wg Ashton, 1966

Transkrypt

wg Ashton, 1966

12. Stochastyczne podejście do problemów opóźnienia statycznego
12. STOCHASTYCZNE PODEJŚCIE DO PROBLEMÓW OPÓŹNIENIA
STATYCZNEGO (wg Ashton, 1966)
12.1 Wstęp
W ciągu ostatnich dziesięciu lat było wielkie zainteresowanie problemem
"opóźnienia statycznego". Termin ten jest używany do opisu opóźnienia pojawiającego
się przed znakiem stopu lub światłami ulicznymi dla pojazdów chcących przeciąć lub
włączyć do głównej drogi na skrzyżowaniu. Problem priorytetowych skrzyżowań jest
zamieszczony w 12.2 i 12.3, a rozważania skrzyżowań sterowanych światłami
w 12.4. Problemy opóźnienia na otwartej drodze są rozważone jasno w 12.5, a nowe
podejście do badań zachowań ruchowych w wąskim gardle jest opisane w 12.6.
Skrzyżowania są bardzo ważnymi urządzeniami w systemie drogowym, ponieważ
największe straty, które przydarzają się pojedynczo powodowane są w tych punktach.
Ich projektowanie może być dobrym tematem do badań. Jednym z najważniejszych
problemów, jakie musi rozwiązać inżynier, wiąże się z rodzajem urządzeń sterowania,
jakie mają być zastosowane. Przeprowadzone były szczegółowe badania nad efektem
różnych rodzajów sterowania w różnych czynnikach, zawierających opóźnienie,
przepustowość oraz natężenie wypadków. Zdarzające się opóźnienia kierowców są
niedogodne na gruncie ekonomicznym. Dlatego może to prowadzić do irytacji, a w
konsekwencji do wypadków. Jednak w pewnych warunkach w pewnym stopniu z
punktu widzenia inżynierów ruchu wykorzystanie przepustowości drogi głównej jest
bardziej ważne, niż opóźnienia pojazdów na drodze podporządkowanej.
Na przykład w takim przypadku jak wyjście z teatru czy parkingu kinowego.
Rozważmy najpierw problem skrzyżowań priorytetowych. W modelu tego
zagadnienia zakłada się, że kierowca na drodze podporządkowanej zatrzymuje się na
znaku, ocenia każdy odstęp między pojazdami γ (mierzony w jednostkach czasu)
i podejmuje decyzję przekroczyć czy nie, przekroczyć odpowiednio czy odstęp jest
większy czy mniejszy niż pewny wcześniej określony odstęp.
Problem pojedynczego pojazdu stojącego przed znakiem jest już dosyć jasno
opisany i teorie dobrze zgadzają się z obserwowanymi zachowaniami. Problem jest w
istocie taki sam, jak ten, gdy grupa pieszych chce przejść przez drogę, gdy grupa może
przejść, kiedy wystąpi akceptowany odstęp. Trudny problem jest, gdy kolejka pojazdów
czeka na znaku stop. Najprostszy przypadek odpowiada problemowi przecinania
pojedynczego pasa ruchu drogi głównej, problem przecięcia dwóch pasów, każdy w
jednym kierunku jest trudny do rozważań matematycznych. Należy jeszcze zauważyć,
że właściwie powinna być zastosowana teoria kolejek, kolejka na drodze
podporządkowanej, powinna być rozpatrywana, jako pojedynczy potok (linia)
pojazdów, który zachowuje oryginalny porządek przybycia.
W wielu modelach były komplikacje w kryteriach wyboru odstępu akceptowanego.
W pewnych wcześniejszych pracach używana była funkcja skokowa, ale w
późniejszych pracach odstęp γ traktowany był jako zmienna losowa. Wiarygodne dane
eksperymentalne są rzadkie, ale doświadczenie ludzi sugeruje, że ostatnim kryterium
odstępu akceptowanego jest bardziej realistyczne. Tak więc, w tym modelu każdy
odstęp między pojazdami γ związany jest z prawdopodobieństwem p(γ), że kierowca je
zaakceptuje. Prawdopodobieństwo p(γ) rośnie monotonicznie z γ. Pewne obserwacje
sugerują rozważanie zmienności odstępu akceptowanego dla kierowców, ale najczęściej
przyjmuje się stały - około 8 s.
Najwięcej prac nad tym problemem poświęcone jest rozważaniom pojedynczego
odstępu pomiędzy dwoma kolejnymi pojazdami, i zakłada się, że jest n >1 pojazdów
czekających w kolejce na znaku stop. Pierwszy kierowca rozważa odstęp γ i podejmuje
decyzję o przejechaniu na podstawie p(γ) - kryterium akceptowanego odstępu. Jeżeli
pierwszy kierowca przetnie drogę, to drugi kierowca zajmuje miejsce zwolnione przez
pierwszego i zakładając, że nie nadjeżdża żaden pojazd na drodze głównej, podejmuje
TPR12-263
decyzję na podstawie p*(γ - γ') funkcji akceptowanego odstępu, gdzie p* może, lecz
nie musi być takie samo jak p(x), a gdzie γ jest czasem, który zależy od czasu
przejazdu przez pierwszego kierowcę i od czasu, jaki musi być poświęcony, aby drugi
kierowca przeszedł na miejsce czołowe w kolejce.
Aby określić aktualną formę funkcji p(γ) przeprowadzono wiele prac
doświadczalnych. Rezultaty tych prac były niewątpliwie interesujące. Jednakże jak
okazało się, że rezultaty tych analiz nie są krytycznie, zależne od dokładnej formy
funkcji odstępu akceptowalnego.
Możliwe są trzy następujące funkcje:
(i)Funkcja skokowa:
p(γ ) =
(ii)
0, γ ≤ Γ
1, γ > Γ
Funkcja trapezoidalna:
0,
(
p(γ ) = (γ − γ 0 ) γ l −γ 0
)
1,
γ <γ l
, γ 0 <γ ≤γ1
γ >γ1
(iii) Przesunięta funkcja wykładnicza:
p(γ ) =
γ ≤γ0
1 − exp[− λ (γ − γ 0 )], γ > γ 0
0,
Pokazane są na Rys 12.1.
TPR12-264
PRAWDOPODOBIEŃSTWO p(γ) AKCEPTACJI ODSTĘPU γ
1,0
FUNKCJA SKOKOWA
0,5
Γ
Odstęp γ
1,0
FUNKCJA TRAPEZOIDALNA
0,5
γ0
Odstęp γ
1,0
PRZESUNIĘTA FUNKCJA WYKŁADNICZA
0,5
γ0
Odstęp γ
Rys.12.1. Prawdopodobieństwo p(γ) akceptacji odstępu γ.
Różni autorzy badają wiele specjalnych przypadków ogólnego modelu kolejek
i związanych problemów rozkładu odstępów w strumieniach ruchu. Adams (1936)
otrzymał wzór na średnie oczekiwanie na nie blokowanym odstępie w losowym potoku
ruchu: to był problem przejścia dla pieszych. Oliver (1962) badał rozkład odstępów w
strumieniach ruchu z ogólnymi rozkładami prawdopodobieństwa. Beckman, Mc Guire
i Winsten (1966) dyskutowali model w czasie dyskretnym i otrzymali wzory na
momenty długości kolejek oraz czasu czekania. Oliver i Bisbee (1962) badali model,
w którym tylko jeden pojazd może zaakceptować dany odstęp: ten model odpowiada
wysokim gęstościom ruchu na drodze głównej. Potok na drodze podporządkowanej był
losowy, a rozkład na drodze głównej dowolny.
Bardziej kompletne analizy kolejkowego problemu dał Tanner (1962). Założył on,
że potoki są losowe na obydwu drogach, a funkcja odstępu akceptowalnego była
skokowa. Rozkład prawdopodobieństwa oczekiwania na niezajęty okres była
wyprowadzona przez niego na trzy różne sposoby. Weiss i Maradudin (1962)
przystosowali inne podejście: użyli oni teorii odnowy. Jewell (1961,1962) dyskutował
różne aspekty problemu kolejek. Jego model był raczej nierealistyczny, że pojazd
przybywający na znak stopu, kiedy nie ma innych pojazdów będzie musiał czekać na
pojazd przejeżdżający po drodze głównej, aby móc przejechać. Hawkes (1965)
rozważał model, w którym pojazdy przybywają w paczkach na skrzyżowanie, ale
przejeżdżają pojedynczo. Sygnały wyświetlające czerwone lub zielone są dobrą formą
TPR12-265
do zastosowania procesu odnowy. Pokazał on, że ten system może być generowany
przez ruch na drodze głównej, aby uzyskać stacjonarny rozkład czasu czekania.
Jeszcze uwagę należy zwrócić na książkę Haighta (1963) zatytułowaną "Modele
matematyczne potoków ruchu". Są to szerokie rozważania ze stochastycznym
podejściem do problemów potoków ruchu.
Zwykle kryterium mierzącym działanie skrzyżowania jest brane średnie opóźnienie
pojazdów, ale jest wiele innych możliwych kryteriów. Na przykład łączne opóźnienie
pojazdów (wszystkich) używających skrzyżowanie, procent pojazdów opóźnionych
przez system, średnie opóźnienie w sekundach odniesione opóźnione pojazdy lub średni
czas przejazdu przez system. Problem pojawia się w zależności od tego, co
optymalizować.
12.2.Proste modele skrzyżowań priorytetowych
W Wielkiej Brytanii 80% wszystkich fatalnych i poważnych wypadków
związanych jest z aktem przejścia przez drogę. Pewne rozszerzenie poziomu ryzyka
może być zmierzone przez opóźnienie, którego pieszy doświadcza przed możliwością
przejścia, opóźnienie jest powodowane oczekiwaniem na odstęp w ruchu i te odstępy
mają rozkład statystyczny.
Załóżmy, że strumień ruchu przechodzącego punkt na drodze ma pewien rozkład
prawdopodobieństwa. Dla pieszego próbującego przejść drogę, lub dla kierowcy z drogi
podporządkowanej, strumień może być rozpatrywany jako okresy alternatywnego
sukcesu, które pozwalają na wejście, a które nie. Rozkłady prawdopodobieństwa
związane z tymi okresami są podane i dyskutowane niżej.
Rozpatrzmy najpierw problem analizy prostego opóźnienia używając transformaty
Laplace'a. Zarówno dla pieszych chcących przejść w paczce, jak i dla pojedynczego
pojazdu dla celu tej analizy ważne jest je utożsamiać. Jednakże, analiza będzie
prowadzona w pojęciach opóźnień pieszych.
W tym rozdziale będzie stosowana następująca notacja. Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa będzie oznaczana przez gęstość, a odpowiadająca mu funkcja
dystrybuanty przez dystrybuantę. Niech f(t) oznacza gęstość, a F(t) odpowiednią
dystrybuantę 0 ≤ t < ∞ . Przez transformatę Laplace'a f(t) określa się:
∞
L[ f (t )] = Φ( s) = ∫ e − st f (t )dt
0
Jeżeli f(x),F(x) oraz g(y),G(y) są odpowiednio gęstością i dystrybuantą dla x i y, to
dystrybuanta dla u = x+ y jest równa:
∞ u− y
H (u ) = P(x + y ≤ u ) = ∫
∫
0
0
∞
f ( x )g ( y )dx dy = ∫ F (u − y )g ( y )dy .
0
Różniczkowanie daje gęstość jako:
u
h(u ) = ∫ f (u − y )g ( y )dy .
0
Podobnie u
u
h(u ) = ∫ f ( x )g (u − x )dx .
0
TPR12-266
Będziemy mówić, że h jest splotem f i g i pisać:
h = f ∗ g.
Można pokazać, że:
L(h) = L( f ) L( g ).
Na przykład, jeżeli pojedynczy odstęp x ma ogólnie rozkład wykładniczy λe − λx ,
rozkład podwójnego odstępu u=2x jest dany przez gęstość
(λ e )
− λ x 2∗
v
= ∫ λ e − λ x λ e −λ (u − x ) dx = λ2 u e − λ u .
0
Teraz w tych oznaczeniach, niech odstęp w potoku głównym będzie wykładniczy,
tak więc:
f (t ) = µ e − µ t
, F (t ) = 1 − e − µ t
, t≥0
Wtedy przez całkowanie mamy:
Φ(s ) = µ (u + s ).
Niech pieszy przybywa w czasie t=0 i wymaga T na przejście, tak więc opóźnienie
pieszego ma gęstość - w(t), a dystrybuantę W(t) i T.L.Ψ(s).
Jeżeli pierwsza odstęp jest >T to wtedy nie ma opóźnienia i stąd w(t) na czynnik
dyskretny powodujący wzniesienie:
P(t 1 > T ) = 1 − F (T ) = e − µ T .
Reszta to zmienna ciągła na (0, ∞).
Jeżeli pieszy musi czekać na odstęp tn+1, powiedzmy, gdzie n > 0, to opóźnienie jest
sumą n zmiennych losowych
n
∑t .
i
i =1
Teraz pieszy nie może przejść na żadnym z odstępów t1,t2 ,...,tn,, wszystkie są <T. Stąd
funkcje gęstości dla wszystkich ti , i ≤ n nie są po prostu f(t), ale znormalizowane f(t)
w przedziale (0,T), tj.
f (t )
µ e−µ T
=
F (t ) 1 − e − µ T
, 0<t <T
Stąd część ciągła w(t) warunkująca, że przejście będzie w (n+1)-ej luce tn+1 jest dana
splotem:
∗
 f (t )   f (t ) 

