DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA

Dominik Kretschmer
rok akademicki 2005/2006
grupa 2
konsultacje:
dr inŜ. J.Pulikowski
DYNAMIKA RAM
WERSJA KOMPUTEROWA
Dla układu ramowego o zadanych przekrojach prętów obliczyć częstości drgań własnych i narysować trzy
pierwsze postacie drgań.
m=240kg
1
3
4
3
2
E=205GPa
5
4
[m]
Charakterystyki prętów:
Nr pręta
Przekrój
l[m]
A[m 2 ]
I [m 4 ]
M [kg ]
m
EA[N ]
EI [ Nm 2 ]
1
2
3
4
I240
I240
I200
I200
4,0
5,0
3,0
5,0
0,00461
0,00461
0,00335
0,00335
0,0000425
0,0000425
0,0000214
0,0000214
36,2
36,2
26,3
26,3
945050000
945050000
686750000
686750000
8712500
8712500
4387000
4387000
Wyznaczenie wartości częstości drgań własnych w ujęciu komputerowym sprowadza się do rozwiązania
ogólnego równania ruchu układu:
[ K ] ⋅ [q] + [C ] ⋅ [q& ] + [ M ] ⋅ [q&&] = [ P ]
2
Dynamika ram – wersja komputerowa
Po wyeliminowaniu z tego równania działania sił wymuszających i tłumienia, otrzymujemy równanie
drgań własnych nietłumionych:
[ K ] ⋅ [q ] + [ M ] ⋅ [q&&] = 0
gdzie:
q = q0 sin ωt
q&& = −q 0ω 2 sin ωt
czyli ostatecznie
([ K ] − λ[ M ])[q0 ] = [0]
λ = ω2
Jak łatwo zauwaŜyć w dynamice, oprócz macierzy sztywności [K] pojawia się dodatkowo macierz mas
[M] opisywana dokładnie funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi, które dla uproszczenia
obliczeń zastępuje się zwykle przybliŜonymi funkcjami wielomianowymi. W tym przypadku podział
układu na elementy ma juŜ duŜe znaczenie: im gęstszy podział, tym dokładniejsze wyniki. W tym
projekcie kaŜdy z prętów będzie stanowił pojedynczy element, a przemieszczenia oprócz punktów
węzłowych zostaną obliczone w punktach wynikających z podziału kaŜdego pręta na 5 części, co pozwoli
na dokładniejsze zobrazowanie postaci drgań własnych.
a) układ globalny,
x
y
q6
q1
q10
q4
q3
q7
q2
q16
q5
q8
q9
q13
q14
q15
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
q11
q12
24.10.2005r.
3
Dynamika ram – wersja komputerowa
b) układy lokalne poszczególnych prętów,
Pręt 3
Pręt 1
q3
q2
y
q6
q1
q1
x
1
q4
q5
q2
3
q3
3
4
q5
q6
q4
y
x
Pręt 2
Pręt 4
y
q3
q2
q2
q6
q1
x
2
5
q5
q1
q4
q3
4
q5
y
q4
5.
0
q6
x
Z tak przyjętych układów lokalnych wynika, Ŝe transformację macierzy sztywności i mas z układu
lokalnego do globalnego będziemy przeprowadzać dla pręta 3 i 4, odpowiednio o kąty 900 oraz 143,13010.
Dla prętów 1 i 2 układy lokalne pokrywają się z układem globalnym. W tak przyjętych układach
współrzędnych, pręt 4 to pręt z przegubem na lewym końcu, pozostałe pręty zaś są obustronnie
utwierdzone. Przy obliczaniu macierzy sztywności i mas dokonamy redukcji statycznej.
Wzory ogólne mają postać:
a) pręt obustronnie utwierdzony
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
24.10.2005r.
4
Dynamika ram – wersja komputerowa
 EAl 2

 0
1 0
~
Ke = 3 
l − EAl 2
 0

 0
0
0
− EAl 2
0
12 EI
6 EIl
0
6 EIl
4 EIl 2
0
0
0
EAl 2
− 12 EI
6 EIl
0
− 12 EI
6 EIl
− 6 EIl
2 EIl 2
0
0
12 EI
− 6 EIl


