analizy wytężenia belek żelbetowych z betonu o wysokiej

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 45, t. 14, rok 2012 – ISSN 1896-771X
ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK
ŻELBETOWYCH Z BETONU O WYSOKIEJ
WYTRZYMAŁOŚCI
Piotr Smarzewski1a
Katedra Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Lubelska
e-mail: [email protected]
1
Streszczenie
W artykule przedstawiono analizy wytężenia zginanych belek żelbetowych wykonanych z betonu o wysokiej
wytrzymałości o niskim stopniu zbrojenia. Modelowanie deformacji elementów pod obciążeniem statycznym
do zniszczenia włącznie z uwzględnieniem nieliniowości fizycznych betonu i stali zbrojeniowej przeprowadzono z wykorzystaniem zasad metody elementów skończonych. W celu zweryfikowania przyjętych modeli
materiałów konstrukcyjnych wyniki analiz numerycznych porównano z wynikami eksperymentów.
ANALYSIS OF THE EFFORT OF REINFORCED
HIGH-STRENGTH CONCRETE BEAMS
Summary
Numerical modelling of flexural behavior of the reinforced high-strength concrete beams with low reinforcement
ratio is discussed in this paper. Modelling mechanism of failure reinforced concrete beams under static load, static
deformation processes of the reinforced high-strength concrete beams with regard to the physical nonlinearities of
the structural materials were developed using finite element analysis. The comparison of the numerical and experimental results as well as theoretical solutions, were presented.
1. WSTĘP
Postęp w technice komputerowej i nowe generacje
ściowych skłaniają również ku konieczności podjęcia
oprogramowania obliczeniowego umożliwiają wykony-
badań teoretycznych z zakresu modelowania mechani-
wanie symulacji nieliniowego zachowania żelbetowych
zmów zniszczenia zbrojonych elementów konstrukcyj-
układów
nych wykonanych z takiego materiału.
konstrukcyjnych
do
chwili
zniszczenia
z uwzględnieniem zróżnicowanych właściwości materia-
Wytężenie belki jest to ogół zmian strukturalnych
łowych, rzeczywistego układu zbrojenia i wzajemnej
i
współpracy betonu ze stalą zbrojeniową.
fizycznych
postępujących
w elemencie
podczas
wymuszonej deformacji pod obciążeniem statycznym,
Analiza zachowania belek żelbetowych wykonanych
termicznym, geometrycznym, czy też dynamicznym.
z betonu o wysokiej wytrzymałości była przedmiotem
Efektami tych zmian jest rozwój rys, mikrorys
wielu prac doświadczalnych m.in. Kamińskiej [4],
i dyslokacji obserwowanych odpowiednio na poziomie
Rashida i Mansura [5]. Niewątpliwie zastosowanie
makroskopowym, mikroskopowym i struktury ato-
betonu wysokowartościowego w budownictwie będzie
mowej do utraty zdolności przenoszenia obciążeń
stale wzrastało ze względu na jego wysoką wytrzyma-
przez element belkowy. Miarą wytężenia są napręże-
łość, wysoki moduł sprężystości oraz dużą odporność na
nia główne. Stan zarysowania matrycy betonowej
wpływy
agresywnego
utworzy się, gdy dowolne naprężenie główne jest rozcią-
środowiska. Specyficzne cechy betonów wysokowarto-
gające i przekracza wytrzymałość betonu na rozciąganie.
klimatyczne
i
oddziaływanie
139
ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK ŻELBETOWYCH Z BETONU…
Rys. 1. Propozycja zależności naprężenie-odkształcenie betonu: (a) w stanie jednoosiowego ściskania, (b) w stanie jednoosiowego rozciągania
Natomiast stan zmiażdżenia powstanie, gdy wszystkie
naprężenia główne są ściskające.