 

 F (t )   F (t ) 
TPR12-267
n −1∗
Mnożąc przez prawdopodobieństwo przejścia w (n+1)-szej luce F n (T )[1 − F (T )]
otrzymujemy bezwarunkową wartość w(t), sumując po wszystkich w i dodając część
dyskretną.
∗
∞
w(t ) = [1 − F (t )]δ (t ) + [1 − F (t )]∑ [ f (t )] [ f (t )]
n −1∗
n =1
gdzie f0*=1.
Stąd biorąc po obu stronach transformatę Laplace'a:
T
Ψ (s ) = [1 − F (T )] +
[1 − F (t )]∫ f (t )e − st dt
0
.
T
1 − ∫ f (t )e dt
− st
0
W specjalnym przypadku rozkładu losowego to może być przekształcone:
Ψ ( s) = e
−µ T
(
µ e − µ T 1 − e −( µ + s)T
+

(µ + s)1 −

=
)

1 − e ( ) )
(
µ+s

µ
(µ + s )e − µT
s + µ e −( µ + s )T
− µ+s T
.
Tę funkcję jest czasem trudno odwrócić, ale tu rozwiązanie może być uzyskane
następująco:
r −1
w(t ) = e
−µ T
δ (t ) + µ e
−µ T
∑ (−e )
−µ T
j =0
(r − 1)T ≤ t ≤ rT
[ µ (t − jT )] j −1 [ µ (t − jT )] j 
+


( j )! 
 ( j − 1)!
, r = 1, 2,...
Jeżeli j=0, to wyrażenie {.} jest zerowe i wtedy:
w(t ) = e − µ T w(t ) = e − µ T
W pewnych przypadkach my nie potrzebujemy aktualnego odwrócenia, ale tylko do
wyznaczenia średniej i wariancji. Potrzebujemy tylko zróżniczkować Ψ(s), aby uzyskać
średnią dla wszystkich pieszych, a więc
1 µT
d

średnie opóźnienie = −  Ψ(s) =
e − µT −1 .
 ds
 s= 0 µ
(
TPR12-268
)
Podobnie wariancja jest dana przez:
2
2
 d
d
 
Ψ
s
−
Ψ
s
(
)
(
)
 2
 ds
  ,
 ds
 s= 0
co po pewnym uproszczeniu daje:
1
µ
2
(e
2µ T
)
− 2µ T e µ T − 1 .
Opuszczając dyskretną część średnie opóźnienie dla wszystkich pieszych może być
wyznaczone w podobny sposób:
1
µ
eµT −
T
.
1 − e −µ T
Raff (1951) rozważał podobny problem skrzyżowania ze znakiem stop. On użył
innego podejścia, które jest tutaj ogólnie naszkicowane.
W tym modelu pojazdy na drodze głównej przechodzą przez skrzyżowanie jako
proces Poissona dany przez:
P(k pojazdów w t) =
e − µ t (µ t )
k!
k
, k = 0,1,...,
Gdzie µ jest średnią liczbą przybyć w jednostce czasu. Czas przybycia każdego
pojazdu na drodze podporządkowanej zakłada się, że jest arbitralny, ale czas, w którym
każdy pojazd wchodzi na skrzyżowanie zależy od odstępu czasowego pomiędzy tym
przybyciem i przyjazdem następnego pojazdu na głównej drodze. Jeżeli ta wielkość jest
dłuższa niż pewna ustalona wielkość T, pojazd z drogi podporządkowanej przejedzie
bez opóźnienia. W przeciwnym razie czeka aż do wolnej dla pojazdu odstępie dłuższym
niż T. Z punktu widzenia pojazdów drogi podporządkowanej ruch na drodze głównej
jest sekwencją alternatywnych bloków i antybloków. Przez cały czas, w którym odbywa
się przejazd pojazdu trwający T lub mniej, jest złożony z bloków, podczas gdy reszta
czasu jest złożona z antybloków (patrz Rys 12.2).
Chcemy znaleźć (i) prawdopodobieństwo, że losowy wybór jest zawarty w bloku,
oraz (ii) rozkład prawdopodobieństwa wielkości bloków, tj. prawdopodobieństwo, że
blok wybrany losowo ze wszystkich bloków będzie miał wielkość przewidzianą.
TPR12-269
G
G
V
V
B
V
B
A
T
V
V
B
2T
V – Przybycie
G
V
B
A
G
G – Odstęp
V
B
A
T
A
B – Blok
A - Antyblok
T
B
A
T
A
Rys.12.2. Schemat ukazujący umiejscowienie bloków i antybloków w potoku ruchu.
Gęstość prawdopodobieństwa odstępów między przybyciami pojazdów jest
wykładnicza
f (t ) = µ e − µ t , t ≥ 0,
gdzie µ jest średnią liczbą pojazdów na jednostkę czasu. Wtedy prawdopodobieństwo,
że losowo wybrany odstęp jest mniejszy niż, a więc dystrybuanta jest następująca:
F (t ) = 1 − e − µ t .
(12.1)
Niech łączna liczba pojazdów przechodzących w długim skończonym okresie będzie
N. Wtedy łączny czas jest N/µ. Pierwszy problem postawiony wyżej jako (i) może być
wyrażony inaczej tak: jak część łącznego czasu zawiera się w blokach. Ponieważ łączny
czas jest znany, my w takim razie mamy łączny czas zarówno w blokach jak
i w antyblokach.
Teraz każdy antyblok jest częścią odstępu >T. Wyrażając każdy odstęp o długości
T+ t,
t > 0, pierwsza t jest antyblokiem. To oznacza, że jest tu (1,1) odpowiedniość
pomiędzy antyblokami a odstępami > T. Liczba antybloków > t jest taka sama, jak
liczba odstępów > (T+ t), w których z uwagi na (12.1) jest:
N e − µ ( T +t )
Łączna liczba antybloków jest N e − µ T , stąd liczba:
antyblok jedn. dlug. czasu = µ e − µ T ,
a liczba antybloków:
(
)
≤ t = N e −µ T 1 − e−µ T .
TPR12-270
(12.2)
Teraz łączny czas w antyblokach jest otrzymywany
zróżniczkowanego równania (8.2) i scałkowania od 0 do ∞, tj.
µNe
∫te
−µ t
dt = N µ e
−µ T
0
=
N e −µ T
−µ t ∞
[e ]
µ
mnożenie
 t e − µ t  ∞ 1 ∞