− 6 EIl 
2 EIl 2 

0 
− 6 EIl 

4 EIl 2 
0
b) pręt z przegubem na lewym końcu
 EAl 2

 0
1 0
~
Ke = 3 
l − EAl 2
 0

 0
3EI
0
0
0
0
0
0
0
EAl 2
− 3EI
3EIl
0
0
0
0


− 3EI
3EIl 
0
0 

0
0 
3EI
− 3EIl 

− 3EIl 3EIl 2 
0
0
236262500
0
0
1633593,75
0
3267187,5
-236262500
0
0
-1633593,75
0
3267187,5
0
3267188
8712500
0
-3267188
4356250
-236262500
0
0
236262500
0
0
0
-1633593,75
-3267187,5
0
1633593,75
-3267187,5
0
3267188
4356250
0
-3267188
8712500
dla pręta drugiego w układzie lokalnym i globalnym
~
K ( 2) = K ( 2) =
0 − EAl 2
dla pręta pierwszego w układzie lokalnym i globalnym
~
K (1) = K (1) =
0
189010000
0
0
-189010000
0
0
0
836400
2091000
0
-836400
2091000
0
2091000
6970000
0
-2091000
3485000
-189010000
0
0
189010000
0
0
0
-836400
-2091000
0
836400
-2091000
0
2091000
3485000
0
-2091000
6970000
0
0
-228916666,7
0
0
dla pręta trzeciego
W układzie lokalnym:
228916666,7
~
K ( 3) =
0
1949777,778 2924666,667
0
-1949777,778 2924666,667
0
2924666,667 5849333,333
0
-2924666,667 2924666,667
-228916666,7
0
0
228916666,7
0
0
0
-1949777,778 -2924666,667
0
1949777,778 -2924666,667
0
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
2924666,667 2924666,667
0
-2924666,667 5849333,333
24.10.2005r.
5
Dynamika ram – wersja komputerowa
Zgodnie z prawem transformacji mamy:
~
K (e ) = T T K (e )T
Macierz transformacji dla pręta 3 ma postać ( kąt α = 90° )
0
1
0
0
0
0
T=
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
Zatem macierz sztywności w układzie globalnym ma postać:
K ( 3) =
1949777,778
0
0
228916666,7
-2924666,667
0
-1949777,778
0
-2924666,667 -1949777,778
0
-2924666,667
-228916666,7
0
5849333,333 2924666,667
0
2924666,667
2924666,667 1949777,778
0
2924666,667
0
0
0
-228916666,7
0
0
228916666,7
0
-2924666,667
0
2924666,667 2924666,667
0
5849333,333
dla pręta czwartego
W układzie lokalnym:
~
K ( 4) =
137350000
0
0
-137350000
0
0
0
105288
0
0
-105288
526440
0
0
0
0
0
0
-137350000
0
0
-105288
0
0
137350000
0
0
105288
0
-526440
0
526440
0
0
-526440
2632200
0
0
0
0,6
-0,8
0
0
0
0
0
0
1
Zgodnie z prawem transformacji mamy:
~
K (e ) = T T K (e )T
Macierz transformacji dla pręta 4 ma postać ( kąt α = 143,130124° )
T=
-0,8
-0,6
0
0
0
0
0,6
-0,8
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-0,8
-0,6
0
Zatem macierz sztywności w układzie globalnym ma postać:
K ( 4) =
87941903,68 -65877461,76
0
-87941903,68 65877461,76
-315864
-65877461,76 49513384,32
0
65877461,76 -49513384,32
-421152
0
0
0
0
0
0
-87941903,68 65877461,76
0
87941903,68 -65877461,76
315864
65877461,76 -49513384,32
-315864
-421152
0
0
-65877461,76 49513384,32
315864
421152
421152
2632200
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
24.10.2005r.
6
Dynamika ram – wersja komputerowa
3. Utworzenie macierzy mas prętów.
Wzory ogólne mają postać:
a) pręt obustronnie utwierdzony
0
140
 0
156