Tematem i głównym celem pracy jest modelowanie
Istotą jej jest uwzględnienie w stanie jednoosiowego
mechanizmu zniszczenia belek żelbetowych obciążonych
ściskania fazy sprężysto-plastycznego wzmocnienia
statycznie, wykonanych z betonu o wysokiej wytrzyma-
i fazy osłabienia materiałowego oraz potwierdzonych
łości, z uwzględnieniem fizycznych nieliniowości mate-
doświadczalnie znacznie większych wartości odkształ-
riałów konstrukcyjnych.
ceń granicznych uzyskanych w konstrukcjach niż na
Zakres pracy obejmuje wykonanie analiz porównaw-
próbkach. W wielu modelach powstałych na podstawie
czych własnych wyników teoretycznych z wynikami
badań próbek opadająca część krzywej jest tym mocniej
doświadczalnymi Kamińskiej [4]. Porównania otrzyma-
nachylona, im wyższa jest wytrzymałość betonu, co
nych
obciążenie-
świadczy o większej kruchości betonu o wysokiej wy-
weryfikacji
trzymałości. Ta prawidłowość nie zawsze jednak znajdu-
przyjętych założeń i modeli odkształcenia betonu i stali.
je odzwierciedlenie w zachowaniu betonu w żelbetowych
Podstawowe założenie przyjęte w pracy dotyczy rozwa-
elementach konstrukcyjnych. Ponadto wyniki badań
żań w zakresie dużych odkształceń.
doświadczalnych wykazały, że obawy o niską odkształ-
wyników na
przemieszczenie
poziomie zależności
stanowią
podstawę
do
calność betonu o wysokiej wytrzymałości w elementach
2. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI
MATERIAŁÓW
KONSTRUKCYJNYCH
konstrukcyjnych
są
nieuzasadnione.
zjawisko jest korzystne z punktu widzenia bezpieczeństwa konstrukcji. Przyjęcie w modelu zbyt małych
możliwości odkształcania się betonu o wysokiej wytrzy-
2.1. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI
BETONU
małości przy ściskaniu, zgodnych np. z zaleceniami
Model Code 90 [1], skutkuje znacznym zmniejszeniem
Powierzchnię graniczną betonu przedstawiono za pomo-
granicznych krzywizn elementów konstrukcyjnych.
cą modelu pięcioparametrowego Willama i Warnke [7].
Własna koncepcja zachowania betonu wysokiej wy-
2.2.
trzymałości w stanie jednoosiowego ściskania i roz-
STALI ZBROJENIOWEJ
ciągania w konstrukcji żelbetowej powstała na podstawie
przeprowadzonych
analiz
numerycznych
W
i
MODELOWANIE
konstrukcjach
betonowych
WŁAŚCIWOŚCI
stal
jest
używana
w postaci prętów zbrojeniowych. Upraszcza to znacznie
wyników doświadczalnych belek żelbetowych (rys. 1).
problem modelu materiałowego stali do jednoosiowego
(a)
σc
Obserwowane
stanu naprężenia. W obliczeniach numerycznych założono model materiałowy stali zbrojeniowej sprężysto-
fc
0,8fc
plastyczny
Ec
o
identycznych
rozciąganiu i ściskaniu (rys. 2).
α = 1, dla ρ<0,5%
αfc/3
α = 2, dla ρ>1,5%
εc0
εc1
εcu
εc
(b)
σt
ft
Τcft
t
R
Et=Ec
ck
ε
10Τcε
ck
εt
140
charakterystykach
przy
Piotr Smarzewski
żenie-przemieszczenie, gdyż w punkcie zerowania macierzy sztywności stycznej analiza nie będzie zbieżna.
3.2. METODA NEWTONA-RAPHSONA
ZE SPADKIEM ADAPTACYJNYM
Metoda spadku adaptacyjnego przedstawiona w pracy
Eggerta i in. [3] polega na zmianie ścieżki rozwiązania w
pobliżu punktu granicznego i poruszaniu się wstecz
wzdłuż siecznej, aż do szybkiego uzyskania zbieżności
rozwiązania numerycznego. Macierz sztywności jest
opisana jako suma dwóch macierzy:
[ KiT ] =ξ [ KS ] + (1-ξ ) [ K T ] ,
[ KS ] - macierz sztywności siecznej,
[ KT ] - macierz sztywności stycznej,
Rys. 2. Wykres naprężenie-odkształcenie stali zbrojeniowej
zastosowany w analizach numerycznych
Płyty stalowe usytuowane w miejscach podparcia i
przyłożenia siły skupionej modelowano jako materiał
ξ
liniowo-sprężysty.
