Fizyka statystyczna, kondensacja Bosego

Statystyka
nieoddziaływujących
gazów Bosego:
kondensacja BosegoEinsteina
Silnie zwyrodniały gaz bozonów o niezerowej
masie spoczynkowej
Gdy liczba cząstek nie jest zachowywana, termodynamika nieoddziaływujących bozonów jest bardzo
prosta bo znika potencjał chemiczny (patrz termodynamika fotonów )
Jednak w układzie z ustaloną liczbą cząstek
(w naszym przypadku – „średniej liczby cząstek”)
ten, jakby się wydawało ‘niewinny formalizm’
prowadzi do niezwykłych przewidywań, nie mających
odpowiedników dla fermionów, czy fizyki klasycznej.
≡
oczywiście
Zatem przy załoŜeniu
PRZYPOMNIENIE zliczania stanów w przypadku
gęsto połoŜonych poziomów energetycznych
stąd
Wygodniej odnieść się do jednostek atomowych
, wtedy
Poprawki od statystyk kwantowych
…. Szczegóły rozwinięcia
Dowód:
Dowód
Ponadto ostatnim razem pokazaliśmy, Ŝe dla nierelatywistycznych bozonów i
fermionów zachodzi
wyprowadzenie
w dodatku
Otrzymaliśmy bardzo waŜny wynik
wnioski
…potencjał chemiczny rośnie z malejąca temperaturą…
∞
1/ 2
2π V
z
ε
3/ 2
N (T , V , z ) = 3 ( 2 m ) σ ∫ d ε −1
+
h
z exp{ βε } − 1 1 − z
0
z=exp{bm}- tzw.
parametr
zwyrodnienia
∞
1
x n −1dx
gn ( z) ≡
Γ ( n ) ∫0 z −1 exp{ x } − 1
0≤ z ≤1
n∈R
V
z
N = 3 g3 / 2 ( z ) +
= N * + N0
λ
1− z
Średnia liczba cząsteczek zachowana – róŜnica
obsadza stan podstawowy.
między N i N*
=
Dla bozonów zawsze:
µ < ε0
Zatem n moŜe być dowolnie duŜe
jeśli róznica
ε0 − µ ≈ 0
n0
mamy przejście fazowe
dla T = T0
1
(to przejście nazywa się
kondensacją Bosego
Einsteina)
1
T /T0
Jest to ‘’kondensacja’’ molekuł w stanie podstawowym o
pędzie k=0
Funkcje termodynamiczne
kondensatu
N
2 m kB T 3ê2 ∞ x1ê2
ρ =
= 2 πσ J
N
x
‡
2
x
−βµ
V
h
−1
0 e
BE chemical potential
0
m êHkBTc L
-2
-4
-6
0
1
2
TT ê/T
Tc 0
3
4
5
Obsadzenia poziomów w f-cji energii
BE occupation number
5
4
T /T0
1.1
êê
n
3
2
1
2
5
0.25
0.5
0.75
1
1.25
¶ êHkB Tc L
1.5
1.75
2
Energia wewnętrzna
Przyczynek dają jedynie cząstki o energii > 0
∼ VT
5ê2
dla T ≤ T0
Równanie
2
p =
3
stanu
∞
3ê2
2
πσ
x
i
y
3ê2
5ê2
j
z
j
z
H
2
m
L
H
k
T
L
x
B
‡
x−βµ − 1
k h3
{
0 e
∼ T 5ê2 H dla T ≤ T0; niezaleŜnie od V !L
N
2 m kB T 3ê2 ∞ x1ê2
ρ =
= 2 πσ J
N
x
‡
2
x
−βµ
V
h
−1
0 e
p0 ∼ v−5ê3
p
p ∼ T
cząstki o zerowym pędzie
nie wywieraja cisnienia; przy
spręŜaniu więcej cząstek
przechodzi do stanu
podstawowego.
5ê2
T2 > T1
T1
v
KBE jest przejściem I-szego rodzaju
J
dp
∆H
N
=
Hr. ClapeyronaL
d T wzdłóŜ krz. współ.
T0 ∆V
∆H ≠ 0
Jest to dosyć niezwykłe przejście fazowe I-szego
Rodzaju - układ ma jednorodną makroskopową
gęstość, a nie dwie róŜne gęstości jak np.
dla cieczy i gazu
Kondensacja zachodzi w przestrzeni pędów:
wszystkie cząsteczki kondensatu mają zerowy pęd.
Ciepło
CV
właściwe
∂E
=J
N ∼ T3ê2 T < T0
∂T V
3
C V HT = T0 L > 1.925 kB N >
kB N HT → ∞L
2
∂ CV
= 2.89
∂ T V,T→ T0−
∂ CV
J
N
= − 0.77
∂ T V,T→ T0+
NkB
T < T0
T0
NkB
HT > T0L
T0
Zatem w cieple właściwym mamy ostrze
w temperaturze T = T 0
KBE – przewidziana była przez Einsteina w 1924,
warunkiem istnienia kondensatu jest, aby temperaturowa długość fali de Brogli’a była porównywalna z odległościami międzyatomowymi
CV
NkB
3/2
3/2
3ê2
Granica klasyczna
∼T
1
T
T0
Nadpłynność w ciekłym helu
ma związek z KBE
•Dla T =4.22K
staje się cieczą
•Dla T0 = 2.17
staje się nadciekły
•London w 1938 zaproponował, Ŝe nadciekłość to KBE
Z modelu nieoddziaływujących bosonów
T0 = 3.15 K
Stan nadciekły jest daleki od stanu nieoddz.
bosonów, frakcja nadciekła nie dąŜy do 100%,
a stabilizuje się wokół znacznie mniejszych
wartości (~10%)
KBE
Ciekły hel:
Przejście l
•Logarytmiczna rozbieŜność
•Maleje jak T3
W 1995 dowiedziono istnienia KBE (E. Cornell, National Institute of
Standards and Technology, Boulder, Colorado)
dla ultrazimnego gazu atomów rubidu o małej
gęstości, zamkniętych w atomowych pułapkach. Analogiczny
eksperyment dla atomow Li wykonano w Houston (R. Hullet,
Rice University, Houston, Texas)
M = 87 jm
T 0 = 8.57 ∗ 10 − 8
o
średnia odległość = 4641.6 A