Funkcje analityczne

Funkcje analityczne
Wykład 9. Twierdzenia Cauchy’ego
Paweł Mleczko
Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Plan wykładu
W czasie wykładu omawiać będziemy twierdzenie Cauchy’ego o trójkącie
1. Twierdzenie Cauchy’ego dla trójkąta
Zorientowany trójkąt
Niech (a, b, c) będzie trójką liczb zespolonych (nie leżących na jednej prostej). Za brzeg ∂4 trójkąta
4 (o dodatniej orientacji) uznawać będziemy sumę odcinków [a, b], [b, c], [c, a].
c
a
b
Twierdzenie Cauchy’ego dla trójkąta
Twierdzenie 1. Przypuśćmy, że 4 ⊂ A jest trójkątem, natomiast A – zbiorem otwartym. Niech p ∈ A,
f : A → C będzie funkcją ciągłą oraz f ∈ H(A \ {p}). Wówczas
Z
f (z) dz = 0.
∂4
Twierdzenie Cauchy’ego dla zbioru wypukłego
Twierdzenie 2. Przypuśćmy, że A jest zbiorem otwartym i wypukłym, p ∈ A, f : A → C jest funkcją
ciągłą oraz f ∈ H(A \ {p}. Istnieje wówczas funkcja F ∈ H(A), dla której f = F 0 i w konsekwencji
Z
f (z) dz = 0
Γ
dla dowolnej krzywej zamkniętej w A.
1
2. Twierdzenie Morera
Twierdzenie Morera – twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cauchy’ego
Twierdzenie 3. Przypuśćmy, że f : A → C, gdzie A ⊂ C jest obszarem. Jeśli f jest ciągłą oraz dla
dowolnego trójkąta 4 ⊂ A zachodzi warunek
Z
f (z) dz = 0,
∂4
to f ∈ H(A).
3. Zadania na ćwiczenia
1. Obliczyć
√
Z
z dz,
C
√
gdzie C jest półokręgiem o orientacji od punktu 1 do −1, a z jest gałęzią główną pierwiastka.
2. Niech f będzie ciągłą w pewnym otoczeniu 0. Uzasadnić, że
Z
f (z)
dz = 2πif (0),
lim+
r→0
z
Cr
gdzie Cr jest dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w 0 i promieniu r.
3. Niech Ω ⊂ C będzie obszarem ograniczonym o gładkim brzegu ∂Ω. Uzasadnić, że
Z
z dz = 2i|Ω|,
∂Ω
gdzie |Ω| oznacza pole obszaru Ω, a krzywa ∂Ω ma dodatnią orientację.
2