(1)
- parametr spadku adaptacyjnego.
Metoda polega na uzgodnieniu parametru spadku adap-
3. METODY NUMERYCZNE
tacyjnego
ROZWIĄZANIA ZADANIA
ξ
podczas iteracji równowagi.
3.3. METODA CRISFIELDA
3.1. METODA NEWTONA-RAPHSONA
W celu ustalenia krzywej obciążenie-przemieszczenie
W nieliniowych zagadnieniach zachowania konstrukcji
wykazującej globalne osłabienie konstrukcji zastosowano
żelbetowych, w celu ustalenia ścieżki równowagi, po-
metodę długości łuku, rys. 4.
wszechnie
wykorzystywana
jest
metoda
Newtona-
W metodzie numerycznej równanie podstawowe uzależ-
Raphsona (rys. 3).
λ:
nione jest od zmiennego parametru obciążenia
[ K iT ] {Δu i } =λ {Fa } - {Finr } .
F
a
Fi+1
K
nr
T
i+2
∆u 1 II
T
[K ]=0
nowy punkt zbieżności
K
T
i
łukowa powierzchnia
ograniczająca
F1
∆ui+1
∆ui+2
ui+1
∆λ2F ∆λ F
3
a
∆l
∆ui
ui
a
iteracja 3
iteracja 2
K
nr
∆λ
ścieżka równowagi
obciążenie, λF
Fi
T
i
a
iteracja 1 (u 1, λ1F )
a
iteracja 2 (u 2, λ2F )
a
iteracja 3 (u 3, λ3F )
∆λ∆u 1 I
T
i+1
∆λ1F a
iteracja 1
obciążenie, F
Fi+2
K
nr
(2)
ui+2 ui+3
przemieszczenie, u
nr
F3
nr
poprzedni punkt
a
zbieżności (u 0, λ0F )
λ0 Fa
u0
∆u 1
∆u 2
przemieszczenie, u
∆u 3
Rys. 3. Metoda Newtona-Raphsona
Rys. 4. Metoda długości łuku [2]
Stosowanie tej metody jest zalecane w przypadku mate-
W pracy Smarzewskiego [6] przeprowadzono weryfikację
riałów o charakterystykach liniowych lub dwuliniowych,
metody długości łuku na przestrzennych modelach belek
lecz okazuje się nieskuteczne w materiałach o wyższym
żelbetowych przy uwzględnieniu osłabienia odkształce-
stopniu nieliniowości. Wadą jej jest przede wszystkim
niowego przy ściskaniu i rozciąganiu. Zastosowanie tej
brak możliwości opisu opadającej gałęzi krzywej obcią-
metody pozwala na uzyskanie kompletnej ścieżki obcią-
141
ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK
BE
ŻELBETOWYCH Z BETONU
TONU…
żenie-przemieszczenie
ieszczenie i na opis mechanizmów zniszczezniszcz
nia belek żelbetowych.
4. DOŚWIADCZENIA
NUMERYCZNE
BELEK ŻELBETOWYCH
W
numerycznych
modelach
przestrzennych
belek
Metoda Newtona-Raphsona
Raphsona ze spadkiem adaptacyjnym
[N-R ad]
żelbetowych z betonu o wysokiej wytrzymałości przyjęprzyj
to wymiary elementów oraz właściwości materiałów jak
belek prostokątnych BP-1a, BP-1b
1b w pracy Kamińskiej
[4] (rys. 5).