−µ t

 + ∫ e dt 
 − µ  0 µ 0

∞
−µ T
przez
0
=
N
µ
e −µ T ,
tak więc, że losowa chwila jest zawarta w antybloku jest e − µ T , a prawdopodobieństwo,
że losowa chwila zawarta jest w bloku jest 1 − e − µ T .
(
)
Drugi problem postawiony wyżej jest bardziej trudny, ponieważ brakuje prostej
zależności pomiędzy szczególnym blokiem, a jakimś odstępem lub grupą odstępów.
Jednak, możliwe jest podejście do tego problemu z innej strony, poprzez rozkład czasu
czekania pojazdów na drodze podporządkowanej, ten ostatni rozkład jest ściśle
powiązany z tym, co chcemy.
Niech B(t) będzie prawdopodobieństwem, że blok ≤ t. Niech W(t) będzie
prawdopodobieństwem, że czas czekania przez pojazd na drodze podporządkowanej jest
≤ t. Wtedy W (0) = e − µ T , jakże pojazd przybywający w antybloku ma zerowy czas
czekania. Teraz prawdopodobieństwo, że czas czekania t jest rzędu u < t ≤ u + du jest
takie samo jak prawdopodobieństwo, że chwila jest bloku, a jeszcze potrwa do końca
bloku przez czas wynoszący, który jest między u a u + du. To jest równe dv pomnożone
przez średnią liczbę bloków/jednostkę czasu, które są dłuższe niż v tj.
µ e − µ T [1 − B(u )]du .
Tak więc:
t
W (t ) = W (0 ) + µ e − µ T ∫ [1 − B(u )] du
0
t
= e − µ T (1 + µT ) − µ e − µ T ∫ B(u ) du .
(12.3)
0
Dla wyrażenia B(t) w terminach W(t) jest niezbędne tylko zróżniczkowanie obu stron
równania (12.3) po t i rozwiązanie wynikowego równania względem B(t), tak więc
W ' (t ) = µ e − µ T [1 − B(t )]
lub:
B(t ) = 1 −
1
W ' (t ) .
µ e −µ T
Dystrybuanta rozkładu czasu czekania
wyprowadzonego przez Garwood'a (1940):
W (t ) = e
−µT
r −1
∑ (− e )
j =0
−µT
j
W(t)
(12.4)
wynika
wprost
 [µ (t − jT )] j [µ (t − jT )] j +1 
,
+

j!
( j + 1)! 

