1 SCENARIUSZ LEKCJI Z MATEMATYKI opracowała Hanna Szmyt

SCENARIUSZ LEKCJI Z MATEMATYKI
opracowała Hanna Szmyt
Temat: Zadania optymalizacyjne dotyczące funkcji kwadratowej.
1. Cele główne:
•
•
pokazanie zastosowań własności funkcji kwadratowe w zadaniach optymalizacyjnych,
utrwalenie wiadomości z zakresu funkcji kwadratowej.
2. Cele szczegółowe
Po lekcji uczeń :
• potrafi podać opis matematyczny danej sytuacji w postaci funkcji,
•
potrafi wyznaczyć dziedzinę otrzymanej funkcji,
•
obliczy wartość najmniejszą bądź najmniejszą otrzymanej funkcji,
•
formułuje i uzasadnia wnioski dla rozpatrywanego problemu.
3. Metody i formy pracy: praca indywidualna przy pomocy kart pracy, dyskusja kierowana.
4. Środki dydaktyczne: karty pracy, foliogramy, rzutnik pracy.
5. Przebieg lekcji:
• przypomnienie wiadomości dotyczących własności funkcji kwadratowej,
•
rozdanie kart pracy (załącznik1 oraz załącznik 2),
•
porównywanie i analiza wyników,
•
wyświetlenie foliogramu z modelem wyników (foliogram1oraz foliogram 2),
•
zadanie pracy domowej,
•
podsumowanie i ocena pracy uczniów.
1
KARTA PRACY NR 1 – załącznik 1
Zadanie 1.
Suma długości boku trójkąta i wysokości opuszczonej na ten bok wynosi 100 cm. Ile cm powinien
mieć bok trójkąta, a ile wysokość , aby pole tego trójkąta było największe.
1. Sporządź rysunek wraz z oznaczeniami. Niech x będzie długością boku, zaś y długością wysokości
opuszczonej na ten bok.
2. Napisz wzór funkcji pola trójkąta w zaleŜności od x oraz y.
P (x, y ) =.....................................................................................................................................................
3. Korzystając z warunków zadania napisz równanie w zaleŜności od wprowadzonych zmiennych.
....................................................................................................................................................................
4. Z otrzymanego równania wyznacz zmienną y.
....................................................................................................................................................................
5. Wstaw zmienną y do wzoru na pole trójkąta, otrzymując w ten sposób funkcję P jednej zmiennej x.
Wzór funkcji P zapisz w postaci sumy jednomianów.
....................................................................................................................................................................
6. Wyznacz warunki na zmienne. ( Czy długość boku moŜe być liczbą niedodatnią ).
....................................................................................................................................................................
7. Zapisz warunki za pomocą jednej zmiennej.
....................................................................................................................................................................
8. RozwiąŜ otrzymany układ nierówności i zapisz dziedzinę funkcji P.
....................................................................................................................................................................
9. PoniewaŜ wykresem funkcji P w zbiorze ℜ jest parabola zwrócona ramionami ...............................,
więc funkcja osiąga wartość .................................dla x=..................................................................... .
10. Sprawdź, czy ten argument naleŜy do dziedziny funkcji P
....................................................................................................................................................................
11. Wyznacz wartość drugiej zmiennej ( Patrz punkt 4)
...................................................................................................................................................................
12. Uzupełnij odpowiedź.
Pole tego trójkąta będzie największe, jeśli długość boku trójkąta i wysokości opuszczonej na ten bok
..................................................... i wynosić będą po.................. .
2
KARTA PRACY NR 2 – załącznik 2
Zadanie1. RóŜnica dwóch liczb rzeczywistych wynosi 6. Jak wybrać te liczby, aby suma ich
kwadratów była najmniejsza ?
1. Wprowadź oznaczenia. Niech x będzie większą liczbą, y mniejszą liczbą oraz napisz równanie
wynikające z warunków zadania.
....................................................................................................................................................................
2. Z otrzymanego równania wyznacz zmienną y.
....................................................................................................................................................................
3. Napisz wzór funkcji sumy kwadratów zmiennych x oraz y.
S (x, y ) = ......................................................................................................................................................
.
4. Wstaw zmienną y do wzoru funkcji S, otrzymując w ten sposób funkcję jednej zmiennej x.
Wzór funkcji S zapisz w postaci sumy jednomianów.
....................................................................................................................................................................