BP-1a
Metoda długości łuku Crisfielda [A-L]
[A
F
blacha stalowa
80 x 150 x 20
300
F
2φ10
2φ10
20
strzemiona φ6
9 x 100
9 x 100
7 x 200
800
1400
200
800
φ6
3000
200
280
300
blacha stalowa
80 x 150 x 20
BP-1b
F
F
blacha stalowa
80 x 150 x 20
Otrzymane wyniki numeryczne obszarów zarysowanych
300
2φ10
2φ10
blacha stalowa
80 x 150 x 20
są jakościowo zgodne co do usytuowania, kierunku i
150
strzemiona φ6
9 x 100
koncentracji z wynikami doświadczalnymi, przy czym
9 x 100
800
1400
200
zaobserwowano nieznacznie większe
wi
obszary rys w
800
3000
Rys. 6. Eksperymentalny i numeryczny obraz zarysowania
belek BP-1 przy F = 23 kN
200
Rys. 5. Wymiary i przekrój poprzeczny belek BP-1
BP wraz z
układem zbrojenia i schematem obciążenia
kierunku podpory w przypadku wyników numerycznych.
Uwzględniając podłużną symetrię elementów, modelo-
o niskim stopniu zbrojenia BP-1a
BP
na odcinku czystego
wano ½ belki o długości 1700 mm, szerokości 150 mm i
zginania układ głównych rys dokładnie pokrywa się
wysokości 300 mm.
z układem strzemion. Numerycznie
Numeryczn obrazy rys rozmy-
Zarówno w belkach modelowych, jak i doświadczalnych
tych uzyskane przy wykorzystaniu metody długości
5. WYNIKI DOŚWIADCZEŃ
NUMERYCZNYCH
łuku Crisfielda najlepiej odzwierciedlają rzeczywisty
obraz zarysowania. Niedokładności w obszarach rys,
związane z ich znacznym zagęszczeniem, można prawpra
5.1. ANALIZA STANU ZARYSOWANIA
dopodobnie wyeliminować poprzez redukcję
re
minimalne-
Zestawienie obrazu rzeczywistego zarysowania całej
go kroku przyrostu obciążenia.
belki z numerycznym obrazem rys rozmytych jej lewej
połowy
przy
tym
samym
obciążeniu
5.2. ANALIZA NOŚNOŚCI I STANU
PRZEMIESZCZENIA
F = 23 kN
pokazano na rys. 6.
Porównania
nieliniowych
zależności
obciążenie
obciążenie-
przemieszczenie otrzymane w analizach numerycznych i
doświadczeniach zilustrowano na rys. 7. Drobne różnice
dotyczą wartości obciążenia rysującego i fazy powstania
uplastycznienia stali zbrojeniowej. Na wykresie obciążeobciąż
Metoda Newtona-Raphsona
Raphsona ze spadkiem adaptacyjnym
nie-przemieszczenie
przemieszczenie
[N-R ad]
opisana jest standardowo, przez nagłe zmniejszenie
faza
uplastycznienia
zbrojenia
sztywności belki. Zastosowane metody przyrostowoprzyrostowo
iteracyjne:
eracyjne: technika ustalania spadku adaptacyjnego (N(N
R ad – adaptive descent), jak i długości łuku Crisfielda
(A-L – arc-length)
length) dają zadowalające wyniki numerycznumeryc
Metoda długości łuku Crisfielda [A-L]
ne, jakościowo zgodne z wynikami eksperymentów.
142
Piotr Smarzewski
BP-1a
32
Metoda N-R ad
28
MES
24
32
20
F [kN]
28
MES
24
16
12
20
F [kN]
Kamińska
8
16
4
Kamińska
12
0
8
0
40
80
4
120
160
200
ud [mm]
0
0
40
80
120
160
200
Rys. 7. Porównanie zależności przemieszczenia pionowego w
środku belki od obciążenia
ud [mm]
Ostatnio przeprowadzane badania belek żelbetowych [5]
dowodzą, że skutki pęknięć belki w strefie rozciąganej
nie są kompensowane przez sprężyste właściwości stali
Metoda A-L
i plastyczność betonu w strefie ściskanej. W związku
z tym na krzywej zależności obciążenie-ugięcie obserwo-
32
wane są efekty osłabienia w postaci gwałtownych spad-
28
F [kN]
24
ków obciążenia. Takie efekty w obliczeniach numerycz-
Kamińska
MES
20
nych
16
algorytmu obliczeniowego Crisfielda umożliwiającego
12
wygenerowanie
8
przy
zastosowaniu
kompletnej
szybkozbieżnego
ścieżki
rozwiązania
z lokalnymi spadkami sztywności i globalnym osłabie-
4
niem konstrukcji.
