Wykªad 3. Szeregi pot¦gowe.

Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia,
wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.
Wykªad 3. Szeregi pot¦gowe.
Szeregi funkcyjne.
Denicja Szeregiem funkcyjnym na zbiorze X ⊂ R nazywamy wyra»enie postaci
∞
X
f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + · · · + fn (x) + · · · =
fn (x),
n=1
gdzie
{fn }n∈N
jest ci¡giem funkcji okre±lonych na zbiorze
Uwaga Zamiast pisa¢
∞
X
fn (x)
b¦dziemy pisa¢ krótko
n=1
Denicja Mówimy, »e szereg funkcyjny
X ⊂ R.
∞
X
fn .
n=1
∞
X
fn jest
zbie»ny w punkcie x
n=1
granica ci¡gu sum cz¦±ciowych
{Sn (x0 )}n∈N .
T¡ granic¦ nazywamy
0
∈ X , je±li istnieje wªa±ciwa
sum¡ szeregu funkcyjnego
i
oznaczamy j¡ tym samym symbolem, co szereg:
lim Sn (x0 ) = lim
n→∞
Mówimy, »e szereg funkcyjny
∞
X
n→∞
fn
jest
n
X
fk (x0 ) =
∞
X
fn (x0 ).
n=1
k=1
zbie»ny punktowo na zbiorze A ⊂ R
, je±li szereg ten jest
n=1
zbie»ny w ka»dym punkcie
Uwaga
x 0 ∈ A.
∞
X
Inaczej mówi¡c, szereg funkcyjny
fn
jest zbie»ny w punkcie
x0 ,
je»eli szereg liczbo-
n=1
∞
X
fn (x0 ) jest zbie»ny. Do badania tej zbie»no±ci mo»na stosowa¢ wszystkie poznane do tej
n=1
pory kryteria zbie»no±ci szeregów liczbowych (Cauchy'ego, d'Alemberta, porównawcze, ilorazowe i
wy
caªkowe).
Denicja szeregu pot¦gowego. Przedziaª zbie»no±ci.
Denicja Szereg funkcyjny postaci
∞
X
cn (x − x0 )n ,
gdzie
x ∈ R,
n=0
nazywamy
szeregiem pot¦gowym o ±rodku x
0
∈R
i wspóªczynnikach c
Uwaga Przyjmujemy konwencj¦, »e dla x = x0 jest (x − x0 )0 = 1.
1
n
∈ R, n ∈ N.
Denicja Promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego nazywamy liczb¦ R okre±lon¡ wzorem:






