( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Transkrypt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
D:\_AND\001\PR_NAUK\2003\90_DOWODY\z_0046.doc Nazwisko Zadanie: 0 Imię 0 4 2004-sty-01, 22:52 Rok, kierunek Data (rrrr-mm-dd) Kod zestawu: 6 Zadanie 0046 (twierdzenie o granicy złożenia funkcji ciągłej i funkcji posiadającej granicę) Postać słowna Postać symboliczna Niech X , Y , Z będą dowolnymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych. ∀ a ∈Y , x ∈ R Niech a ∈ Y , x ∈ R i niech f będzie funkcją ze zbioru X w zbiór Y zaś g będzie funkcją ze zbioru Y w zbiór Z ciągłą w punkcie a . Jeśli a jest granicą funkcji f w punkcie g (a ) jest granicą złożenia g o f w punkcie x . ∀ f ∈ FUN ( X , Y ) ∀ g ∈ Ca (Y , Z ) LIM ( x, f , a ) ⇒ LIM( x, g o f , g (a )) x , to ∀ ε>0 Dowód: 1) ∃ : a) b) iii) ; (W1) ; OZNACZMY (W2) LIM ( x, f , a ) , (W3) LIM ( x, g o f , g (a )) ; 2) iv) : (W4) b) c) OZNACZMY (W9) x − y ≤ δ , (W10) g (a ) − g o f ( y ) ≤ ε ; : : (W5) ii) O WŁASNOŚCIACH (W6) ; d) ; i) ; ; v) OKREŚLAMY δ := δ 2 ; ; USTALMY ∀ y∈X ; x− y ≤δ a − f (y) ≤ ε O WŁASNOŚCIACH (W8) : a) : (W7) δ>0 e) : i) ii) Koniec dowodu (W11) ;