Analiza funkcjonalna
Transkrypt
Analiza funkcjonalna
KARTA KURSU Nazwa Analiza funkcjonalna Nazwa w j. ang. Functional Analysis Punktacja ECTS* Kod 7 Zespół dydaktyczny Koordynator prof. dr hab. Marek Ptak dr hab. prof. UP Jacek Chmieliński dr Janusz Krzyszkowski Opis kursu (cele kształcenia) Poznanie podstawowych struktur liniowo-topologicznych, w tym przestrzeni Banacha i Hilberta. Zaznajomienie z podstawowymi własnościami tych przestrzeni oraz własnościami operatorów na nich określonych. Wyrobienie umiejętności rozumienia i posługiwania się językiem oraz metodami analizy funkcjonalnej w zagadnieniach analizy matematycznej i jej zastosowaniach; doboru przestrzeni i operatorów odpowiednich do rozpatrywanych zagadnień. Warunki wstępne Wiedza Umiejętności Kursy Podstawowe wiadomości z zakresu algebry liniowej (liniowa niezaleŜność wektorów, baza, wymiar przestrzeni, odwzorowania liniowe, macierze i wyznaczniki); topologii (podstawowe pojęcia topologiczne, własności przestrzeni topologicznych, odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy); analizy matematycznej (granica, ciągi i szeregi, całka Lebesgue'a). Rozpoznawanie podstawowych struktur algebraicznych i topologicznych. Stosowanie podstawowych metod z zakresu analizy matematycznej, topologii i algebry liniowej. Analiza matematyczna 1 i 2, Topologia. 1 Efekty kształcenia Efekt kształcenia dla kursu Wiedza W01 Poznanie i pogłębienie wiedzy o podstawowych K_W01 strukturach liniowo-topologicznych oraz przekształceniach na tych przestrzeniach. K_W02, K_W03 W02 Poznanie najwaŜniejszych twierdzeń z zakresu analizy funkcjonalnej wraz z ich dowodami lub szkicami dowodów oraz historią rozwoju tych pojęć i stawianymi hipotezami. Efekt kształcenia dla kursu Umiejętności U01 Student potrafi przedstawić najwaŜniejsze definicje i twierdzenia wraz z ich dowodami oraz ilustrować je odpowiednimi przykładami i kontrprzykładami. U02 Potrafi dostrzec związki między wybranymi pojęciami i twierdzeniami analizy funkcjonalnej, a klasycznymi pojęciami i twierdzeniami z analizy matematycznej, topologii i algebry liniowej. U03 Posiada umiejętność rozpoznawania struktur liniowo-topologicznych, w szczególności przestrzeni Banacha i Hilberta, oraz zna ich własności. U04 Potrafi wykorzystać podstawowe własności topologiczne zbiorów i przekształceń oraz metody algebry liniowej w rozwiązywaniu zadań praktycznych. Efekt kształcenia dla kursu Kompetencje społeczne Odniesienie do efektów kierunkowych K01 Student uzyskuje świadomość ograniczeń własnej wiedzy i konieczności jej uzupełniania, w szczególności poprzez szukanie rozwiązań stawianych problemów w literaturze oraz w trakcie ćwiczeń i konsultacji. K02 Potrafi zadawać pytania pomagające w uzupełnieniu brakujących lub wątpliwych fragmentów rozumowań. K03 Potrafi współpracować z kolegami w zakresie opracowywania rozwiązań stawianych problemów. Odniesienie do efektów kierunkowych K_U01 K_U04 K_U08, K_U09 K_U08, K_U10 Odniesienie do efektów kierunkowych K_K01 K_K02 K_K03 2 Organizacja Forma zajęć Ćwiczenia w grupach Wykład (W) Liczba godzin A 26 K L S P E 39 Opis metod prowadzenia zajęć Wykład częściowo z wykorzystaniem środków multimedialnych, wspomagany e-learningowo. Ćwiczenia z zadaniami rozwiązywanymi na tablicy, w części zadawanymi wcześniej jako prace domowe. Konsultacje. Konsultacje poprzez platformę e-learningową. Formy sprawdzania efektów kształcenia E – le ar ni ng W01 W02 U01 U02 U03 U04 K01 K02 K03 Gr y dy da kt yc zn e Ć wi cz en ia w sz ko le Z aj ęc ia te re no w e Pr ac a la bo ra to ryj na Pr oj ek t in dy wi du al ny Pr oj ek t gr up o w y U dz iał w dy sk us ji x x x x x x x x x R e f e r a t x x x x x x x x x x x x x E gz a mi n pi se m ny E gz a mi n us tn y Pra ca pis em na (es ej) x x x x x x In ne x x x x x x Zaliczenie ćwiczeń w oparciu o aktywne uczestnictwo w zajęciach, w tym oceny z prac pisemnych. Kryteria oceny Ocena końcowa uwzględniająca wynik zaliczenia ćwiczeń, wynik egzaminu pisemnego oraz wynik egzaminu ustnego. 