Eugeniusz Śmietana
Transkrypt
Eugeniusz Śmietana
XXVIII KONKURS MATEMATYCZNY im. Prof. J. MARSZAŁA (etap powiatowy) (8 listopada 2013 r. godz. 10.00 – 12.00) ZADANIA DLA UCZNIÓW KLAS PIERWSZYCH Zadanie 1. Środek ciężkości trójkąta równobocznego o boku długości jest środkiem koła o promieniu równym średniej geometrycznej długości promienia koła opisanego na trójkącie i długości promienia koła wpisanego w trójkąt . Oblicz pole figury . Zadanie 2. Rozwiąż równanie Zadanie 3. Niech liczby w zbiorze liczb całkowitych. należą do przedziału . . Udowodnij, że zachodzi nierówność ZADANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH Zadanie 1. Punkty i i dzielą dwa nierównoległe odcinki CA i CB odpowiednio tak, że . Niech P dzieli odcinek Zadanie 2. Rozwiąż równanie Zadanie 3. Niech będzie punktem przecięcia się odcinków i . W jakim stosunku punkt ? w zbiorze liczb naturalnych? będą liczbami dodatnimi, natomiast liczba dla . ich sumą. Udowodnij, że ZADANIA DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH Zadanie 1. Wielokąt opisany na okręgu o promieniu długości rozcięto na trójkątów . Udowodnij, że suma długości promieni okręgów wpisanych w te trójkąty jest większa od . Zadanie 2. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych nierówność Zadanie 3. Wiedząc, że i . większych od zachodzi wyznacz sumę . POWODZENIA