0
0
40
80
120
160
200
6. WNIOSKI Z DOŚWIADCZEŃ
ud [mm]
NUMERYCZNYCH
BP-1b
Metoda N-R ad
Schematy zarysowania uzyskane w rozwiązaniu numerycznym jakościowo dobrze odpowiadają opisom mecha-
32
nizmu zniszczenia w belkach doświadczalnych. Model
28
rysy rozmytej jest więc odpowiednim modelem nume-
MES
24
F [kN]
uzyskano
Kamińska
20
rycznym do opisu mechanizmu zniszczenia. Ponadto jest
16
on przydatny w sytuacji, gdy wymagane jest dokładne
12
ustalenie ugięcia elementu konstrukcyjnego przy zada-
8
nym obciążeniu.
4
Zachowanie numerycznych modeli belek żelbetowych,
0
0
40
80
120
160
200
opisywane
ud [mm]
zależnością
obciążenie-ugięcie
w
środku
rozpiętości, wskazuje na bardzo dobrą zgodność z wyni-
Metoda A-L
kami doświadczalnymi w całym zakresie obciążenia.
Różnice pomiędzy obciążeniami granicznymi uzyskanymi w obliczeniach numerycznych a wynikami doświadczalnymi nie przekraczają 5%. Najmniejszy rozrzut
wyników jest charakterystyczny w belkach rozwiązywanych metodą długości łuku Crisfielda.
Modelowanie płyt stalowych w miejscach podparcia
i przyłożenia obciążeń skupionych odzwierciedla rzeczy-
143
ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK ŻELBETOWYCH Z BETONU…
wiste warunki brzegowe i jest podstawowym czynnikiem
Pozytywnie zweryfikowano przydatność zastosowania
zapewniającym
numerycznych
metody długości łuku w analizach przestrzennych
z wynikami doświadczalnymi. W wyniku uwzględnienia
zgodność
wyników
modeli belek żelbetowych. Uzyskano kompletne ścieżki
nieliniowych efektów geometrycznych w belkach żelbe-
obciążenie-przemieszczenie
towych otrzymano dalszą poprawę jakościową wyników
doświadczalnie lokalne osłabienie konstrukcji żelbetowej
numerycznych, wyraźnie dostrzegalną w fazie po upla-
i ciągliwy opis zniszczenia belek charakterystyczny przy
stycznieniu stali zbrojeniowej.
niskim stopniu zbrojenia.
wykazujące
potwierdzone
Literatura
1.
Comité Euro-Internacional du Beton. CEB-FIP Model Code 1990, Bulletin d’information, No. 213/214, Lausanne, May, 1993.
2.
Crisfield M.A.: An arc-length method including line searches and accelerations. “International Journal for Numerical Methods in Engineering” 1983, Vol. 19, p. 1269-1289.
3.
Eggert G.M., Dawson P.R., Mathur K.K.: An adaptive descent method for nonlinear viscoplasticity. “ International Journal for Numerical Methods in Engineering” 1991, Vol. 31, p. 1031-1054.
4.
Kamińska M.E.: Doświadczalne badania żelbetowych elementów prętowych z betonu wysokiej wytrzymałości.
Łódź: KILiW, PAN, 1999.
5.
Rashid M.A., Mansur M.A.: Reinforced high-strength concrete beams in flexure. ACI „Structural Journal” 2005,
Vol. 102, No. 3, p. 462-471.
6.
Smarzewski P.: Modelowanie mechanizmu zniszczenia belek żelbetowych z betonu wysokiej wytrzymałości. Praca
7.
Willam K.J., Warnke E.P.: Constitutive model for the triaxial behavior of concrete. In: Proceedings Internation-
doktorska. Politechnika Lubelska 2008.
al Association for Bridge and Structural Engineering. Bergamo, Italy, 1975. ISMES Vol. 19, p. 1975, 1-30
144