TPR12-271
ze
wzoru
(r − 1)T ≤ t ≤ rT .
Garwood wyprowadził ten wzór na podstawie rozważania problemu związanego z
ruchem na światłach ulicznych, który matematycznie był prawie taki sam, jak ten
i później zastosowałem wyniki do opóźnień pieszych na jednym lub dwóch
strumieniach ruchu, Jego rozważanie wychodziło z wyrażenia przez rozkład
prawdopodobieństwa najdłuższego odstępu na prostej podzielonej przez n losowych
punktów.
Wzór Garwood'a na W(t) zawiera skończone szeregi, w których liczba elementów
wzrasta ze wzrostem wartości t, i jest to funkcja µT oraz t/T tylko, gdzie µT jest
wielkością ruchu, a t/T jest czasem czekania jednostki w obydwu przypadkach
krytyczna odstęp jest T.
Wielkość W(t) może być obliczona dla różnych wartości µT oraz t/T, ale dla uzyskania
wartości innych parametrów można użyć aproksymacji:
(
W (t ) → 1 − 1 − e
−µ T
)
(
)
)
 − µ Te − µ T 1 − e − µ T t 
.
exp 
−µ T
− µ t e − µ T T 
 1 − e
(
(12.5)
Błąd wprowadzony przez użycie tego wzoru dla większości praktycznych wartości
parametrów jest rzędu 10-2.
Należy zauważyć, W(t) wzrasta liniowo ze wzrostem t od 0 do T i jest tu nieciągłość
w pochyleniu. W(t) spada monotonicznie jak µT rośnie, tj. ze wzrostem wielkości ruchu,
jak można by oczekiwać. Zróżniczkowanie wzoru Garwooda na W(t) daje gęstość w(t),
po prostu:
w(t ) = W ' (t ) = µ e − µT [1 − W (t − T )] .
(12.6)
Widać, że W'(t) jest liniową funkcją W(t-T). Porównanie równań (12.4) i (12.6) daje
dystrybuantę wielkości bloku jako:
B(t ) = W (t − T )
(12.7)
Tak więc, średnia długość bloku jest większa niż średni czas czekania wynoszący T.
Warto zauważyć i pewne inne własności tego rozkładu. Nie ma tu bloków < T, tj.
B(t)=0, t<T. To oczywiste przy rozważaniach geometrycznych. Jeszcze są inne - pewna
liczba bloków dokładnie równa jest T, tj. B(t) skacze z 0 do e-µT , wt = T. To jest jeszcze
widoczne geometrycznie, gdy blok o długości T obejmuje wtedy, tylko dwie kolejne
odstępu >T.
Stąd t - typ łącznego czasu blokowania jest N (µ ) 1 − e − µT a łączna liczba bloków
(
jest Ne
−µ T
)
średnie (oczekiwanie) wartość długości bloku jest:
1 − e −µ T
.
µ e −µ T
Przypuśćmy na przykład, że mamy średnie natężenie potoku wynoszące 1200
pojazdów przez godzinę, tak więc µ=1200/3600, z typową wartością T=6s. Proporcja
bloków ≤ 15 s, dana jest przez:
B(15) = W (15 − 6) = W (9) .
TPR12-272
Tak więc, podstawiając: µT = 2 , a t T = 1.5 w równaniu (12.5), otrzymujemy
W(9)=0.514.
Powyższa teoria może być zastosowana do problemu opóźnień pieszych,
z następującymi wynikami:
(
)
(i) Prawdopodobieństwo opóźnionych pieszych = 1 − e − µ T .
(
(ii) Średnie opóźnienie na opóźnionych pieszych = 1 µ e − µ T − T 1 − e − µ T
(
)
)
(iii) Średnie opóźnienie dla wszystkich pieszych = 1 µ e − µ T − 1 µ − T ,
(
)
i wariancja = e 2 µ T − 2 µ T e µ T − 1 µ 2 .
Tablica 12.1 daje pewne wartości opóźnienia dla pieszych dla różnych wartości
średniego potoku µ i odstępu granicznego T.
Tablica 12.1
Odstęp
Potok
graniczny poj/h
4
8
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Średnie
opóźnienie
dla
wszystkich
pieszych
0,2300
0,4784
0,7472
1,0364
1,3496
1,6868
2,0522
2,4463
2,8732
3,3357
0,9568
2,0728
3,3731
4,8925
6,6736
8,7434
11,2236
14,1256
17,5564
21,6194
Proporcja
opóźnionych
pieszych
0,1052
0,1992
0,2834
0,3588
0,4663
0,4866
0,5406
0,5889
0,6321
0,6708
0,1992
0,3588
0,4866
05889
0,6708
0,7364
0,7889
0,8310
0,8647
0,8916
Średnie
opóźnienie
dla
opóźnionych
pieszych
2,2072
2,3981
2,6329
2,8881
3,1665
3,4665
3,7959
4,1540
4,5450
4,9727
4,7962
5,7763
6,9330
8,3079
9,9475
11,5997
14,2258
16,9986
20,3046
24,2468
Dla porównania teoretycznych opóźnień z obserwacjami porównujemy następujące
wielkości:
p P
D P
D ( P − p) i
e−µ T ;
i
(
)
1 ( µ e ) − T (1 − e ) ;
i 1 µ e−µ T − 1 µ − T :
−µ T
TPR12-273
−µ T
gdzie: µ = liczba pojazdów/s,
P = łączna liczba pieszych,
p = liczba pieszych mogących przejść bez opóźnienia,
D = łączne opóźnienie osiągane przez wszystkich pieszych.
Podobne do powyższych analizy były przeprowadzone przez wielu autorów łącznie
z Tannerem (1951), który jeszcze wyprowadził rozkłady dla rozmiarów grup pieszych
czekających na przejście przez drogę, zakładając losowe przybycia pojazdów jak
i pieszych.
Niech α= liczba pieszych czekających na przejście, kiedy losowy pojazd przejeżdża,
β= liczba pieszych przechodzących natychmiast po losowym pojeździe,
γ= losowy rozmiar grupy przechodzącej,
δ= liczba pieszych czekających przez losowy czas,
ε= rozmiar grupy, z którą przechodzi losowy pieszy,
η= średnia liczba pieszych przybywających/jedn.czasu,
µ= średnia liczba pojazdów przybywających/jedn.czasu,
T= odstęp graniczny.
Pisząc E dla oczekiwanej lub średniej wartości Tanner otrzymał:
(i)
E (α ) =
(ii)
E (β ) =
(iii)
E (γ ) =
η(e µ T − 1)
µ
,
η(1 − e − µ T )
µ
,
µ e − µ T + η e −η T
,
(µ + η) e (η − µ ) T
η(e µ T − µ T − 1)
(iv)
E (δ ) =
(v)
E (ε ) = 1 +
µ
2η
(e
µ
µT
,
)
− µT −1 .
Na końcu rozdziału zwracamy uwagę na pewne ważne praktyczne kierunki. Z
punktu, w którym inżynier ruchu decyduje o kanalizacji pieszych na skrzyżowaniu
zwykle zakłada się, że potok ruchu powinien być taki, aby 50% wszystkich pieszych
otrzymywało średnie opóźnienie 2 s i to odpowiada średniemu opóźnieniu na
opóźnionego pieszego około 4 s, dla wielkości ruchu około 130 pasażero - pojazdów/h.
12.3 Modele bardziej złożone
Tanner (1962) rozważał model T-skrzyżowania, w którym zawarł wiele założeń, ale
które są widocznie nierealne i dał wzór na średnie opóźnienie pojazdów na drodze
podporządkowanej, kiedy system jest w równowadze statycznej, tj. kiedy pojazdy mogą
w dłuższym przebiegu przejść przez skrzyżowanie z większym natężeniem niż
faktycznie przybywają. Wzór został wyprowadzony przy losowych potokach głównym
i podporządkowanym.
TPR12-274
Minimalny
czas
następstwa
w potoku
głównym
Odjazdy
β1
α
β2
β2
β1
α
Rozkład
na
drodze
głównej
Przybycie
Rys.12.3 Schemat pokazujący przybycia i odjazdy na T-skrzyżowaniu.
Model matematyczny jest następujący. Główny potok ruchu składa się
z pojedynczego strumienia pojazdów, które przybywają na skrzyżowanie losowo ze
średnim natężeniem q1 jedn.czasu , ale które nie mogą przejechać przez skrzyżowanie
przez krótszy odstęp niż czas β 1 . Tak więc, pojazdy na drodze głównej formują proces
kolejek i średnie opóźnienie na pojazd zgodnie z teorią kolejek wynosi:
1 2
β 1 q1
2
.
w1 =
1 − β 1 q1
Pojazdy na drodze podporządkowanej również przybywają losowo z natężeniem
q 2 jedn.czasu , a β 2 jest najkrótszym czasem przejazdu przez skrzyżowanie. Dalej,
one nie mogą wejść na skrzyżowanie w czasie α > β 1 po poprzednim pojeździe
na drodze głównej. Nie ma tu ograniczeń na jak blisko pojazd potoku głównego może
przejechać po pojeździe z drogi podporządkowanej. Dlatego na drodze głównej jest
sekwencja bloków i odstępów. Wewnątrz bloków przedziały rozdzielające pomiędzy
pojazdami są mniejsze niż α, a odstęp jest większa niż α. Podczas odstępu pojazdy drogi
podporządkowanej przechodzą przez drogę główną w odstępach β 2 , aż do wystąpienia
następnego bloku, jak to pokazane na rys.12.3. Zauważ. Że jeżeli β 1 = 0 , to ruch na
drodze głównej jest losowy: "zamiarem" wąskich gardeł jest wprowadzenie elementów
pakietowania do ruchu na drodze głównej.
W tym modelu Tanner wyprowadził wzór na średnie opóźnienie w2 pojazdów na
drodze podporządkowanej, kiedy system jest w równowadze statystycznej.
Ponieważ przybycia na drodze głównej są losowe, a więc rozkład czasu odstępu jest
wykładniczy, tj.
f (t ) = q1 e − q1t
, 0<t <∞
(12.8)
Funkcja tworząca rozkładu czasu trwania bloku dana przez Tannera (1953) jako:
TPR12-275
( )
E e pt = M (t ) =
ν (q1 − p )
ν q1 − (ν q1 − q1 + p ) exp[(q1 − p )(α − β l )]
,
(12.9)
gdzie ν jest mniejszym rzeczywistym pierwiastkiem równania:
ν = e β q (ν −1) + β p ,
1 1
1
a p jest parametrem. Relacja ta daje:
E (t ) =
e q1 (α − β 1 )
1
− ,
q1 (1 − β 1 q1 ) q1
(12.10)
i
1 2 2

β 1 q1 
q1 (α − β 1 )

1
e
q1 (α − β 1 )
2 2
2
E t2 = 2
e
−
q
1
−
q
−
1
+
q
−
q
+
α
β
β
β
(
)

.
1
1 1
2 1
1 1
2
1 − β 1 q1 
q1 (1 − β 1 q1 ) 