22l
µl 0
~
Me =

0
420  70
 0
54

 0 − 13l
0
22l
4l 2
70
0
0
0
54
13l
0
13l
140
0
0
156
− 3l 2
0
− 22l
0 
− 13l 
− 3l 2 

0 
− 22l 

4l 2 
b) pręt z przegubem na lewym końcu
0
140
 0
99

0
µl  0
~
Me =

0
420  70
 0
58,5

 0 − 16,5l
~
M (1) = M (1) =
0
58,5
0
0 140
0 0
0
204
0
− 36l
0




0
0

− 36l 

8l 2 
0
− 16,5l
0
0
0
0
0
53,78285714 30,33904762
30,33904762 22,0647619
24,13333333
0
0
24,13333333
0
0
48,26666667
0
0
18,61714286 -17,92761905
17,92761905 -16,54857143
0
0
0
18,61714286 17,92761905
0
53,78285714 -30,33904762
0
-17,92761905 -16,54857143
0
-30,33904762
22,0647619
dla pręta drugiego w układzie lokalnym i globalnym
~
M ( 2) = M ( 2) =
70
0
0
dla pręta pierwszego w układzie lokalnym i globalnym
48,26666667
0
0
0
60,33333333
0
0
30,16666667
0
67,22857143
47,4047619
0
0
30,16666667
47,4047619
0
43,0952381
0
0
0
23,27142857 -28,01190476
0
28,01190476 -32,32142857
60,33333333
0
0
0
23,27142857 28,01190476
0
67,22857143
-47,4047619
0
-28,01190476 -32,32142857
0
-47,4047619
43,0952381
dla pręta trzeciego
W układzie lokalnym:
26,3
~
M ( 3) =
0
0
13,15
0
0
0
29,30571429 12,39857143
0
10,14428571 -7,326428571
0
12,39857143 6,762857143
0
7,326428571 -5,072142857
13,15
0
0
0
10,14428571 7,326428571
26,3
0
0
0
29,30571429 -12,39857143
0
-7,326428571 -5,072142857
0
-12,39857143 6,762857143
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
24.10.2005r.
7
Dynamika ram – wersja komputerowa
Zgodnie z prawem transformacji mamy:
~
M (e ) = T T M (e )T
Macierz transformacji dla pręta 3 ma postać ( kąt α = 90° )
0
1
0
0
0
0
T=
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
Zatem macierz mas w układzie globalnym ma postać:
M ( 3) =
29,30571429
0
0
26,3
-12,39857143 10,14428571
0
0
0
13,15
7,326428571
0
-12,39857143
0
6,762857143 -7,326428571
0
-5,072142857
10,14428571
0
-7,326428571 29,30571429
0
12,39857143
0
13,15
7,326428571
0
0
0
-5,072142857 12,39857143
26,3
0
0
6,762857143
0
0
dla pręta czwartego
W układzie lokalnym:
~
M ( 4) =
43,83333333
0
0
21,91666667
0
30,99642857
0
0
0
0
0
0
0
0
21,91666667
0
0
43,83333333
0
0
0
18,31607143
0
0
63,87142857 -56,35714286
0
-25,83035714
0
0
-56,35714286 62,61904762
18,31607143 -25,83035714
Zgodnie z prawem transformacji mamy:
~
M (e ) = T T M (e )T
Macierz transformacji dla pręta 4 ma postać ( kąt α = 143,130124° )
T=
-0,8
-0,6
0
0
0
0
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
0,6
-0,8
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-0,8
-0,6
0
0
0
0
0,6
-0,8
0
0
0
0
0
0
1
24.10.2005r.
8
Dynamika ram – wersja komputerowa
Zatem macierz mas w układzie globalnym ma postać:
M ( 4) =
39,21204762
-6,161714286
0
20,62045238
-1,728285714
15,49821429
-6,161714286
35,61771429
0
-1,728285714
19,61228571
20,66428571
0
0
0
0
0
0
20,62045238
-1,728285714
0
51,04704762
9,618285714
33,81428571
-1,728285714
19,61228571
0
9,618285714
56,65771429
45,08571429
15,49821429
20,66428571
0
33,81428571
45,08571429
62,61904762
4. Agregacja macierzy sztywności i macierzy mas.
Agregację macierzy sztywności i mas wykonujemy zgodnie z zamieszczoną poniŜej tabelą powiązań,
utworzoną na podstawie rysunku umieszczonego na początku projektu. W macierzy mas musimy
uwzględnić dodatkowo masę skupioną m (dodatkowa siła bezwładności po kierunkach przemieszczeń q4 i
q5).
Tabela powiązań ma postać:
nr pręta
1
2
3
4
1
1
4
8
4
numer lokalnego przemieszczenia
2
3
4
5
2
3
4
5
5
6
8
9
9
10
11
12
5
7
14
15
6
6
10
13
16
Agregację macierzy sztywności i mas zapiszemy za pomocą symboli:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
pręt 1
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
pręt 2
pręt 3
pręt 4
24.10.2005r.
9
Dynamika ram – wersja komputerowa
Po wykonaniu agregacji macierzy moŜemy uwzględnić warunki podparcia. Na podstawie rysunku
zamieszczonego na początku projektu mamy:
q1 = q 2 = q3 = q11 = q12 = q13 = q14 = q15 = q16
q7 ≠ 0
⇒
R7 = 0
a następnie wykreślić z macierzy mas i sztywności wiersze i kolumny odpowiadające powyŜszym
przemieszczeniom. Ostatecznie uzyskamy macierze o wymiarach 6 x 6:
Globalna macierz sztywności ma postać:
K=
513214403,7 -65877461,76
0
-189010000
0
0
-65877461,76 51983378,07
0
-1176187,5
-1176187,5
15682500
0
0
-836400
-2091000
2091000
3485000
-189010000
0
0
190959777,8
0
-2924666,667
0
-836400
-2091000
0
229753066,7
-2091000
0
2091000
3485000
-2924666,667
-2091000
12819333,33
0
30,16666667
0
0
Globalna macierz mas ma postać:
387,8120476 -6,161714286
-6,161714286 396,6291429 17,06571429
M =
0
17,06571429
65,16
0
23,27142857 -28,01190476
0
28,01190476 -32,32142857
30,16666667
0
0
89,63904762
0
-12,39857143
0
23,27142857 28,01190476
0
93,52857143 -47,4047619
0
-28,01190476 -32,32142857 -12,39857143 -47,4047619
49,85809524
5. Obliczenie wektorów i własności własnych.
Podstawiając powyŜsze macierze do równania
([ K ] − λ[ M ])[q0 ] = [0]
moŜemy wyznaczyć wartości
własne λ oraz wektory własne [q 0 ] . Po rozwiązaniu tego równania w programie UPW otrzymujemy
następujące wartości własne:
 rad 2 
 rad 
⇔
λ1 = 78236,5 2 
ω1 = 279,7079

