ρ µ π µ

1. Według teorii Bohra elektron w atomie wodoru krąŜy wokół jądra atomowego po orbicie
kołowej. Obliczyć zmianę częstotliwości krąŜenia elektronu po umieszczeniu atomu wodoru w polu
magnetycznym o wektorze indukcji B prostopadłym do płaszczyzny orbity elektronu.
Odpowiedź:
∆ν =
eB
4π m
2. Przez miedzianą płytkę o grubości a = 0,1mm i szerokości b = 20mm płynie prąd o natęŜeniu
I = 5A. Płytkę umieszczono w polu magnetycznym, którego wektor indukcji B = 2T jest prostopadły
do płaszczyzny płytki. Obliczyć:
a. natęŜenie pola elektrycznego wytworzonego w płytce w kierunku prostopadłym do kierunku
przepływu prądu,
b. stosunek natęŜenie pola elektrycznego wytworzonego w płytce w kierunku prostopadłym do
kierunku przepływu prądu do natęŜenia pola elektrycznego wzdłuŜ kierunku przepływu prądu.
29
3
Koncentracja elektronów w miedzi wynosi n = 1,1·10 /m , oporność właściwa miedzi wynosi ρ =
1,72·10-8Ωm. Ładunek elementarny e = 1,6 10-19C.
Odpowiedź:
a. E =
IB
= 2,8 ⋅10 − 4 V / m
neab
b.
Ey
Ex
=
B
= 6,6 ⋅10 −3
neρ
3. Przez długi przewód cylindryczny o promieniu R płynie prąd elektryczny z gęstością


powierzchniową j = j 0 1 −
r
 , gdzie r - odległość od osi przewodu. Obliczyć wartość wektora
R
indukcji pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz przewodu.
Wskazówka. Zastosować metodę Ampere’a.
Odpowiedź:
r = R na powierzchni przewodu
r > R na zewnątrz przewodu
dla r =
µ 0 j0
2r 

⋅ r 1 −

2
 3R 
µ j R µ I ( R)
B( R) = 0 0 = 0
6
2πR
2
µ j R
µ I ( R)
B(r ) = 0 0
= 0
6
2πr
3
9
Bmax = µ 0 j 0 R = B ( R )
16
8
B(r ) =
r < R wewnątrz przewodu
3
R
4
4. Bardzo długi, cienki przewód prostoliniowy zgięto pod kątem α. Zakładając, Ŝe przez przewód
płynie stały prąd o natęŜeniu I wyznaczyć wektor indukcji pola magnetycznego w odległości x od
wierzchołka kąta α, na prostej prostopadłej do płaszczyzny przewodu w punkcie zgięcia przewodu.
Odpowiedź.
Na pierwszym rysunku wektory B punkcie
z
x
połoŜonym na osi OX zostały zrzutowane
na płaszczyznę YZ, w której leŜy przewód
B
.
r r r
µ I
B = B1 + B2 = 0 [ 0, − sin α , cosα − 1 ]
4π x
α
r
α
I
y
y
I
µ I
α
B= 0
2(1 − cosα )
2
B1y
2
z
4π x
r µ I
dla α = 180 o (przewód wyprostowany) otrzymujemy B = 0 [ 0, 0, − 1 ] .
2π x
B1
B1z
1
2
1
W takim przypadku wynik ten moŜna bardzo łatwo otrzymać z prawa Ampere’a.
5. W dwóch równoległych, cienkich przewodach prostoliniowych o długości l płyną zgodne prądy o
natęŜeniach równych I. Odległość między przewodami jest równa a. Obliczyć siłę, jaką jeden
przewód działa na drugi.
Odpowiedź.
µ0 I 2
F=
2π a
(a
2
+l2 − a
)
6. Dwa elektrony poruszają się z nierelatywitycznymi prędkościami
v1 i v2 w laboratoryjnym układzie odniesienia. Obliczyć siłę, jaką
pierwszy elektron działa z odległości r na elektron drugi, w sytuacji
przedstawionej na rysunku.
Odpowiedź.
F=
e2
4π ε 0 r 2
1+
υ1
1
α
2
υ2
r
v1 v 2
e2
α
sin
≈
c2
4π ε 0 r 2
7. W polu magnetycznym wytworzonym wokół bardzo długiego, cienkiego przewodu
r
prostoliniowego, w którym płynie prąd o natęŜeniu I, porusza się ze stałą prędkością v
metalowy pręt o długości l. Prędkość jest prostopadła do pręta. Obliczyć stosunek wartości
napięcia między końcami pręta dla dwóch sposobów przesuwania pręta:
r
a. wektor v jest równoległy do przewodu
r
b. wektor v jest prostopadły do przewodu
Skomentować otrzymany wynik.
Odpowiedź.
(
)
µ 0 Iv
ln 1 + l = const
d
2π
µ Iv
l
b. U 2 = 0 ⋅
2π d + vt
a. U1 =
W pierwszym przypadku napięcie ma stałą wartość (pręt porusza się tak, Ŝe średnia wartość
wektora indukcji magnetycznej jest stała), natomiast w drugim przypadku napięcie maleje w miarę
oddalania się od długiego przewodu(pręt przemieszcza się w obszary coraz słabszego pola).
Zatem stosunek napięć jest zaleŜny od czasu.
U 1 d + vt 
l
=
ln1 + 
U2
l
 d
8. W odległości a od nieskończenie długiego przewodu prostoliniowego w którym płynie prąd o
natęŜeniu I umieszczono kwadratowy obwód o boku a i oporności R. Obliczyć:
a.strumień pola magnetycznego przez powierzchnię obwodu.
b.ładunek jaki przepłynie w obwodzie po wyłączeniu prądu I.
c.energię przekazaną do obwodu, przy załoŜeniu, Ŝe zanik prądu I ma charakter eksponencjalny,
z czasem relaksacji τ.
Odpowiedź.
y