(12.11)
( )
Tanner zastosował tu metodę punktów regeneracji opisaną przez Kendalla (1951),
która pozwala określić w2 jako:
w2 =
( )
E t2
(
)
2 y − q 2 y β 2 q1e − β 2 q1 + e − β 2 q1 − 1 q1
(
1 − q2 y 1 − e
β 2 q1
)
(12.12)
gdzie : y = E (t ) + 1 q1 .
Dla modelu losowego E(t) i E(t2) jest dane przez (12.10) i (12.11), ale (12.12) jest
ważne dla innych rozkładów, dla których może być użyta metoda punktów regeneracji.
Zauważmy przede wszystkim pewne specjalne przypadki. Jeżeli q1 = 0 , to pojazdy
z drogi podporządkowanej tworzą kolejkę z nieprzerwaną obsługą i (12.12) redukuje się
do zwykłego wzoru:
1 2
β 2 q2
.
w2 = 2
1 − β 2 q2
Gdy natomiast q2 dla β2=0, to pojazdy na drodze podporządkowanej nie tamują się
wzajemnie i (12.12) upraszcza się do:
1 2
β 1 q1
1 − β 1 q1 + β 12 q12
e q1 (α − β 1 )
2
w2 =
−α −
+
.
q1 (1 − β 1 q1 )
q1 (1 − β 1 q1 )
(1 − β 1 q1 )2
(
)
Tanner jeszcze zauważył, że w2 → ∞ , gdy:
q 2 → q 2 (max) =
q (1 − β 1 q1 )
e
1
q1 (α − β 1 )
TPR12-276
(1 − e
− β 2 q1
)
.
To jest największy potok na drodze podporządkowanej przy założonych w modelu
warunkach. Suma q 2 (max) i q1 daje warunkową przepustowość skrzyżowania dla
szczególnego potoku ruchu.
Tanner stabilizował opóźnienie w2 dla ośmiu różnych kombinacji α, β 1 , β 2 , q1
i q 2 . Jeżeli dla przykładu weźmiemy: α = 8 s, β1 = 1 s, β2 = 3 s, i jeżeli potoki na
drodze głównej i podporządkowanej wynoszą odpowiednio 900 poj./h. oraz 72 poj./h.
to:
q1 = 900 3600 = 0.25
q 2 = 72 3600 = 0.02
Oznacza to, że 2 pojazdy potrzebują (8 + 3) = 10 s na przejazd, 3 pojazdy potrzebują
(8 + 6) = 14 s i.t.d. Podstawiając w (8.12) mamy:
w2 ≈ 28 s.
Bardziej realistyczny model wprowadza na drodze podporządkowanej dwa
strumienie przecinające potok główny z obydwu kierunków z natężeniami q1 , q 2 .
Wymaga to znajomości rozkładów bloków i odstępów na drodze głównej, kiedy dwa
przeciwne strumienie są traktowane jak jeden. Odstępy w połączonym strumieniu ma
rozkład wykładniczy ze średnią 1 (q1 + q 2 ) , ale do dziś nie wyprowadzono rozkładu
długości bloku.
Miller (1963) rozważał opóźnienie pieszych lub pojazdów na drodze
podporządkowanej dla przypadków, gdzie ruch na drodze głównej odbywa się
w pakietach lub kolejkach, jak to opisano w 7.1. W tym modelu on postuluje kolejki
i pojazdy losowo rozmieszczone na drodze z kolejkami przybywającymi z natężeniem
λ, a potok kolejek będzie µ (z drogi podporządkowanej - JW). Średni czas czekania dla
pojazdu na drodze podporządkowanej jest dany jako:
(
λ t +τ
E (t ) =
2
)
2
,
gdzie: t = średni czas dla przejścia kolejki przez punkt,
τ = minimalny akceptowany odstęp.
Prawdopodobieństwo, że pojazd z drogi podporządkowanej będzie mógł przejechać
natychmiast jest:
(
)
P(0) = 1 − µ t e − λ τ ,
gdzie: 1 µ = t + 1 λ .
Weźmy dla przykładu, że jeżeli τ = 5, t = 10 i natężenie kolejek (!) jest 120 poj./h,
tj. λ = 120 3600 = 1 30 , to:
E (t ) =
(10 + 5)2
60
Gdy µ = 1 40 , to:
TPR12-277
= 3,75s.
 10 
P(0) = 1 −  e −0,33 = 0,54
 40 
Miller porównał swój model z modelem losowym. Znalazł on małą różnicę
w średniej czasu czekania dla pojazdów chcących przeciąć główny strumień.
Wywnioskował on, że model z losowymi pakietami, jednak, przewiduje możliwości
przekraczania bez opóźnienia lepiej niż model losowy.
Żaden z modeli rozważanych w tym rozdziale w pełni nie oddaje dla zarówno
częstych jak i ważnych przypadków opóźnienia dla pojazdów przecinających główny
strumień, tj. dodatkowe opóźnienie występujące w czekających w kolejce pojazdach
jeden za drugim. Weiss i Maraduchin (1962) rozważali przypadek, gdzie dwa pojazdy
przybywają podobnie, ale teoretyczne rozważanie bardziej realistycznego modelu jest
dosyć trudne.
Znaczenie pewnych modeli jest otwartym problemem T-skrzyżowania
odpowiadające warunkom modeli nie są zawsze łatwe do znalezienia. Potok drogi
głównej musi być niezakłócony w wielu przypadkach; to eliminuje wszystkie
skrzyżowania, gdzie skręcające w prawo pojazdy z drogi podporządkowanej mogą
włączać się do potoku. Z tego powodu potok z drogi podporządkowanej może być
jeszcze niezakłócony. Modele nie pozwalają pieszym przecinać skrzyżowania bez
pojazdów skręcających na drogę podporządkowaną z drogi głównej.
To prawda, że kierowcy nie zachowują się wszyscy systematycznie w sytuacjach
T-skrzyżowania. Na przykład, potok drogi głównej może być zakłócony przez
uprzejmego kierowcę zwalniającego, aby wpuścić ukazujący się pojazd z drogi
podporządkowanej. Inna wersja tego, gdy pojazdy z drogi podporządkowanej akceptują
za mały odstęp powodując zwolnienie pojazdów drogi głównej.
Bardziej realistyczne modele są niewiarygodne do ujęcia za pomocą metod
analitycznych i będą musiały być prawdopodobnie symulowane. To podejście do
rozwiązywania problemów będzie opisane w rozdz. 9. Jak można było zauważyć,
kryterium przedstawienia skrzyżowania zwykle bierze się średnie opóźnienie pojazdu
na drodze podporządkowanej. Wielkość ta ma znaczenie matematyczne, ale do
warunków dzisiejszego dnia, to ma drugorzędne znaczenie w porównaniu z tym, czym
jest przepustowość. Wielkość ta, faktycznie jest łatwa do badania zarówno
doświadczalnego, jak i teoretycznego, i to wygląda lepiej na przyszłość w związku
z dwoma podejściami.
12.4. Skrzyżowania sterowane światłami.
Wielu autorów rozważało opóźnienia na światłach o stałym cyklu, ale najwięcej
modeli jest uproszczone i wyidealizowane, ponieważ pojawiają się trudności
matematyczne. Opiszemy najpierw pewne wyniki należące do Little (1961) dla
pewnych idealizowanych sytuacji, a później przejścia do pewnych metod
aproksymacyjnych należących do Newell (1965) dla rozpatrywania bardziej
kompleksowych i realistycznych sytuacji.
Little sformułował wiele modeli, na których podstawie oceniał opóźnienie pojazdów
w wielu sytuacjach. Dla przystosowania modeli do praktyki tylko najbardziej ważne
zmienne były wprowadzane i jako konsekwentne wyniki mogły być stosowane tylko dla
niskich i średnich potoków.
W rozważanych modelach zakładano, że powstaje kolejka na światłach. Przybycia
traktowane były jako losowe i z pojedynczego pasa. Na światłach ruch jest
zatrzymywany na czas T, a następnie zwalniany, pojazdy będące w ruchu mogą
poruszać się tylko na wprost przed siebie. Zakłada się, że zatrzymywanie i ruch są
natychmiastowe, i że ruszające pojazdy mają stały odstęp czasu h pomiędzy nimi. To
założenie o stałych przyspieszeniach nie jest prawdziwe w praktyce, jako że pojawia się
ekstra opóźnienie, które może być częściowo eliminowane poprzez stosowanie
TPR12-278
"efektywnego" czerwonego, które jest równe aktualnemu czerwonemu plus średnie
opóźnienie z powodu przyśpieszenia.
Dla niskich do średnich potoków ruchu, tj. dla przypadku, w którym nie ma
pozostających pojazdów z jednej fazy czerwonego do następnej, Little rozwinął
równanie dla średniej długości kolejki na światłach. To jest:
E( N ) =
qR
,
1 − qh
gdzie: q = potok w pojazdach/sek/pow.ruchu,
R = efektywny czas czerwony,
h= odstępy czasu na sygnałach.
Jeżeli h zakłada się stałe, to średni czas dla przejazdu kolejki przez skrzyżowanie jest:
E (t ) = E ( N )h .
Ten model może być rozszerzony na przypadek wielopasowego ruchu w dwóch
szczególnych przypadkach. W pierwszym modelu przybywające pojazdy łączą się
w najkrótszą kolejkę na światłach. Jeżeli n jest liczbą podchodzących pasów, to średni
czas dla kolejki będącej rozproszoną jest dany przez aproksymację:
h
E (t ) = E ( N ) .
n
Drugi model wygląda, że daje lepszą aproksymację. W tym, przybycia tworzą n
rozdzielnych i niezależnych strumieni ruchu. Jeżeli maksymalna długość kolejki na
jakimś strumieniu jest Q, to średni czas dla kolejki przechodzącej jest Qh. Jeżeli każdy
pas ruchu jest rozważany, jako oddzielny strumień, to średnia długość kolejki dla
każdego pasa ruchu jest:
E( N ) =
(q n)R = qR ,
1 − (q n)h n − qh
gdzie q jest łącznym potokiem.
Biorąc dla przykładu, że, jeżeli łączny potok jest 600 poj./h na dwóch pasach,
efektywny czerwony jest 60 s, a h jest 3 s, to:
q=
600
1
=
= 0,083 poj s ,
2 ⋅ 3600 12
E( N ) =
0,083(60)
≅ 7.
1 − 0,083(3)
Sygnalizowane skrzyżowanie badali inni autorzy, wśród nich Hawkes (1963),
Newell (1960) i Darroch (1964).Newell badał dyskretny czas kolejki na światłach dla
specjalnego przypadku, gdzie co najwyżej jeden pojazd przybywa przez jednostkę
czasu. Darroch rozszerzył tę pracę wprowadzając ogólny proces przybyć.
Najwięcej artykułów bierze potok wyjściowy jako regularny podczas fazy zielonej,
a wejście jako prosty losowy. Jednak, jeżeli sygnały są w bliskim sąsiedztwie do
innych, wejście ma dobrze znany cykliczny charakter. Szczególnie to jest prawdziwe
w połączonych systemach. Blunden i Pretty (1965) zastosowali cykliczne potoki
TPR12-279
wyjściowe i wejściowe i wyrazili je jako ciągłe zmienne przez średnie szeregów
Fouriera.
Rzeczywiste urządzenia i rzeczywisty ruch są tak skomplikowane, że dokładna
analiza realistycznych modeli jest niemożliwa., z tego powodu używają zamiast
analogii płynów. Najprostsza z nich należy do Claytona (1941). Bardziej świeży artykuł
Newella (1965) poświęcony problemowi przez zastosowanie aproksymacji bazującej na
reprezentacji kolejki, jako ciągłego potoku zarówno deterministycznymi jak
i stochastycznymi własnościami. Te aproksymacje bazują na zastosowaniu prawa
wielkich liczb (lub centralnego twierdzenia granicznego) i mierzą bardzo wrażliwe na
przyjętą formę przybyć i odjazdów procesów. Wynikowe opóźnienia w rozważaniach
Newella różnią się o parę procent. Aproksymacja, którą się posłużono, faktycznie,
asymptotycznie i stosuje się tylko w przypadkach, gdzie średnia długość kolejki jest
nieskończona. W praktyce to może być użyte dla średniej kolejki. Powiedzmy 10.
W modelu Claytona pojazdy przybywają w regularnych odstępach (odstęp 1/q),
tworząc kolejkę podczas czerwonego czasu R przed sygnałem ruchu, a opuszczając
podczas następnego zielonego, ponownie w regularnych odstępach (odstęp 1/s). Ten
proces trwa aż do albo końca zielonego lub końca kolejki, który jest wcześniejszy. To
łatwo ocenić długość kolejki, w jakim czasie w tym modelu, ale są tu pewne
komplikacje algebraiczne związane z faktem, że wielkości 1/q, 1/s, R, G, mogą nie być
racjonalnie pomnożone w stosunku do innych. Te komplikacje znikają, jeżeli potok
pojazdów jest rozumiany przez nas jak ciągły płyn przybywający z natężeniem q na
jednostkę czasu i opuszczającym po czasie R z natężeniem s na jednostkę czasu,
najpierw z natężeniem q.
Niech A(t), D(t) będą sumarycznymi liczbami przyjazdów i odjazdów odpowiednio
w czasie t fazy zielonej, kiedy kolejka jest niepusta, to:
A(t ) = qt , D(t ) = st .
Niech Q(t) będzie długością kolejki w czasie t i rozpoczęcie czerwonej fazy jako t = 0.
To Q(t) jest:
Q(t ) + A(t )
0<t ≤ R
Q(t ) = Q(0) + A(t ) − D(t − R )
R ≤ t ≤ t0
0
t0 ≤ t ≤ R + G
(12.13)
Q(0)+qR
Q(t)
Q(0)
nachylenie q
nachylenie (q -s)
0
R
to
R+G
t
Rys.12.4 Rysunek pokazujący długość kolejki na sygnalizowanym skrzyżowaniu.
TPR12-280
gdzie t0 jest czasem, w którym pierwsza kolejka znika. Q(t) ma formę pokazaną na
rys.8.4 . Stąd krzywa jest kawałkami ciągła, natomiast t0 jest dane przez:
Q0 + A(t 0 ) + D(t 0 − R) = 0
tj.
t0 =
Q(0) + qR
+ R dla t 0 < R + G
s−q
Jeżeli t0 > R + G , to równanie na Q(t) ma jeszcze zastosowanie tak długo, aż t ≤ R + G
Dla znalezienia wyrażenia dla łącznego opóźnienia zauważ, że łączne opóźnienie
wszystkich pojazdów w(t , t + δ t ) jest Q(t )δ , stąd w czasie (R+G) to jest pod krzywą
daną przez równanie (8.13), tj.
R +G
W=
∫ Q(t )dt .
0
Dla t 0 ≤ R + G
2
1