 s 
 s 
 rad 2 
2 
 s 
 rad 2 
λ3 = 582220 2 
 s 
 rad 2 
λ4 = 712868 2 
 s 
 rad 2 
λ5 = 3285930 2 
 s 
λ2 = 140798
 rad 2 
2 
 s 
λ6 = 5479490
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
 rad 

 s 
⇔
ω2 = 375,2306 
⇔
ω3 = 763,0334
⇔
ω4 = 844,3151
 rad 

 s 
 rad 

 s 
 rad 

 s 
⇔
ω5 = 1812,713
⇔
ω6 = 2340,831
 rad 

 s 
24.10.2005r.
10
Dynamika ram – wersja komputerowa
oraz wektory własne:
q 01 =
q 04 =
-0,103704
-0,0705074
0,619031
-0,46423
-0,259127
-0,238487
-0,376313
-0,103033
q 02 =
0,578442
-0,0801504
q 03 =
-0,267053
0,933221
-0,0161143
0,0231852
0,00755818
0,457
-0,566469
-0,379062
-0,0745527
0,380226
0,0804448
-0,0314355
-0,0275597
-0,0223267
-0,943696
q 05 =
-0,155924
q 06 =
-0,186372
-0,0746644
-1
-0,363932
0,0730428
-1,04968
0,529345
0,157834
-1,0193
-1,24215
6. Postacie drgań własnych.
Do narysowania postaci drgań odpowiadających trzem pierwszym częstościom drgań posłuŜymy się
funkcjami kształtu. W zaleŜności od sposobu podparcia pręta opisujemy je odpowiednimi wzorami:
Pręt obustronnie utwierdzony
Pręt z przegubem lewym końcu
~
x
N1 ( ~
x) = 1−
l
~
x
N1 ( ~
x) = 1−
l
2
3
x
x
~
~
N 2 (~
x ) = 1 − 3  + 2 
l
l
2
~