a. Φ B = 2 ⋅

2 a dx 
µ 0 I 2 a  2 a
µ0a
x
 
dx + ∫
∫
∫

dy  = 1,19 2π ⋅ I
4π  a  a y x 2 + y 2
y
a
 
 
µ a
µ aI
b. Q = ∫ − 1,19 0 ⋅ dI = 1,19 0
2
π
R
2πR
I
Warto zauwaŜyć, Ŝe wartość tego ładunku jest
niezaleŜna od rodzaju funkcji opisującej zanik prądu.
I
a
0
a
dS = dx dy
y
a
I
α
a
x
x
c. W =
1
2 Rτ
µ I a

 1,19 0 0  2
2π 

9. Na długich poziomych szynach spiętych opornikiem o oporności R leŜy pręt o masie m i
r
długości l. Wektor indukcji B stałego, jednorodnego pola magnetycznego jest skierowany
r
przeciwnie do wektora natęŜenia pola grawitacyjnego g . Obliczyć moc potrzebną do przesuwania
r
pręta ze stałą prędkością v . Zaniedbać oporność szyn i pręta oraz tarcie pręta o szyny.
Odpowiedź: P = R I 2 =
B 2l 2v 2
R
10. Z dwóch odcinków cienkiego drutu o tej samej długości wykonano odpowiednio a) jeden zwój
kołowy, b) ściśle do siebie przylegające dwa zwoje kołowe. Porównać wartość natęŜenia pola
magnetycznego w przypadkach a) i b) (w środku zwojów), przy załoŜeniu, Ŝe przez oba elementy
przepływa prąd stały o takim samym natęŜeniu.
11. Przez obwód w kształcie łuku o promieniu krzywizny R0, opartym na kącie środkowym a.
Przez łuk przepływa prąd stały o natęŜeniu I. Wyznaczyć wektor indukcji w środku krzywizny tego
łuku.
12. Przez zwój kołowy o promieniu R0 przepływa prąd stały o natęŜeniu I. Zwój ten zgięto pod
kątem prostym wzdłuŜ jednej ze średnic. Wyznaczyć wektor H we wspólnym środku krzywizny obu
półzwojów.
13. dwa płaskie zwoje kołowe o promieniach a=R0 i b=2R0 leŜą w jednej płaszczyźnie i mają
wspólny środek. W obwodzie o mniejszym promieniu płynie prąd stały o natęŜeniu I. Określić
wartość i kierunek prądu w zwoju o większym promieniu, jeŜeli natęŜenie pola magnetycznego w
środku krzywizny obu zwojów wynosi 0.
14. Ładunek ujemny rozmieszczono równomiernie z gęstością powierzchniową s na cienkiej
półkulistej czaszy dielektrycznej o promieniu R0. Czasza obraca się wokół osi przechodzącej przez
środek krzywizny czaszy i prostopadłej do jej podstawy z prędkością kątową w. Obliczyć wektor
natęŜenia pola magnetycznego w środku krzywizny czaszy.
15. Prze nieskończenie długi, cienki i płaski pasek przewodnika o szerokości a (w kierunku osi X)
płynie prąd stały o natęŜeniu I. Obliczyć wektor H w dowolnym punkcie osi y, przy załoŜeniu, Ŝe
pasek leŜy w płaszczyźnie XZ, a kierunek przepływu prądu jest zgodny ze zwrotem ozi Z.
16. Na powierzchni kuli dielektrycznej o promieniu R0 umieszczono ładunek dodatni Q. Kula
obraca się z prędkością kątową w wokół osi przechodzącej przez środek kuli. Wyznaczyć moment
magnetyczny kuli.
17. W jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B w płaszczyźnie prostopadłej do linii pola
wiruje ze stałą prędkością kątową w prostoliniowy cienki pręt o długości L. Oś obrotu znajduje się
na jednym z końców pręta. Obliczyć SEM indukowaną w pręcie.
18. Prostoliniowy cylindryczny przewód o stałym przekroju poprzecznym wykonano z
jednorodnego przewodzącego materiału. Średnica przewodu wynosi d, a jego długość L. Obliczyć
współczynnik indukcyjności związany z polem magnetycznym istniejącym wewnątrz przewodu.
19. W obwodzie RLC zachodzą elektromagnetyczne drgania wymuszone pod wpływem napięcia
U (t ) = U 0 sin ω t . Obliczyć średnią moc pochłanianą przez obwód w ciągu jednego okresu drgań.
Dla jakiej wartości częstości wymuszania wartość tej mocy jest największa?
Odpowiedź: P (ω ) =
U 02
U 02
ω2
,
P
=
P
(
ω
)
=
max
0
2 L2 ω 02 − ω 2 2 + 4 β 2ω 2
2R
(
)