 [Q(0) + qR]
W =  RQ(0) + qR 2  +
.
2
2( s − q )


Dla t 0 ≥ R + G
W = GQ( R + G ) + RQ(0) +
1 2 1
qR + ( s − q )G 2 .
2
2
Stąd kolejka w (R+G) jest dana
Q( R + G ) = Q(0) + q (s − q )G ,
ostatnie wyrażenie upraszcza się do:
W = ( R + G )Q(0) + qRG −
1
1
(s − q )G 2 + qR 2 .
2
2
Stąd:
2
1 2  [Q(0) + qR]

 RQ(0) + 2 qR  + 2(s − q )
W=
1
1
( R + G )Q(0) + qRG − ( s − q )G 2 + qR 2
2
2
t0 ≤ R + G
(12.14)
t0 ≥ R + G
Te surowe wzory mogą być zastosowane do świateł o stałym cyklu z alternatywnymi
czerwonymi i zielonymi okresami. Jeżeli q(R + G) < sG oraz Q(0) jest skończone, to
stan równowagi będzie ewentualnie osiągnięty wtedy, gdy Q(t) będzie zmierzać do zera
na początku pewnego czerwonego oraz Q(t) będzie okresowe. W takim przypadku,
łączne opóźnienie jest dane przez (8.14) z Q(0) = 0, tj.
TPR12-281
W=
sqR 2
.
2( s − q )
(12.15)
Stąd średnie opóźnienie na pojazd jest:
w=
W
R2
.
=
q( R + G ) 2( R + G )(1 − q s)
Dla q(R + G) > sG kolejka rośnie i opóźnienie na cykl staje się nieskończone. Dla
dwóch strumieni międzysekcyjnych czerwony czas dla jednego strumienia jest równy
zielony + żółty i opóźnienie obydwóch strumieni na cykl jest otrzymywane jako suma
dwóch wyrażeń typu (12.15) z odpowiednimi wartościami dla R.
Newell uogólnił podejście Claytona i użył asymptotycznej aproksymacji dla
uproszczenia wyników w sposób podobny, jak to było zrobione w teorii ruchów
Browna. W praktyce R, G są podobnego rzędu i nasycający potok przez cykl sG jest
rzędu 10. Jednak, załóżmy najpierw, że sG → ∞ . Oznacza to, że również R → ∞
i G → ∞ z (R/G stałym) lub q → ∞ i s → ∞ z czasem jednostki wynoszącym (R+G),
tj. R i G 0(1). Jeżeli przybycia i odjazdy tworzą stacjonarny proces stochastyczny, to
liczba przybyć i odjazdów powinna odpowiadać prawu wielkich liczb. Oznacza to, że
dla pewnego ograniczonego procesu, w którym średnia liczba przybyć → ∞ , to jeżeli N
jest losową liczbą przybyć, to N E ( N ) → 1 i my mamy ciągły płyn. Wystarczającym
(ale niekoniecznym) warunkiem jest ten, że odstępy między przybyciami są niezależne
i w takim przypadku określony jest proces rekurencyjny.
Newell sugerował, że A(t), D(t) będą traktowane jako zmienne losowe, tak, że:
E [ A(t )] = qt , E [ D(t )] = st .
Wtedy jak sG → ∞ ,
A(t )
sG
→
qt
,
sG
(12.16)
D(t )
sG
→
t
G
z prawdopodobieństwem jeden. Pozostałe wzory mają ten sam sens, jeżeli:
Q(t) jest mierzone w jednostkach sG,
to jest mierzone w jednostkach G,
W jest mierzone w jednostkach sG2,
w jest mierzone w jednostkach G.
Praktyczne sytuacje zwykle nie są zgodne z tymi warunkami. Jednak, jeżeli my
najpierw interesujemy się łącznym opóźnieniem i jeżeli Q(t) jest pewną losową funkcją
czasu, to nie jest ważne dla równań (12.11) obowiązujących dla każdego T. To jest
tylko konieczne, że powierzchnia pod krzywą określoną przez Q(t) ma małe fluktuacje.
Jeżeli fluktuacje długości kolejek będą mogły być zaniedbane, otrzymujemy
oczekiwaną długość kolejki:
R +G
E (W ) =
∫ E[Q(t )]dt .
0
Poprzez długi okres, powiedzmy n cyklów liczba przybyć jest nq(R+G) w przybliżeniu,
a łączny czas czekania jest nq'(R+G)E(W). To jest równy nE(W), stąd dla prawie
wszystkich rozwiązań wzór dla stacjonarnych zgłoszeń:
TPR12-282
E ( w) =
E (W )
q( R + G )
,
Teraz łączny czas czekania W jest przetwarzany na łączny czas czekania podczas
czerwonego WR oraz czas czekania podczas zielonego WG. Tak więc:
R
R
0
0
E (WR ) = ∫ E [Q(0) + A(t )]dt = RE [Q(0)] + ∫ qtdt .
Stąd:
[
]
E (W ) = RE Q(0) +
1 2
qR + E (WG ) .
2
(12.17)
Jeżeli q s jest małe porównywalne z 1, to średni czas dla kolejki jasne, że będzie rzędu
qR s , który jest bardzo mały porównywalny z G. Prawdopodobieństwo, że
w równowadze kolejki nie będzie rozładowana przez czas G, będzie krańcowo małe
i również E (WG ) będzie małe w porównaniu z E (WR ) . To są przypadki, w których
E (WG ) można zaniedbać i dlatego komplikuje to ocenę tych wielkości, będziemy
rozważać tylko taki przypadek, gdzie to może być pominięte. Stąd, z wyjątkiem
nietypowych strumieni przybyć, na przykład pakietów w sG:
E (W ) ≈
1 2
qR
2
dla q s << 1
i to można porównać z wyrażeniem (12.15)
Zauważ, że wzór ten nie jest prawdziwy dla pewnych rozkładów strumieni i nie
dopuszcza długich kolejek lub cyklów czasu. Faktycznie to jest dokładne, gdy q → ∞
i E [Q(t )] → 0 .
Jeżeli sG>>1 to jest rząd wartości q, dla których E (WG ) nie jest bez znaczenia, ale
gdzie q jest jeszcze wystarczająco małe, dlatego, aby nieznaczące prawdopodobieństwo
kolejki zmierzające do opróżnienia podczas G, tj. RE [Q(t )] może jeszcze być
pominięte w równaniu (12.17). Dodatkowym pojęciem w E(W) jak może być pokazane,
będzie 1 sG , z wyjątkiem bliskiego nasyconego potoku, w którym tu jest wszystko
opróżniane od jednego czerwonego do następnego, stąd:
E (W ) =
qR 2
2(1 − q s )
dla
(0,1 sG )
i
E (W ) =
R2
.
2( R + G )(1 − q s)
Dla potoków z zamkniętym nasyceniem lepszą aproksymacją E(W) jest:
E (W ) =
qR 2
+ ( R + G ) E Q(0) .
2(1 − q s)
[
TPR12-283
]
Używając podobnych metod, jakie użyto w teorii ruchów Browna, Newell uzyskał
następującą aproksymację E[Q(0)]:
−1
E [Q(0)] =
Ιq  G
q
−  ,

