lista 12 - Uniwersyteckie Koło Matematyczne

Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Uniwersyteckie Koło Matematyczne dla uczniów szkół średnich
Lista zadań nr 12 – spotkanie w dniu 23.02.2008.
Gry matematyczne
1. Na polu A1 szachownicy 8 × 8 stoi król. W każdym ruchu można przesunąć
króla o jedno pole do góry, o jedno pole w prawo, lub o jedno pole po przekątnej – w prawo i do góry. Przegrywa ten z graczy, który doprowadzi króla na
pozycję H8. Który z graczy (rozpoczynający czy jego przeciwnik) ma strategię
wygrywającą i jaka to strategia?
2. Hetman (królowa) stoi na pozycji C1 szachownicy 8 × 8. W jednym ruchu
można go przesunąć w prawo, do góry, lub po przekątnej w prawo do góry o
dowolną ilość pól. Wygrywa ten, kto doprowadzi hetmana do pozycji H8. Czy
dla rozpoczynającego grę istnieje strategia wygrywająca, a jeśli tak, to jaka?
3. Dwaj gracze startują od liczby 0, dodając na przemian do otrzymanej liczby
1 lub 2. Wygrywa ten, kto pierwszy otrzyma liczbę 20. Dla którego z graczy
(rozpoczynającego czy jego przeciwnika) istnieje strategia wygrywająca i jaka
to strategia?
4. Do pudełka włóżono
105 żetonów. W każdym ruchu gracz może wziąć z niego
√
nie więcej niż n żetonów, ale musi jednak wziąć co najmniej 1 żeton. Wygrywa ten, który opróżni pudełko. Dla którego z graczy (rozpoczynającego czy
jego przeciwnika) istnieje strategia wygrywająca i jaka to strategia?
5. II Mistrzostwa Polski w Grach Matematycznych i Logicznych, 2003/2004
(Zad. dom.) Gra w żetony. Do trzech pudełek włożono 309 żetonów: do pudełka A włożono 101, do pudełka B – 103, a pozostałe do pudełka C. W grze
bierze udział dwóch graczy, którzy wykonują ruchy na przemian. Każdy może
wybrać niepuste
√ pudełko i, jeśli zawiera ono n żetonów, to może wyjąć z niego
nie więcej niż n żetonów, ale musi jednak wziąć co najmniej 1 żeton. Wyjęte żetony nie biorą udziału w dalszej grze. Wygrywa ten gracz, który jako
pierwszy opróżni jedno z pudełek. Czy gracz wykonujący pierwszy ruch ma
strategię wygrywającą?
6. Dwóch graczy na przemian układa na okrągłym stole monety 1-złotowe –
na wolnym w danej chwili miejscu, bez możliwości przesuwania wcześniej
położonych monet. Przegra gracz, który z braku wolnego miejsca na stole nie
może położyć kolejnej monety. Jak powinien postępować pierwszy z graczy,
aby zapewnić sobie wygraną?
7. Liczby naturalne od 1 do 10 wypisano kolejno w jednym wierszu. Dwaj gracze
na przemian wpisują pomiędzy te liczby (a także przed pierwszą z nich) znaki
„+” lub „-”. Gra kończy się, gdy przed każdą z dziesięciu liczb występuje znak
„+” lub „-”. Wygrywa rozpoczynający, gdy po zakończeniu gry i wykonaniu
wszystkich działań otrzymana liczba jest nieparzysta, a drugi z graczy, gdy ta
liczba jest parzysta. Jak powinien grać rozpoczynający, żeby wygrać?