Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „PIKOMAT” Finał – 15

Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „PIKOMAT”
Finał – 15 czerwca 2009r.
KLASA IV
Zadanie 1
Dorsz Pikuś, płynąc, rozmawiał z tatą dorszem przez telefon komórkowy:
- Za mną płynie pół ławicy, zaś przede mną połowa tego co za mną. Z mojej prawej strony
1
płynie tego co przede mną, a z mojej lewej strony płynie jeszcze 11 kolegów dorszy. Drogi
3
tato dorszu, ile dorszy liczy ławica, w której płynę? Pomóż tacie Pikusia rozwiązać powyższy
problem.
Zadanie 2
Kasia zapisała na oddzielnych kartkach sześć liczb.
55
17
28
29
64
Liczba na ostatniej, odwróconej kartce jest o 17 mniejsza od jednej z widocznych liczb
i o 9 większa od innej z tych liczb. Jaką liczbę zapisała Kasia na odwróconej kartce?
Zadanie 3
Z 12 jednakowych kwadratów zbudowano prostokąt. Ile razy obwód tego prostokąta jest
większy od obwodu każdego z kwadratów?
KLASA V
Zadanie 1
Jeszcze wczoraj wieczorem w jednym worku miałem 80 kg orzechów, a w drugim 100 kg.
Jednakże dzisiaj rano okazało się, że mój dowcipny wnuczek Bartek – pod osłoną nocy –
przygotował mi niespodziankę. Otóż z drugiego worka odsypał dwa razy więcej orzechów niż
z pierwszego i wówczas w pierwszym worku znalazło się trzy razy więcej orzechów niż
w drugim. Ile kilogramów orzechów odsypał mój wnuczek Bartek z każdego worka?
Zadanie 2
Dyrektor zoo w mieście Piko zapytał, ile waży przebywający tam słoń. Opiekun zwierzęcia
odpowiedział: „Słoń waży tyle, ile dwa nosorożce, nosorożec tyle, ile dwa żubry, żubr tyle, ile
dwa niedźwiedzie, niedźwiedź waży tyle, ile dwa tygrysy, tygrys tyle, ile dwa strusie, struś
tyle, ile dwa wilki, wilk tyle, ile dwa bobry, bóbr tyle, ile dwa lisy, lis waży tyle, ile ważą dwa
zające. Ponadto słoń waży o 6,25 kg więcej, niż ważą w sumie pozostałe zwierzęta”. Oblicz,
ile waży słoń.
Zadanie 3
Wiadomo, że długości boków pewnego sześciokąta wynoszą: 3 cm, 5 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm
i 16 cm. Oblicz pole tego sześciokąta, jeżeli wiadomo, że każde dwa kolejne jego boki są
prostopadłe.
KLASA VI
Zadanie 1
Szóstoklasista Jaś szedł do swojej szkoły na godzinę 800. Po przejściu 1,5 km z prędkością
60 m/min zorientował się, że gdyby dalej szedł z taką samą prędkością, to spóźni się
o 5 minut. Pozostałą drogę szedł z prędkością 80 m/min i był w szkole 5 minut przed godziną
800. Jak daleko ma Jaś do swojej szkoły?
Zadanie 2
Michał przedstawił swemu bratu Marcinowi w dniu 10 jego urodzin następującą zagadkę
matematyczną: „Jeżeli w poniedziałek dostaniesz ode mnie 1 zł, w następny poniedziałek 2 zł,
w kolejny poniedziałek 3 zł i tak dalej, to ile pieniędzy będziesz miał w dniu 18 urodzin?”
Rozwiąż zagadkę Michała.
Zadanie 3
Marek narysował kwadrat, a następnie w jego wnętrzu wybrał taki punkt, że po połączeniu go
z każdym wierzchołkiem otrzymał cztery trójkąty o różnych polach. Ile wynosi pole
kwadratu, jeżeli trzy pola trójkątów są równe: 3 cm2, 7 cm2 i 12 cm2?
KLASA I
Zadanie 1
Dana jest pewna liczba trzycyfrowa. Jeżeli dodamy do niej 12 i tę zwiększoną liczbę
podzielimy przez 7, to otrzymamy resztę 5. Jeżeli do danej liczby trzycyfrowej dodamy
14 i zwiększoną liczbę podzielimy przez 9, znowu otrzymamy resztę 5. Jeżeli do danej liczby
trzycyfrowej dodamy 18 i zwiększoną liczbę podzielimy przez 13, także otrzymamy resztę 5.