2s  R + G s 
gdzie Ι jest sumą wskaźników wariancji (iloraz wariancji do średniej) dystrybuanty
przybyć i odjazdów. To jest równe 0 (1 sG ) z wyjątkiem potoku nasycającego.
Używając tego wyrażenia dla E[Q(0)] otrzymujemy oczekiwaną wartość opóźnienia na
pojazd jako:
R2
Ι  R
q
E ( w) =
+ 
− 
2( R + G )(1 − q s) 2 s  R + G s 
−1
(12.18)
Dla wartości sG ~10, które są interesujące w praktyce, 1 sG jest niestety nierealnie
małe. Błędy z tego powodu są rzędu 10%, ale to jest właściwie do tolerowania w
sytuacji miar ruchowych.
Interesującym do porównania wzorem na E(w) dany przez (12.18) jest wzór
Webstera (10.1). W oznaczeniach tego rozdziału to jest:
−1
( R + G) α
R2
x  G
q
E ( w) =
+ 
−  − 0,65
x
2
2( R + G )(1 − q s) 2 s  R + G s 
(sG ) 3
(12.19)
gdzie: x = q ( R + G ) sG = poziom nasycenia,
α=
4
5G
+
.
3 R+G
Pierwsze ujęcie (12.18) i to (12.19) są identyczne. W drugim ujęciu różnica we
wzorze Webstera jest x, gdzie (12.18) ma Ι. W symulacji komputerowej Webster użył
przybyć Poissona, tak więc tutaj ΙA = 1. Z drugiej strony ΙD jest małe, dlatego możemy
przyjąć Ι ≈ 1 i w takim razie dwa pojęcia są zgodne w końcu dla x =1 lub potoku
nasycającego. Trzecie ujęcie Webstera było skorygowane empirycznie. Dwa wzory są
zgodne numerycznie do oczekiwanej zgodności rzędu 10-15%.
12.5 Opóźnienia na drodze swobodnej.
Problem opóźnień na dwupasowej drodze był dyskutowany przez wielu autorów
łącznie z Tannerem (1961) i Yeo (1964). Interesujące nas wielkości w tym problemie to
średni czas podróży i rozkłady odstępów i długości kolejek. Przedsiębiorstwa transportu
drogowego, na przykład, są zainteresowane odstępami pomiędzy kolejnymi autobusami
na danej linii. Dla prostego modelu Tanner otrzymał wzór teoretyczny dla średniej
prędkości pojazdu utrzymywanej podczas długiej podróży. Zasugerował on jeszcze
rozszerzenie modelu, które na dzisiaj są prawdopodobne poza możliwością
matematycznej analizy. Yeo uogólnił prosty model Tannera.
Ten model postuluje długi odcinek drogi mający dwa pasy, każdy w jednym
kierunku. Z wyjątkiem pojazdu badanego, wszystkie pojazdy w jednym kierunku
podróżują z tą samą prędkością i rozmieszczone są losowo z pewną minimalną
odległością pomiędzy pojazdami. Podobnie dla przeciwnego ruchu, ale z różnymi
prędkościami i odległościami. Pojazd badany dopędza i wyprzedza pakiet pojazdów
z minimalnymi odległościami w pojedynczym manewrze. Wyprzedza bez opóźnienia,
TPR12-284
jeżeli jest tam wystarczająca odstęp w przeciwnym potoku, a najmniejsza odstęp
akceptowalna wzrasta liniowo z rozmiarem wyprzedzanego pakietu. Jeżeli występuje
opóźnienie, to odpowiednio większa odstęp jest wymagana, aby zdążyć na czas
stracony na wyprzedzanie.
Wartości numeryczne średniej prędkości były stablicowane przez Tannera, dla
różnych wartości dla stałych modelu. Dwa ogólne wnioski wypłynęły z wyników
numerycznych. Po pierwsze, większe przyśpieszenie uzyskiwane poprzez ograniczenie
maksymalnej prędkości było by prawdopodobne, pod warunkiem wzrostu średniej
prędkości podróżnej w typowych warunkach ruchowych. Po drugie, obcięcie
wyczyszczenia, kiedy nie byłoby możliwe, pod warunkiem, że pewny warty zachodu
wzrost w prędkości podróży. Można było zauważyć, że kiedy potok ruchu wzrasta poza
pewien poziom, który był powyżej teoretycznej przepustowości drogi, najszybszy
pojazd nie może utrzymać wyższej średniej prędkości, niż taka jak inne pojazdy; prawie
cały czas był spędzony w oczekiwaniu na możliwość wyprzedzania. Średni czas
oczekiwania faktycznie staje się nieskończony.
Tanner sugerował wiele rozszerzeń tego modelu. Najbardziej oczywiste jest takie,
w którym dopuszcza się strumień szybszych pojazdów, zamiast tylko jeden. Te szybsze
pojazdy można by założyć, że mają identyczne własności.
Inną drogą rozwoju byłoby badanie niestacjonarnych zachowań. Jeżeli szybki pojazd
był wprowadzony do losowego punktu w strumieniu ruchu, w jaki sposób można wtedy
oczekiwać spadku jego średniej prędkości danej już przez analizy prostego modelu?
Tanner sugerował, że początkowa oczekiwana prędkość spadałaby bardzo powoli do tej
średniej prędkości, i w tym przypadku większość podróży nie była by wystarczająco
długa, aby użyć do tego aproksymacji.
Problemy związane z interakcjami pomiędzy pasami ruchu jeszcze nie były dotknięte
na żywo. Nie wszystkie z większości jakościowych charakterystyk były dyskutowane,
nic nie ukazało się dotychczas w tym względzie na empirycznym polu zagadnień.
12.6. Wąskie gardła
Rozważmy ponownie analogię płynu Lighthill'a i Whithama. W tej teorii nie ma
wskazań, że są tam jakieś okoliczności, które mogłyby doprowadzić do tego, że potok
w wąskim gardle spada poniżej normalnej przepustowości. Zjawisko to występuje w
ruchu drogowym, ale nie może być ujęte przez proste teorie fali kinematycznej. Jest to
znane, że wprowadzenie krótkich odstępów w strumień ruchu pomaga przejść potokowi
przez wąskie gardło. Jedynym wytłumaczeniem tego faktu jest, że są tam
wyeliminowane fale szokowe. Można jeszcze łączyć ten fakt z tym, że przyśpieszenia i
opóźnienia pojazdów mają skończone granice.
Ten ostatni fakt jest jedyną przyczyną tego, dlaczego model płynu jest niedoskonały.
Inne przyczyny przedstawiono w 4.2. Bardziej podstawowe i szczegółowe rozważania
zachowania ruchu w wąskich gardłach są potrzebne, dlatego, aby dobrze zrozumieć całe
zjawisko.
Wielu rozważających próbowało uniknąć tego podejścia, ponieważ wprowadza ono
trudności statystyczne. Sugerował to Welding (1963), że te trudności mogą być
wyminięte przez użycie analizy szeregów czasowych. To jest dosyć odmienne podejście
do problemu, zawierające technikę analizy danych doświadczalnych.
Rozważmy pojedynczy potok ruchu przechodzący przez wąskie gardło. Jeżeli
natężenie zgłoszeń pojazdów stopniowo wzrasta, to dla przepustowości w wąskim
gardle powoduje to, że prędkość pojazdów w wąskim gardle będzie spadać i jeżeli
potok ogranicza przepustowość i będą formowała się kolejka. Pojazd przechodzący
przez taki system doświadcza czterech określonych stanów tj. wolny potok przed
wąskim gardłem, tworzenie kolejki, potok w wąskim gardle i wolny potok po wąskim
gardle. To sprawia, że najlepsza charakterystyka do stosowania dla badania pozycji
TPR12-285
w wąskim gardle jest prędkość pojazdu, wąskie gardło kończy się w punkcie, gdzie
ruch zaczyna przyspieszać.
Dla zastosowania analizy szeregów czasowych należy najpierw wziąć trzy punkty na
drodze, powyżej, poniżej i w wąskim gardle i zapisać dla tych punktów czasy przejazdu
pojazdów oraz ich chwilowe prędkości. To może być zrobione za pomocą pewnego
rodzaju urządzenia automatycznego.
