2.14. Ciężarówka na stoku

2.14.Ci¸Ăarówkanastoku
CiĊĪarówka jedzie z góry ze staáą prĊdkoĞcią ͵Ͳ ΤŠ. Masa samochodu wynosi 5 ton.
Samochód hamuje silnikiem, caákowita siáa hamowania ma wartoĞü 4400 N. Wyznacz kąt
nachylenia stoku góry.
Zapis danych
m=5t
masa samochodu,
Fb = 4400 N siáa hamowania,
˜ ൌ ͵Ͳ ΤŠ prĊdkoĞü samochodu,
Į = ? (°)
kąt nachylenia stoku.
PodpowiedĨ 1
Jakie siáy dziaáają na samochód? Jaki jest ich kierunek i zwrot? SporządĨ pomocniczy
rysunek.
ROZWIĄZANIE
Na samochód dziaáają trzy siáy:
1) Siáa ciĊĪkoĞci ሬሬሬሬԦ
‫ ீܨ‬skierowana pionowo w dóá.
2) Siáa reakcji podáoĪa ܴሬԦ (samochód naciska na podáoĪe, a zgodnie z 3. zasadą dynamiki
Newtona podáoĪe dziaáa na samochód). Skierowana jest prostopadle do podáoĪa.
3) Siáa hamująca ሬሬሬሬԦ
‫ܨ‬௕ , skierowana wzdáuĪ podáoĪa, przeciwnie do kierunku ruchu.
50
PodpowiedĨ 2
Co moĪemy powiedzieü na temat wymienionych siá w myĞl I zasady dynamiki Newtona?
ROZWIĄZANIE
PoniewaĪ samochód porusza siĊ ruchem jednostajnym prostoliniowym, siáa wypadkowa,
czyli suma wymienionych siá, musi dawaü zero (wektor zerowy):
PodpowiedĨ 3
ሬԦǤ
ሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬԦ௕ ൌ Ͳ
‫ ீܨ‬൅ ܴሬԦ ൅ ‫ܨ‬
RozáóĪ siáĊ ciĊĪkoĞci ሬሬሬሬԦ
‫ ீܨ‬na skáadowe równolegáą i prostopadáą do podáoĪa. Jakie warunki
speániaü powinny te skáadowe w myĞl I zasady dynamiki Newtona?
ROZWIĄZANIE
ሬሬሬԦ଴ i ሬሬሬԦ
Rozkáad siáy ciĊĪkoĞci ሬሬሬሬԦ
‫ ீܨ‬na skáadowe ‫ܨ‬
‫ܨ‬௡ pokazuje rysunek:
Z I zasady dynamiki Newtona wynika, Īe sumy poszczególnych skáadowych równolegáych
i prostopadáych do kierunku ruchu muszą siĊ zerowaü. Speánione wiĊc bĊdą warunki:
ሬԦǡ
ሬሬሬԦ
‫ܨ‬௡ ൅ ܴሬԦ ൌ Ͳ
ሬԦǤ
ሬሬሬԦ
ሬሬሬሬԦ௕ ൌ Ͳ
‫ܨ‬଴ ൅ ‫ܨ‬
(1)
(2)
51
ሬሬሬሬԦ௕ , moĪemy dla wartoĞci tych
PoniewaĪ siáy ሬሬሬԦ
‫ܨ‬௡ i ܴሬԦ mają przeciwny zwrot, podobnie jak ሬሬሬԦ
‫ܨ‬଴ i ‫ܨ‬
skáadowych zapisaü:
‫ܨ‬ே െ ܴ ൌ Ͳǡ
(3)
‫ܨ‬଴ െ ‫ܨ‬௕ ൌ ͲǤ
(4)
Do dalszych obliczeĔ wykorzystamy równanie (4).
PodpowiedĨ 4
Spróbuj wyraziü skáadową F0 za pomocą siáy ciĊĪkoĞci. Wykorzystaj
trygonometryczne oraz daną wartoĞü siáy Fb do okreĞlenia z równania (4) kąta Į.
związki
ROZWIĄZANIE
Z trygonometrii (patrz rysunek wyĪej):
•‹ ߙ ൌ
Zatem:
‫ܨ‬଴
Ǥ
‫ீܨ‬
‫ܨ‬଴ ൌ ‫ߙ ‹• ீܨ‬Ǥ
(5)
SiáĊ ciĊĪkoĞci FG moĪemy wyraziü za pomocą masy samochodu m:
‫ ீܨ‬ൌ ݉݃,
(6)
gdzie g to przyspieszenie grawitacyjne. Podstawiając (6) do (5), otrzymamy:
‫ܨ‬଴ ൌ ݉݃ •‹ ߙǤ
(7)
Wreszcie wykorzystując (4) i (7), otrzymujemy równanie:
݉݃ •‹ ߙ െ ‫ܨ‬௕ ൌ Ͳ ֜ •‹ ߙ ൌ
Podstawiając wartoĞci liczbowe:
ி್
௠௚
.
(8)
‫ܨ‬௕ ൌ ͶͶͲͲǡ
݉ ൌ ͷ– ൌ ͷͲͲͲ‰ǡ
݃ ൌ ͻǡͺͳ Τ•ଶ ǡ
•‹ ߙ ൌ
ͶͶͲͲ
ൌ ͲǡͲͻǤ
ͷͲͲͲ ȉ ͻǡͺͳ
Warto zauwaĪyü, Īe we wzorze (8) siáa hamowania jest proporcjonalna do sin Į: im wiĊkszy
kąt nachylenia, tym, dla zachowania staáej prĊdkoĞci, wiĊksza musi byü siáa hamowania.
OdpowiedĨ
•‹ ߙ ൌ
‫ܨ‬௕
ൌ ͲǡͲͻ ֜ ߙ ൌ ͷ௢ ͺԢǤ
݉݃
Stok nachylony jest pod kątem okoáo ͷ௢ ͺԢ.
52