opis

OPÓR LINIOWY
N.10
Cel: doświadczalne wyznaczenie współczynnika oporu liniowego (strat tarcia) w przewodzie
gładkim o przekroju kołowym oraz porównanie otrzymanych wyników ze znanymi z literatury
(Jeżowiecka-Kabsch K., Szewczyk H., MECHANIKA PŁYNÓW, Wydawnictwo PWr, Wrocław,
2001, str. 258-283)
Podstawowe zależności.
Uogólnione równanie Bernoulliego (dla płynu rzeczywistego nieściśliwego):
2
2
α1v1sr
α 2v 2sr
p1
p
s
+
+ z1 =
+ 2 + z 2 + ∆ h12
,
2g
ρg
2g
ρg
gdzie:
- współczynnik Coriolisa uwzględniający nierównomierny rozkład energii kinetycznej w
α
przekroju poprzecznym strugi (w praktyce α = 1);
∆hs12 - wysokość strat hydraulicznych (ciśnienia) w przepływie od przekroju 1 do przekroju 2.
Wysokość strat ciśnienia:
s
∆ h 12
s
∆ p12
sl
sm
=
= ∆ h 12
+ ∆ h 12
ρg
sl
i strat
jest sumą wysokości strat ciśnienia wywołanych tarciem (strat liniowych) na długości – ∆ h 12
sm
.
wskutek oporów miejscowych – ∆ h 12
Wysokość straty miejscowej oblicz się ze wzoru:
∆ h s = ∆ h sm = ζ
v2
,
2g
w której ζ – współczynnik strat miejscowych, zależny od rodzaju przeszkody i od liczby Reynoldsa,
odniesiony najczęściej do średniej prędkości za przeszkodą.
Stratę ciśnienia ∆psl na długości l przewodu kołowego o średnicy d podczas przepływu w nim płynu
o gęstości ρ można wyznaczyć z zależności:
2
lρ 2
l  4q  ρ
v = λ  V2 
- wzór Darcy’ego–Weisbacha,
(*)
∆p = λ
d2
d  πd  2
gdzie v – średnia prędkość przepływu, qV – strumień objętości, λ – współczynnik oporu liniowego
(strat liniowych), który w ogólnym przypadku jest funkcją:
k

λ = λ Re, ,
d

gdzie k – średnia wysokość nierówności na ściance, k/d – chropowatość względna, Re – liczba
Reynoldsa. Liczba Reynoldsa dla gazu:
ρ v d 4 ρ qV
Re =
=
,
µ
πdµ
gdzie µ – dynamiczny współczynnik lepkości.
Dla przepływu laminarnego:
64
λ=
, Re ≤ Re kr ≈ 2300
Re
Dla przewodów hydraulicznie gładkich:
0,3164
λ= 4
≈ (100 Re )−1 / 4 , Re ≤ 105
- formuła Blasiusa.
Re
sl
Wielkości mierzone.
1. Wielokrotnie: qVr – strumień objętości wskazywany przez rotametr, ∆z – wysokość spadku
ciśnienia na długości pomiarowej, h – wysokość podciśnienia w przewodzie (mierzona na wlocie
do przewodu pomiarowego).
2. Jednokrotnie: t0 – temperatura otoczenia, p0 = pb – ciśnienie barometryczne, φ0 – wilgotność
względna powietrza. Ponadto należy zanotować: l – długość pomiarową przewodu, d – średnicę
przewodu, ρm – gęstość płynu manometrycznego, tw – temperatura wzorcowania rotametru,
pw – ciśnienie wzorcowania rotametru.
Wzory do obliczeń.
Gęstość powietrza (dla znanych p, T (T = 273,16 + t) i φ):
ρ=
1
Rs
pw
p − ϕ pw p
pw
T,
1+ ϕ
p − ϕ pw
1 + 0,622 ϕ
gdzie Rs = 287,1 J/(kg K)– stała gazowa powietrza suchego, pw – ciśnienie parowania wody w
temperaturze t (Mechanika Płynów. Ćwiczenia Laboratoryjne, red. H. Szewczyk, Wydawnictwo
PWr, Wrocław, 1989, tab. 5.2.10, rys. 5.2.2). Należy obliczyć gęstość powietrza ρw w warunkach
wzorcowania rotametru (φw = 0) oraz gęstość ρ0 w warunkach wykonywania pomiarów.
Dynamiczny współczynnik lepkości:
3
273 + C  T  2
µ = µ0