Wyznacz daną liczbę trzycyfrową.
Zadanie 2
Pociąg przez most długości 540 m przejeżdża w ciągu 40 sekund, a słup telegraficzny mija
w ciągu 10 sekund. Jaka jest długość pociągu i jego prędkość?
Zadanie 3
Mecz piłki nożnej pomiędzy zespołami z równoległych klas gimnazjalnych rozegrano piłką
uszytą z 32 sześciokątnych i pięciokątnych łatek. Każdy sześciokąt jest żółty i graniczy
z trzema sześciokątami oraz z trzema pięciokątami, które są zielone. Każdy pięciokąt
graniczy tylko z sześciokątami. Z ilu łatek każdego rodzaju uszyta jest piłka? Wyobraź sobie,
że piłka ta jest wielościanem. Ile ma on krawędzi i ile wierzchołków?
KLASA II
Zadanie 1
Pomiędzy dwoma miastami Nok i Bok, położonymi na wyspie Piko, kursują pikobusy
i pociągi oraz latają samoloty. Pociąg ekspresowy z miasta Nok wyjeżdża o godzinę później
niż pikobus, samolot startuje natomiast w momencie, gdy pociąg ma jeszcze do przebycia
1
drogi. Pikobus w czasie od odjazdu pociągu do startu samolotu przejeżdża 120 km i jedzie
4
z prędkością sześciokrotnie mniejszą niż leci samolot. Tak się składa, że wszystkie
wymienione środki komunikacji, przybywają do miasta Bok jednocześnie. Jaka jest odległość
między miastami Nok i Bok? Ile czasu trwa podróż samolotem?
Zadanie 2
Pan Antoś jest najstarszy, pan Stasiu zaś najmłodszy. Dziesięciokrotna różnica ich wieku jest
sumą lat pana Antosia i pana Janka. Wiek pana Marka jest średnią arytmetyczną wieku
pozostałych panów, a różnica jego wieku i wieku pana Stasia jest dwukrotnie większa od
różnicy lat pana Antosia i pana Janka. Różnica między wiekiem pana Janka i pana Stasia jest
o dwa większa niż różnica między wiekiem pana Antosia i pana Marka. Ile lat ma każdy
z panów?
Zadanie 3
W pewnym pięciokącie przekątne wychodzące z jednego wierzchołka dzielą ten pięciokąt na
dwa trójkąty równoboczne i jeden trójkąt prostokątny równoramienny. Podaj miary kątów
tego pięciokąta.
KLASA III
Zadanie 1
Opowieści wędkarzy bywają częstokroć niesamowite i wręcz niewiarygodne. Oto jedna
z nich, którą usłyszałem od mego dziadka Staszka: „Pewnego razu, ja oraz twoi wujkowie
Kazik i Franek wybraliśmy się nad jezioro Czarne, o którym głośno mówiło się w okolicy, że
można w nim złowić wspaniałe okazy. Pamiętam, że każdy z naszej trójki złowił po 6 sumów,
w tym 3 sztuki jednokilogramowe, dwie – pięciokilogramowe, 3 – dziesięciokilogramowe
i 1 wspaniały okaz – pięćdziesięciokilogramowy. Złowiliśmy również sumy
dwudziestopięciokilogramowe, dwudziestokilogramowe i dwukilogramowe, lecz dzisiaj już
nie pamiętam po ile sztuk. Acha, tych pierwszych i tych trzecich było tyle samo.
Przypominam sobie, że po zważeniu naszych połowów okazało się, iż połów każdego z nas
ważył tyle samo, choć dwa największe sumy wuja Kazika ważyły tyle samo, ile mój jeden
okaz”. Historia opowiedziana przez mego dziadka Staszka jest nie tylko „bardzo wędkarska”
i można ją potraktować z przymrużeniem oka, ale jest też świetną zagadką matematyczną.
Oblicz, ile sumów i o jakiej wadze złowił każdy z wędkarzy?
Zadanie 2
Znajdź najmniejszą liczbę zakończoną cyfrą 6 o tej własności, że przeniesienie tej cyfry na
początek da nam liczbę cztery razy większą od wyjściowej.
Zadanie 3
Wiadomo, że ze środkowych dowolnego trójkąta można zbudować trójkąt. Jaki jest stosunek
pola otrzymanego w ten sposób trójkąta do pola trójkąta danego?
Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Katarzyna Sikora, Katarzyna Żak