150 200 Cena teoretyczna opcji call w zaleŜności od ceny S (przy X = 100, T = 1, δ = 0. 3, σ = 0. 4 dla t = 0. 25, t = 0. 5 t = 0. 75, t = 0. 95 : 70 60 50 40 30 20 10 120 0 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 S 120 140 160 180 200 Cena teoretyczna opcji call w zaleŜności od momentu t (przy X = 100, T = 1, δ = 0. 3, σ = 0. 4 dla S = 75, 100, 125, 150 : 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1