5. Uzupełnij zdanie.
Funkcja S jest funkcją ................................................................................................................................
6. Wykresem funkcji kwadratowej S jest parabola zwrócona ramionami............... .................................,
więc funkcja osiąga wartość ................................................dla x=............................................................
7. Wyznacz wartość drugiej zmiennej (patrz punkt nr 2)
....................................................................................................................................................................
8. Podaj odpowiedź.
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
3
MODEL WYNIKÓW DLA KARTY NR 1 – foliogram 1
Zadanie 1.
Suma długości boku trójkąta i wysokości opuszczonej na ten bok wynosi 100 cm. Ile cm powinien
mieć bok trójkąta, a ile wysokość , aby pole tego trójkąta było największe?
1. Sporządź rysunek wraz z oznaczeniami. Niech x będzie długością boku, zaś y długością wysokości
opuszczonej na ten bok.
y
x
2. Napisz wzór funkcji pola trójkąta w zaleŜności od x oraz y.
P (x, y ) =
1
xy
2
3. Korzystając z warunków zadania napisz równanie w zaleŜności od wprowadzonych zmiennych.
x + y = 100
4. Z otrzymanego równania wyznacz zmienną y.
y = 100 − x
5. Wstaw zmienną y do wzoru na pole trójkąta, otrzymując w ten sposób funkcję P jednej zmiennej x.
Wzór funkcji P zapisz w postaci sumy jednomianów.
P(x ) =
1
1
1
x(100 − x ) = 50 x − x 2 = − x 2 + 50 x
2
2
2
6. Wyznacz warunki na zmienne. ( Czy długość boku moŜe być liczbą niedodatnią ).
x〉 0 ∧ y 〉 0
7. Zapisz warunki za pomocą jednej zmiennej.
x〉 0 ∧ 100 − x〈 0
8. RozwiąŜ otrzymany układ nierówności i zapisz dziedzinę funkcji P.
x〉 0 ∧ 100 − x〈 0 ⇒ x〉 0 ∧ x〈100 ⇒ x ∈ (0,100 ) ⇒ D p = (0,100 )
9. PoniewaŜ wykresem funkcji P w zbiorze ℜ jest parabola zwrócona ramionami do dołu,
więc funkcja osiąga wartość największą dla x=
−b
=
2a
4
− 50
− 50
=
= 50
−1
 1
2⋅− 
 2
10. Sprawdź, czy ten argument naleŜy do dziedziny funkcji P
x = 50 ∈ D p
11. Wyznacz wartość drugiej zmiennej ( Patrz punkt 4)
y = 100 − x ⇒ y = 50
12. Uzupełnij odpowiedź.
Pole tego trójkąta będzie największe, jeśli długość boku trójkąta i wysokości opuszczonej na ten bok
będą takie same i wynosić będą po 50 cm .
5
MODEL WYNIKÓW DLA KARTY NR 2 – foliogram 2
Zadanie1. RóŜnica dwóch liczb rzeczywistych wynosi 6. Jak wybrać te liczby, aby suma ich
kwadratów była najmniejsza ?
1. Wprowadź oznaczenia. Niech x będzie większą liczbą, y mniejszą liczbą oraz napisz równanie
wynikające z warunków zadania.
x− y =6
2. Z otrzymanego równania wyznacz zmienną y.
y = x−6
3. Napisz wzór funkcji sumy kwadratów zmiennych x oraz y.
S (x, y ) = x 2 + y 2
4. Wstaw zmienną y do wzoru funkcji S, otrzymując w ten sposób funkcję jednej zmiennej x.
Wzór funkcji S zapisz w postaci sumy jednomianów.
S ( x ) = x 2 + (x − 6 ) = x 2 + x 2 − 12 x + 6 = 2 x 2 − 12 x + 6
2
5. Uzupełnij zdanie.
Funkcja S jest funkcją kwadratową.
6. Wykresem funkcji kwadratowej S jest parabola zwrócona ramionami do góry,
więc funkcja osiąga wartość najmniejszą dla x=
− b 12 12
=
=
=3
2a 2 ⋅ 2 4
7. Wyznacz wartość drugiej zmiennej (patrz punkt nr 2)
y = x − 6 = 3 − 6 = −3
8. Podaj odpowiedź.
Aby suma kwadratów szukanych liczb była najmniejsza, to większa z tych liczb powinna wynosić
3, zaś mniejsza –3.
6