x ~
x 
~
~
N 3 ( x ) = x 1 − 2 +   
l  l  

~
x
N 4 (~
x) =
l
2
3
x
x
~
~
N 5 (~
x ) = 3  − 2 
l
l
2
 ~
x ~
x 
~
~
N 6 ( x ) = x − +   
 l  l  
3
3~
x 1~
x
N 2 (~
x) = 1−
+  
2 l 2 l 
~
x
N 4 (~
x) =
l
3
3~
x 1~
x
N 5 (~
x) =
−  
2 l 2 l 
2
 1 1~
x 
~
~
N 6 ( x ) = x − +   
 2 2  l  
Do opisu przemieszczeń na długości pręta posłuŜą nam następujące funkcje przemieszczeń:
u~ ( ~
x ) = q~1 N 1 ( ~
x ) + q~4 N 4 ( ~
x)
~
~
~
~
~
v ( x ) = q 2 N 2 ( x ) + q3 N 3 ( ~
x ) + q~5 N 5 ( ~
x ) + q~6 N 6 ( ~
x)
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
24.10.2005r.
11
Dynamika ram – wersja komputerowa
Zapis macierzowy tych funkcji jest następujący:
U ( 2 x1) = N ( 2 x 6 ) ⋅ q~( 6 x1)
Gdzie:
u 
U (~
x , t) =   ,
v 
x)
0
0
N 4 (~
x)
0
0 
 N (~
N (~
x) =  1
N 2 (~
x ) N 3 (~
x)
0
N 5 (~
x ) N 6 (~
x )
 0
Wartości przemieszczeń obliczymy oprócz punktów węzłowych w 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 długości pręta.
Aby określić postacie drgań musimy przypisać składowe wektorów własnych [q0i] poszczególnym
prętom. PosłuŜymy się w tym celu tabelą powiązań. PoniewaŜ obliczone wartości składowych wektorów
[q0i] dotyczą globalnego układu współrzędnych, dla pręta 3 i 4 będziemy musieli dodatkowo wykonać
transformację do układu lokalnego (dla prętów 1 i 2 układ globalny pokrywa się z układem lokalnym)
według wzoru:
[q~0 ] = [T ] ⋅ [q0 ]
W miejsce niewiadomego kąta obrotu w przegubie (przemieszczenia q7), które pominęliśmy w
obliczeniach wykonując redukcję statyczną, moŜemy podstawić dowolną liczbę, gdyŜ dla pręta z
przegubem na lewym końcu nie ma funkcji kształtu N3.
Po podstawieniu danych, macierze funkcji kształtu dla poszczególnych prętów są następujące:
x)
0
0
N 4 (~
x)
0
0 
 N (~
N (~
x) =  1
~
~
~
N 2 (x ) N 3 (x )
0
N 5 ( x ) N 6 (~
x )
 0
PRĘT 1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
N (0,8) =
0,8
0
0
0,896
0
0,512
0,2
0
0
0,104
0
-0,128
N (1,6) =
0,6
0
0
0,648
0
0,576
0,4
0
0
0,352
0
-0,384
N (2,4) =
0,4
0
0
0,352
0
0,384
0,6
0
0
0,648
0
-0,576
N (3,2) =
0,2
0
0
0,104
0
0,128
0,8
0
0
0,896
0
-0,512
N (4,0) =
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
N (0) =
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
N (0) =
PRĘT 2
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
24.10.2005r.
12
Dynamika ram – wersja komputerowa
N (1,0) =
0,8
0
0
0,896
0
0,64
0,2
0
0
0,104
0
-0,16
N (2,0) =
0,6
0
0
0,648
0
0,72
0,4
0
0
0,352
0
-0,48
N (3,0) =
0,4
0
0
0,352
0
0,48
0,6
0
0
0,648
0
-0,72
N (4,0) =
0,2
0
0
0,104
0
0,16
0,8
0
0
0,896
0
-0,64
N (5,0) =
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
N (0) =
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
N (0,6) =
0,8
0
0
0,896
0
0,384
0,2
0
0
0,104
0
-0,096
N (1,2) =
0,6
0
0
0,648
0
0,432
0,4
0
0
0,352
0
-0,288
N (1,8) =
0,4
0
0
0,352
0
0,288
0,6
0
0
0,648
0
-0,432
N (2,4) =
0,2
0
0
0,104
0
0,096
0,8
0
0
0,896
0
-0,384
N (3,0) =
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
N (0) =
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
N (1,0) =
0,8
0
0
0,704
0
0
0,2
0
0
0,296
0
-0,48
N (2,0) =
0,6
0
0
0,432
0
0
0,4
0
0
0,568
0
-0,84
N (3,0) =
0,4
0
0
0,208
0
0
0,6
0
0
0,792
0
-0,96
N (4,0) =
0,2
0
0
0,056
0
0
0,8
0
0
0,944
0
-0,72
N (5,0) =
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
PRĘT 3
PRĘT 4
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
24.10.2005r.
13
Dynamika ram – wersja komputerowa
PIERWSZA POSTAĆ DRGAŃ
 rad 

