Funkcje analityczne
Transkrypt
Funkcje analityczne
Funkcje analityczne Wykład 9. Twierdzenia Cauchy’ego Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy twierdzenie Cauchy’ego o trójkącie 1. Twierdzenie Cauchy’ego dla trójkąta Zorientowany trójkąt Niech (a, b, c) będzie trójką liczb zespolonych (nie leżących na jednej prostej). Za brzeg ∂4 trójkąta 4 (o dodatniej orientacji) uznawać będziemy sumę odcinków [a, b], [b, c], [c, a]. c a b Twierdzenie Cauchy’ego dla trójkąta Twierdzenie 1. Przypuśćmy, że 4 ⊂ A jest trójkątem, natomiast A – zbiorem otwartym. Niech p ∈ A, f : A → C będzie funkcją ciągłą oraz f ∈ H(A \ {p}). Wówczas Z f (z) dz = 0. ∂4 Twierdzenie Cauchy’ego dla zbioru wypukłego Twierdzenie 2. Przypuśćmy, że A jest zbiorem otwartym i wypukłym, p ∈ A, f : A → C jest funkcją ciągłą oraz f ∈ H(A \ {p}. Istnieje wówczas funkcja F ∈ H(A), dla której f = F 0 i w konsekwencji Z f (z) dz = 0 Γ dla dowolnej krzywej zamkniętej w A. 1 2. Twierdzenie Morera Twierdzenie Morera – twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cauchy’ego Twierdzenie 3. Przypuśćmy, że f : A → C, gdzie A ⊂ C jest obszarem. Jeśli f jest ciągłą oraz dla dowolnego trójkąta 4 ⊂ A zachodzi warunek Z f (z) dz = 0, ∂4 to f ∈ H(A). 3. Zadania na ćwiczenia 1. Obliczyć √ Z z dz, C √ gdzie C jest półokręgiem o orientacji od punktu 1 do −1, a z jest gałęzią główną pierwiastka. 2. Niech f będzie ciągłą w pewnym otoczeniu 0. Uzasadnić, że Z f (z) dz = 2πif (0), lim+ r→0 z Cr gdzie Cr jest dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w 0 i promieniu r. 3. Niech Ω ⊂ C będzie obszarem ograniczonym o gładkim brzegu ∂Ω. Uzasadnić, że Z z dz = 2i|Ω|, ∂Ω gdzie |Ω| oznacza pole obszaru Ω, a krzywa ∂Ω ma dodatnią orientację. 2