 ,
T + C  273 
gdzie µ0 – dynamiczny współczynnik lepkości w temperaturze 273 K (dla powietrza
µ0 = 17,08·10-6 Pa·s); C – stała Sutherlanda (dla powietrza C = 112).
Liczba Reynoldsa:
Re =
4 q Vr ρ w ρ 0
πdµ
Wzór Darcy’ego–Weisbacha na straty liniowe ∆psl w przepływie płynu ściśliwego nie może być
zapisany w postaci (*), bowiem wchodząca do wzoru gęstość ρ zależy od ciśnienia, a więc zmienia
się wzdłuż przewodu pomiarowego. Dla odcinka elementarnego dl tego przewodu wzór przyjmuje
postać:
2
2
dl ρ(p) 2
dl  4q V  ρ(p)
dl  4q m  ρ(p)

= q m = ρq V = λ 
− dp = λ
v =λ  2 
d 2
d  πd  2
d  π ρ(p) d 2  2
Zakładając, że badany przepływ jest przepływem izentropowym, gęstość w funkcji ciśnienia można
przedstawić następująco:
sl
1
 p κ
p p0
= κ
⇒
ρ = ρ 0   ,
κ
ρ
ρ0
 p0 
gdzie κ – wykładnik adiabaty (dla powietrza κ = 1,4).
Wtedy wzór na straty liniowe przyjmie postać:
1
 p0  κ
2
2
2 


4q m
8q m 1
8q m  p 
dl
ρ( p )

dl
dl
− d p sl = λ 
=
λ
=
λ
d  π ρ(p) d 2  2
ρ0
π 2 d 5 ρ( p )
π2d 5
Rozwiązując to równanie różniczkowe:
1
 p κ
8q 2
− ρ 0   d p sl = λ 2 m5 dl
π d
 p0 
1
κ

p2
l
 p
8q 2m
sl
∫ −ρ0  p 0  d p = ∫ λ π 2 d 5 dl
0
p1
1
p2
 p  κ sl l
8q 2m


d
p
=
λ
−
ρ
∫ 0  p0 
∫ π2d5 dl
p1
0
(
)
κ ρ0 κ+1 κ
8q 2m l
κ +1
κ
p
−
p
=
λ
1
1
2
κ + 1 p 0κ
π2d 5
gdzie p1 i p2 – ciśnienie bezwzględne na początku i na końcu przewodu pomiarowego:
p1 = p 0 − ρ m g h
p 2 = p 0 − ρ m g (h + ∆z)
Skąd współczynnik oporu liniowego (dla każdego pomiaru):
(
κ ρ0 π2d 5 p1 κ − p 2
λ=
1
κ + 1 8q 2m l
p 0κ
κ +1
κ +1
κ
)=
1
1
κ
κ
κ ρ0 π2d 5  p1 
p2  p2  
p1   −   
κ + 1 8q 2m l
p1  p 0  
 p 0 

Strumień objętości wskazywany przez rotametr wynosi qVr, ale rotametr wzorcowano (suchym
powietrzem) pod ciśnieniem pw i w temperaturze tw, dlatego w rzeczywistości przez rotametr
przepływa powietrze ze strumieniem qV:
q V = q Vr
ρw
ρ0
Stąd
q m = ρ0q V = ρ0q Vr
ρw
= q Vr ρ0ρ w
ρ0
Ostatecznie wzór na współczynnik oporu liniowego:
 p  1κ p  p  1 κ 
κ
π2d 5
λ=
p1  1  − 2  2  
κ + 1 8ρ w q 2Vr l  p 0 
p1  p 0  


Wyniki.
Wyniki należy przedstawić w postaci tabelarycznej (zamieścić również przykład obliczeń dla
jednego punktu pomiarowego) oraz graficznej, sporządzając wykres zależności λ = λ(Re) – na
wykresie zaznaczyć punkty doświadczalne i wykreślić krzywe teoretyczne na podstawie zależności
λ od Re dla przepływu laminarnego i wzoru Blasiusa:
0.07
0.06
0.05
0.04
l
0.03
0.02
0.01
5000
10000
Re
15000
20000
25000