Zagadnienia

Zgadnienia do egzaminu ustnego z Matematyki – I rok WM
Inżynieria Biomedyczna, Transport
1. Definicja funkcji i własności funkcji (monotoniczność, parzystość, okresowość, ograniczoność, injektywność, surjektywność, bijektywność, odwracalność).
2. Definicja ciągu liczbowego i własności ciągów, definicja granicy ciągu oraz twierdzenia o granicach, granice specjalne.
3. Definicja szeregu liczbowego, zbieżność szeregu – warunek konieczny zbieżności
oraz warunki wystarczające (kryteria zbieżności).
4. Funkcje elementarne, definicja granicy i twierdzenia o granicach, definicja ciągłości
i twierdzenia o ciągłości dla funkcji jednej zmiennej. Granice specjalne. Własności
funkcji ciągłych. Asymptoty.
5. Definicji ilorazu różnicowego oraz pochodnej funkcji jednej zmiennej, definicja różniczki. Interpretacja geometryczna tych pojęć. Pochodne funkcji elementarnych,
twierdzenia o różniczkowaniu, definicja pochodnych wyższego rzędu, twierdzenia podające związek między pochodną a monotonicznością i wypukłością funkcji, twierdzenia Rolle’a, Lagrange’a, Taylora, reguła de L’Hospitala.
6. Definicja całki nieoznaczonej i jej własności, podstawowe metody całkowania. Całkowanie funkcji wymiernych, trygonometrycznych, niewymiernych.
7. Definicja całki oznaczonej Riemanna i jej własności. Definicja całki niewłaściwej
(pierwszego i drugiego rodzaju). Zastosowanie geometryczne całki oznaczonej.
8. Pojęcie granicy i ciągłości dla funkcji wielu zmiennych. Definicja pochodnej kierunkowej, cząstkowej oraz różniczki funkcji wielu zmiennych. Definicja ekstremum lokalnego oraz twierdzenia dotyczące warunków koniecznych i wystarczających na
osiąganie ekstremum.
9. Obszary normalne, regularne. Definicja całki podwójnej, potrójnej, Twierdzenie o zamianie całki wielokrotnej na całki iterowane. Zmiana zmiennych w całce podwójnej,
potrójnej (współrzędne biegunowe, walcowe, sferyczne).
10. Równania różniczkowe zwyczajne: równania rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych, równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych, równania liniowe (rzędu co najwyżej drugiego) – metoda Lagrange’a oraz metoda przewidywań.
11. Struktury algebraiczne. Definicja grupy, pierścienia, ciała, przestrzeni wektorowej.
Definicja liniowej niezależności wektorów, bazy i wymiaru przestrzeni wektorowej.
12. Ciało liczb zespolonych. Definicja liczby zespolonej (postać pary, algebraiczna, trygonometryczna, wykładnicza). Działania na liczbach zespolonych.
13. Macierze. Definicja macierzy i działań na macierzach. Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej i jego własności. Macierz odwrotna. Definicja rzędu macierzy.
Operacje nie zmieniające rzędu.
14. Układy równań liniowych jednorodny i niejednorodny. Twierdzenie o rozwiązalności
układu równań – Kroneckera-Capellego. Twierdzenie Cramera.
15. Odwzorowania liniowe. Definicja odwzorowania liniowego. Związek odwzorowań liniowych z macierzami.
16. Elementy geometrii analitycznej. Definicja i własności iloczynu skalarnego, wektorowego i mieszanego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Równania prostej
i płaszczyzny w R 3 .