3 Uwagi Spełnienie opisanych wyŜej efektów kształcenia stanowi podstawę do uzyskania oceny dostatecznej. Na ocenę dobrą (bardzo dobrą) student powinien wykazać się znajomością nie tylko najwaŜniejszych twierdzeń ale większości (wszystkich) przedstawionych na kursie wraz z większością (wszystkimi) dowodów. Treści merytoryczne (wykaz tematów) 1. Przestrzenie unormowane i Banacha: własności normy, zupełność, uzupełnianie przestrzeni unormowanych, przykłady przestrzeni unormowanych ciągowych i funkcyjnych, skończenie wymiarowe przestrzenie unormowane, zwartość (w przypadku skończenie i nieskończenie wymiarowym), szeregi w przestrzeniach unormowanych. Baza Schaudera. 2. Przestrzenie unitarne i Hilberta: nierówność Schwarza, związki iloczynu skalarnego z normą, uzupełnianie przestrzeni unitarnych, ortogonalność, dopełnienie ortogonalne (twierdzenie o rzucie ortogonalnym), układy ortonormalne (ortogonalizacja i ortonormalizacja układu wektorów), układy ortonormalne zupełne, szeregi Fouriera (nierówność Bessela, toŜsamość Parsevala, układ trygonometryczny, szereg Fouriera względem układu trygonometrycznego), twierdzenie RieszaFischera. 3. Operatory liniowe ciągłe: ograniczoność i ciągłość, norma operatora, przestrzeń dualna, twierdzenie Riesza o postaci funkcjonałów liniowych w przestrzeni Hilberta, twierdzenie Banacha o operatorze otwartym, twierdzenie o operatorze odwrotnym, twierdzenie o domkniętym wykresie, twierdzenie Banacha-Steinhausa, twierdzenie Hahna-Banacha, operatory sprzęŜone, operatory zwarte. Słaba topologia, refleksywność. 4. Informacje uzupełniające: przestrzenie liniowo-topologiczne, lokalna wypukłość. Izometrie w przestrzeniach unormowanych. Wykaz literatury podstawowej 1. J. Chmieliński, Analiza funkcjonalna. Notatki do wykładu, wyd. 2., Wydawnictwo Naukowe AP, Kraków 2004. 2. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989. 3. S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, WN PWN, Warszawa 2007. Wykaz literatury uzupełniającej 1. A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, Monografie Matematyczne, t. 40, PWN, Warszawa 1969. 2. J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd. ed., Springer, New York 1990. 3. W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, wyd. 2., Biblioteka Matematyczna t.36, PWN, Warszawa 1982. 4. W. Mlak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, wyd. 4., Biblioteka Matematyczna t. 35, PWN, Warszawa 1987. 5. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 2001. 4 Bilans godzinowy zgodny z CNPS (Całkowity Nakład Pracy Studenta) Ilość godzin w kontakcie z prowadzącymi Ilość godzin pracy studenta bez kontaktu z prowadzącymi Wykład 26 Konwersatorium (ćwiczenia, laboratorium itd.) 39 Pozostałe godziny kontaktu studenta z prowadzącymi wykład i ćwiczenia 40 Lektura w ramach przygotowania do zajęć 35 Przygotowanie krótkiej pracy pisemnej lub referatu po zapoznaniu się z niezbędną literaturą przedmiotu 15 Przygotowanie projektu lub prezentacji na podany temat (praca w grupie) 15 Przygotowanie do egzaminu 40 Ogółem bilans czasu pracy Ilość punktów ECTS w zaleŜności od przyjętego przelicznika 210 7 5