Wtedy takie dane mogłyby być przetworzone do formy wyznaczającej podstawy do
wnioskowania: jak projekt wąskiego gardła wpływa na przepustowość, a ponadto czy
ruch fali spowodował potok maksymalny.
Dla wyznaczenia dokładnej lokalizacji wąskiego gardła może być stosowana średnia
prędkość. Przepustowość wąskiego gardła może być wyznaczona za pomocą średniego
odstępu między kolejnymi punktami i ich zmienności jak wzrost potoku wejściowego
powoduje rozpoczęcie tworzenia kolejek.
Jeżeli i(n) jest odstępem czasu pomiędzy n-tym a (n+1)-ym pojazdami i i(m) jest
średnim odstępem, to wielkość:
cr = E [i(n) − i(m)][i(n + r ) − i(m)]
dla różnych r może być stosowane do wyznaczenia czy pojawiająca się fala w wąskim
gardle ograniczy przepustowość. Podobnie wielkości:
cσ τ = E [i s (t ) − i s (m)][i s+σ (t + τ ) − i s+ r (m)]
i
cσ' τ = E [v s (t ) − v s (m)][v s +σ (t + τ ) − v s +r (m)] ,
dla różnych σ, τ, gdzie is(t) i vs(t) są odpowiednio odstępem czasu w strumieniu oraz
prędkością w punkcie s i czasie t, mogą być stosowane do rozważań ruchu fali na
podejściu do lub wyjściu z wąskiego gardła. "Piki" krzywej dla cσ τ lub cσ' τ ( w
powiedzmy (σ', τ') mogą wyznaczyć odpowiednią prędkość fali σ ' τ ' .
W końcu ktoś może zauważyć, że powyższe wielkości, mimo, że wyglądają na
właściwe, mogą być szybko obliczane przez komputer. Ideałem było by, gdyby
komputer mógł czytać dane z taśmy papierowej tworzonej wprost przez detektory
drogowe. Takie podejście może dać nam uzmiennioną informację, która pozwoliłaby
odpowiedzieć na takie pytania: czy geometryczne koszty wąskiego gardła wpływają na
ich zachowanie lub czy takie okoliczności wpływają na utrudnienia sytuacji ruchu fali.
LITERATURA 7 –12
Rozdział 7
Ashton, W.D., 1966. The theory of road traffic flow. METHUEN & CO LTD.
Edie, L.C., 1965. Traffic stream measurements and definitions. Proc. Sec. Internat.
Symposium on the Theory of Traffic Flow, London, Paris: OECD.
Jones, T.R. and Potts, R.B., 1962. The measurement of acceleration noise – a traffic
parameter. Operations Research, 10, 745-763.
Helly, W. and Baker, P.G., 1965. Acceleration noise in a congested signalized
environment. Proc. Third Internat. Symposium on the Theory of Traffic Flow, New
York, 111-123.
Lighthill, M.J. and Whitham, G.B., 1955. On kinematics waves II. A theory of long
crowded roads. Proc. Roy. Soc. A, 229, 317-345.
Wardrop, J.G., 1952. Some theoretical aspects of road traffic research. Road Paper 36,
Proc. Instn. Civ. Engnrs. Pt. 2, 1, 325-378.
TPR12-286
Rozdział 8
Carslaw, H.S. and Jaeger, J.C., 1941. Operational Methods in Applied Mathematics.
London: O.U.P.
Edie, L.C., 1961. Car-following and steady-state theory for noncongested traffic.
Operations Research, 9, 66-75.
Herman, R., Montroll, E.W., Potts, R.R. and Rothery, R.W., 1959. Traffic dynamics:
analysis of stability in car-following. Operations Research, 7, 86-106.
Kometani, E. and Sasaki, T., 1958. On the stability of traffic flow.
Amsterdam, Elsevier.
Kometani, E. and Sasaki, T., 1961. Dynamic behaviour of traffic with a non-linear
spacing speed relationship. Theory of Traffic Flow, Amasterdam, Elsevier.
Newell, G.F., 1962a. Non-linear effects in the dynamics of car-following.
Operations Research, 9, 209-229.
Newell, G.F., 1962b. Theories of instability in dense highway traffic.
J. Operations Research Japan, 5, 9-54.
Newell, G.F., 1965. Theories of instability in dense highway traffic.
Proc. Sec. Internat. Symposium on the Theory of Traffic Flow, London,
Paris: OECD.
Sasaki, T., 1959. On the stability of traffic flow II. J.
Operations Research Japan 2, 60-79.
Rozdział 9
Anderson, R., Herman, R. and Prigogine, I. 1962. On the statistical distribution function
theory of traffic flow. Operations Research, 10, 180-196.
Franklin, R.E., 1962. The propagation of disturbances in a single lane of traffic. Civ.
Eng. Rev., 57, 344-346, 487-489.
Newell, G.F., 1962. Theories of instability in dense highway traffic.
J. Operations Research Japan, 5, 9-54.
Prigogine, I., Herman, R. and Anderson, R., 1965. Further developments in the
Boltzman-like theory of traffic flow. Proc. Sec. Internat. Symposium on the
Theory of Traffic Flow, London, Paris: OECD.
Rozdział 10
Greenberg, G.H., 1959. An analysis of traffic flow. Operations Research, 7, 79-85.
Greenshields, B.D., 1935. A study of traffic capacity
Hight, F.A., 1958. Towards a unified theory for road traffic.
Operations Research, 6, 813-826
Rozdział 11
Beckman, M., MCGUIRE, C.B. and Winsten, C.B., 1956. Studies in the Economics of
Transportation. New York, Yale University Press.
Buchman, C., 1963. Traffic in Towns. London, H.M. Stationery Office.
Charlesworth, G. and Webster, R.V., 1958. Some factors affecting the capacity of
intersections controlled by traffic signals. 4th Int. Study W k in Tr. Engng,
Copenhagen, Denmark. London: World Touring and Automobile Organization.
Haight, F.A., 1959. Overflow at traffic light. Biometrika, 46, 420-424.
TPR12-287
Tanner, J.G., 1962. A theoretical analysis of delays at an uncontrolled intersections.
Biometrka 49, 163-170.
Uematu, T., 1958. On traffic control at an intersection. Controlled by the repeated fixedcycle traffic light. Ann. Inst. Statist. Math. Tokyo, 9, 87-107.
Webster, F.V. and Wardrop, J.G., 1962. Capacity of urban intersections.
Traff. Engng & Control, 4, 396-401.
Rozdział 12
Borel, E., 1942. Sur l’emploi du théoreme de Bernouilli pour faciliter le calcul d’un
infinité de coefficient. Application au probléme de l’attente a un guichet.
Competes Rendus Acad. Sci. Paris 214, 452-456.
Cox, D.R. and Smith, W.L., 1961. Queues. London, Methuen., New York, Wiley.
Miller, A.J., 1961a. A queueing model of road traffic flow.
J. R. Statist. Soc. B, 23 64-75.
Miller, A.J., 1961b. Traffic flow treated as a stochastic process.
Theory of Traffic Flow, Amsterdam, Elsevier.
Miller, A.J., 1962. Road traffic flow considered as a stochastic process.
Proc. Camb. Phil. Soc. 58, 312-325.
Rallis, T., 1965. The application of Erlang’s theory to the calculation of road capacity.
Proc. Third Internat. Symposium on the Theory of Traffic Flow, New York.
Smeed, R.J. and Bennet, G.T., 1949. Research on road safety and traffic flow.
Road Paper 29, Proc. Intn. Civ. Engnrs.
Tanner, J.C., 1953. A problem of inteference between two queues.
Biometrika, 40, 58-69.
TPR12-288

wg Ashton, 1966

Transkrypt

Podobne dokumenty

TR AFFIC Umywalka meblowa podwójna 120 cm Traffic

Projektowanie funkcjonalne

PRZECIWSKAZANIA: aktywna opryszczka aktywne choroby skóry

Plan wystaw

BONA TRAFFIC Opis produktu

Zamawiający Projektant Inżynier Wykonawca robót 1. Różnice i błędy

Karta oceny Dostawcy / Wykonawcy 6