 s 
ω1 = 279,7079
Po transformacji do układów lokalnych otrzymano następujące wartości przemieszczeń węzłowych:
Pręt 1
Pręt 2
Pręt 4
0
-0,1037
-0,01611
-0,19557
0
-0,46423
0,103033
0,433606
0
q~1 =
Pręt 3
q~2 =
-0,103704
-0,37631
q~3 =
0,457
q~4 =
1
-0,10303
0
0
-0,46423
-0,01611
0
0
-0,376313
0,457
0
0
Przemieszczenia w lokalnym układzie współrzędnych dla wybranych punktów są następujące:
u 
U (~
x , t) =  
v 
Pręt 1
Pręt 2
Pręt 3
Pręt 4
0,0
0,0
U (0) =
-0,103704
-0,464230
U (0) =
-0,016114
0,103033
U (0) =
-0,195575
0,433606
U (0,8) =
-0,020741
-0,000112
U (1,0) =
-0,103570
-0,731586
U (0,6) =
-0,012891
0,267806
U (1,0) =
-0,156460
0,305259
U (1,6) =
-0,041482
-0,018905
U (2,0) =
-0,103436
-0,796799
U (1,2) =
-0,009669
0,264189
U (2,0) =
-0,117345
0,187318
U ( 2,4) =
-0,062222
-0,084065
U (3,0) =
-0,103301
-0,683521
U (1,8) =
-0,006446
0,167884
U (3,0) =
-0,078230
0,090190
U (3,2) =
-0,082963
-0,223278
U (4,0) =
-0,103167
-0,415408
U (2,4) =
-0,003223
0,054587
U (4,0) =
-0,039115
0,024282
U ( 4,0) =
-0,103704
-0,464230
U (5,0) =
-0,103033
-0,016114
U (3,0) =
0,0
0,0
U (5,0) =
0,0
0,0
U (0) =
Po naniesieniu przemieszczeń otrzymujemy pierwszą postać drgań własnych.
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
24.10.2005r.
14
I postać drgań
ω1 =279,71
rad
s
Dynamika ram – wersja komputerowa
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
24.10.2005r.
15
Dynamika ram – wersja komputerowa
DRUGA POSTAĆ DRGAŃ
 rad 