0,
1
p
n
lim
|cn |


n→∞



∞,
gdy
,
gdy
gdy
p
n
|cn | = ∞
p
0 < lim n |cn | < ∞
lim
n→∞
n→∞
lim
n→∞
p
n
|cn | = 0
Uwaga Promie« zbie»no±ci R mo»e te» by¢ obliczany ze wzorów
1
R = lim p
n
n→∞
|cn |
lub
cn ,
R = lim n→∞ cn+1 o ile granice w tych wzorach istniej¡.
Twierdzenie (Cauchy'ego-Hadamarda)
Niech
0 < R < ∞ b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego
∞
X
cn (x − x0 )n . Wtedy szereg
n=0
ten jest zbie»ny bezwzgl¦dnie w ka»dym punkcie przedziaªu
punkcie zbioru
(x0 − R, x0 + R) i rozbie»ny w ka»dym
(−∞, x0 − R) ∪ (x0 + R, ∞).
Uwaga
•
Na ko«cach przedziaªu
•
Je»eli
R=0
•
Je»eli
R = ∞,
•
Zbiór tych
(x0 − R, x0 + R)
szereg mo»e by¢ zbie»ny lub rozbie»ny.
to szereg jest zbie»ny tylko w punkcie
x0 .
to szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie na caªej prostej
x ∈ R,
dla których szereg pot¦gowy
przedziaªem zbie»no±ci
∞
X
cn (x − x0 )n
R.
jest zbie»ny, nazywamy jego
n=0
.
Przykªady Znale¹¢ przedziaªy zbie»no±ci szeregów pot¦gowych:
∞ √
∞
X
X
n(x + 1)n
1.
, 2.
(5x − 10)n ,
n
+
1
n=1
n=1
3.
∞
X
xn
,
nen
n=1
Szereg Taylora. Szereg Maclaurina.
Denicja Niech funkcja f
ma w punkcie
x0
pochodne dowolnego rz¦du. Szereg pot¦gowy
∞
X
f (n) (x0 )
f 0 (x0 )
f 00 (x0 )
(x − x0 )n = f (x0 ) +
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + . . .
n!
1!
2!
n=0
szeregiem Taylora funkcji f o ±rodku w punkcie x
szeregiem Maclaurina
nazywamy
.
2
0 . Je»eli
x0 = 0 to szereg ten nazywamy
Uwaga Przypomnijmy, »e n-ta reszta Rn (x) we wzorze Taylora (czyli reszta Lagrange'a) dla funkcji
f
jest postaci
Rn (x) =
f (n) (c)
(x − x0 )n ,
n!
gdzie
c ∈ (x0 , x)
lub
c ∈ (x, x0 ).
Twierdzenie (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora)
Je»eli
1. funkcja
f
ma na otoczeniu
2. dla ka»dego
x∈O
granica
O
punktu
x0
pochodne dowolnego rz¦du oraz
lim Rn (x) = 0,
n→∞
to
∞
X
f (n) (c)
(x − x0 )n
f (x) =
n!
n=0
Uwaga
W zaªo»eniu 2. punkt
pochodne funkcji
f
c
n
zale»y od
i od
x.
dla ka»dego
x ∈ O.
Zamiast tego mo»na przyj¡¢, »e wszystkie
s¡ wspólnie ograniczone, tzn. »e istnieje liczba dodatnia
|f n (x)| ≤ M
dla ka»dego
n ∈ N ∪ {0}
M
taka, »e
x ∈ O.
oraz dla ka»dego
Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych
∞
X
1
=
xn = 1 + x + x2 + x3 + . . .
1 − x n=0
dla
|x| < 1,
∞
X
xn
x
x2
x3
=1+ +
+
+ ...
n!
1!
2!
3!
n=0
dla
x ∈ R,
∞
X
(−1)n 2n+1
x3
x5
x7
x
=x−
+
−
+ ...
(2n + 1)!
3!
5!
7!
n=0
dla
ex =
sin x =
cos x =
∞
X
(−1)n 2n
x2
x4
x6
x =1−
+
−
+ +...
(2n)!
2!
4!
6!
n=0
dla
x ∈ R,
x ∈ R.
Rozwini¦cia innych funkcji elementarnych znale¹¢ mo»na np. w podr¦czniku M. Gewerta i Z. Skoczylasa Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory.
Przykªady Znale¹¢ szeregi Maclaurina podanych funkcji i okre±li¢ przedziaªy ich zbie»no±ci:
1. f (x) =
5
,
1 + 2x
x
3. f (x) = sin ,
2
2. f (x) = x2 e−x ,
4. f (x) =
x3
.
16 − x2
Twierdzenie (o jednoznaczno±ci rozwini¦cia funkcji w szereg pot¦gowy)
Je»eli
f (x) =
∞
X
cn (x − x0 )n
dla ka»dego
x
z pewnego otoczenia punktu
n=0
cn =
f (n) (x0 )
n!
dla
3
n = 0, 1, 2, ·
x0 ,
to
Uwaga
1. Inaczej mówi¡c, je»eli na otoczeniu punktu funkcja jest sum¡ pewnego szeregu pot¦gowego, to
jest to jej szereg Taylora.
2. Znaj¡c rozwini¦cie funkcji w szereg pot¦gowy
f (x) =
∞
X
cn (x − x0 )n
i korzystaj¡c z powy»szego
n=0
twierdzenia, mo»na obliczy¢ warto±¢ pochodnej
f (n) (0) = cn · n!.
Przykªady
Korzystaj¡c z rozwini¦¢ Maclaurina funkcji elementarnych, obliczy¢ wskazanie pochodne:
1.
f (50) (0),
2.
f (2015) (0),
3.
f (10) (0),
dla funkcji
f (x) = x2 cos x
dla funkcji
dla funkcji
,
f (x) = xe−x ,
f (x) = x sin2
x
2.
Twierdzenie (o ró»niczkowaniu i caªkowaniu szeregów pot¦gowych)
Niech
0<R≤∞
b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego
∞
X
cn x n .
Wtedy:
n=0
∞
X
1.
!0
cn x
n
=
2.
0
ncn xn−1
dla ka»dego
x ∈ (−R, R),
n=1
n=0
Zx
∞
X
∞
X
!
cn t
n=0
n
=
∞
X
cn n+1
x
n
+1
n=0
dla ka»dego
Przykªady Wyznaczy¢ szeregi pot¦gowe f
0
x ∈ (−R, R).
Zx
(x)
f (t) dt
oraz
dla funkcji:
0
1. f (x) =
Przykªady
1
,
1 + x3
2. f (x) = sin x2 .
Stosuj¡c twierdzenie o ró»niczkowaniu i caªkowaniu szeregów pot¦gowych, obliczy¢
sumy szeregów:
1.
∞
X
n(n + 1)
,
5n
n=2
2.
4
∞
X
1
.
(n
+
1)3n
n=0