 s 
ω 2 = 375,2306
Po transformacji do układów lokalnych otrzymano następujące wartości przemieszczeń węzłowych:
Pręt 1
q~1 =
Pręt 2
Pręt 3
Pręt 4
0
-0,0705074
0,0231852
-0,09907028
0
-0,259127
0,0801504
0,24960604
0
-0,0705074
q~2 =
-0,259127
0,578442
0,578442
-0,0801504
q~3 =
0,0231852
-0,566469
-0,566469
0
q~4 =
0
0
1
0
0
0
Przemieszczenia w lokalnym układzie współrzędnych dla wybranych punktów są następujące:
u 
U (~
x , t) =  
v 
Pręt 1
Pręt 2
Pręt 3
Pręt 4
0,0
0,0
U (0) =
-0,070507
-0,259127
U (0) =
0,023185
0,080150
U ( 0) =
-0,099070
0,249606
U (0,8) =
-0,014101
-0,100990
U (1,0) =
-0,072436
0,231071
U (0,6) =
0,018548
-0,145709
U (1,0) =
-0,079256
0,175723
U (1,6) =
-0,028203
-0,313334
U (2,0) =
-0,074365
0,528630
U (1,2) =
0,013911
-0,192777
U (2,0) =
-0,059442
0,107830
U ( 2,4) =
-0,042304
-0,501097
U (3,0) =
-0,076293
0,609321
U (1,8) =
0,009274
-0,134930
U (3,0) =
-0,039628
0,051918
U (3,2) =
-0,056406
-0,528340
U (4,0) =
-0,078222
0,448916
U (2,4) =
0,004637
-0,046045
U (4,0) =
-0,019814
0,013978
U ( 4,0) =
-0,070507
-0,259127
U (5,0) =
-0,080150
0,023185
U (3,0) =
0,0
0,0
U (5,0) =
0,0
0,0
U (0) =
Po naniesieniu przemieszczeń otrzymujemy drugą postać drgań własnych.
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
24.10.2005r.
16
II postać drgań
ωω2 ==375,23
375,23 rad/s
rad
2
s
Dynamika ram – wersja komputerowa
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
24.10.2005r.
17
Dynamika ram – wersja komputerowa
TRZECIA POSTAĆ DRGAŃ
 rad 

 s 
ω 3 = 763,0334
Po transformacji do układów lokalnych otrzymano następujące wartości przemieszczeń węzłowych:
Pręt 1
q~1 =
Pręt 2
Pręt 3
Pręt 4
0
0,619031
0,00755818
-0,638317
0
-0,238487
-0,933221
-0,180629
0
0,619031
q~2 =
-0,238487
-0,267053
-0,267053
0,933221
q~3 =
0,00755818
-0,379062
-0,379062
0
q~4 =
0
0
1
0
0
0
Przemieszczenia w lokalnym układzie współrzędnych dla wybranych punktów są następujące:
u 
U (~
x , t) =  
v 
Pręt 1
Pręt 2
Pręt 3
Pręt 4
0,0
0,0
U (0) =
0,619031
-0,238487
U ( 0) =
0,007558
-0,933221
U (0) =
-0,638317
-0,180629
U (0,8) =
0,123806
0,009380
U (1,0) =
0,681869
-0,323162
U (0,6) =
0,006047
-0,981726
U (1,0) =
-0,510654
-0,127163
U (1,6) =
0,2476124
0,0186009
U (2,0) =
0,744707
-0,162208
U (1,2) =
0,004535
-0,768482
U ( 2,0) =
-0,382990
-0,078032
U ( 2,4) =
0,371418
-0,000717
U (3,0) =
0,807545
0,065689
U (1,8) =
0,003023
-0,437664
U (3,0) =
-0,255327
-0,037571
U (3,2) =
0,495224
-0,076953
U (4,0) =
0,870383
0,181841
U (2,4) =
0,001512
-0,133445
U ( 4,0) =
-0,127663
-0,010115
U ( 4,0) =
0,619031
-0,238487
U (5,0) =
0,933221
0,007558
U (3,0) =
0,0
0,0
U (5,0) =
0,0
0,0
U (0) =
Po naniesieniu przemieszczeń otrzymujemy trzecią postać drgań własnych.
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
24.10.2005r.
18
III postać drgań
ω3=763,03
rad
s
Dynamika ram – wersja komputerowa
Dominik Kretschmer, gr.2KBI
24.10.2005r.