(1)stały_poizom_błędy_solver

Strona |1
Prognozowanie i symulacje
Prognozowanie na podstawie modeli szeregów czasowych
Baza danych statystycznych z wartościami zmiennej prognozowanej Y jest szeregiem
czasowym w postaci:
t
Y
1
Y1
2
Y2
...
...
n
Yn
gdzie t jest numerem okresu lub momentu czasowego.
Prognozy na okresy lub momenty T > n wyznacza się posługując się modelem w postaci
Yt = f(t, ε t).
gdzie:
- f jest postacią modelu,
- ε jest składnikiem losowym ( wahaniami przypadkowymi).
Jeżeli spełnione są podstawowe założenia prognostyczne to znaczy:
1. Znana jest postać modelu f, który ma założone własności ,
2. Tendencja rozwojowa występująca w przeszłości będzie taka sama w prognozowanej
przyszłości,
to można wyznaczyć prognozę zmiennej objaśnianej Y w okresie T > n według wzoru
Y*T= f(T).
Ćwiczenie 1. Prognozowanie szeregów czasowych ze stałym średnim poziomem zmiennej
prognozowanej
Jeśli wartości zmiennej prognozowanej Y oscylują wokół pewnej wartości (zwanej
stałym średnim poziomem) to zmienne prognozowana Y ma stały średni poziom z wahaniami
przypadkowymi.
Wykres takiej zmiennej Y ma postać :
Strona |2
Do prognozowania zmiennych o stałym średnim poziomie z wahaniami przypadkowymi
używa się następujących metod:
- metoda naiwna typu stały średni poziom (model Browna).
- metoda średniej ruchomej k – elementowej,
- metoda średniej ruchomej ważonej k – elementowej,
- metoda wygładzania wykładniczego ( model adaptacyjny).
Prognozowanie za pomocą metody naiwnej typu stały średni poziom
Metoda ta jest używana jeśli zmienna prognozowana Y nie wykazuje zbyt dużych
wahań przypadkowych. Model prognostyczny ma postać:
Yt* = Yt −1 t = 2, …n+1
(1)
Za pomocą powyższego modelu można wyznaczyć prognozę na jeden okres T = n+1.
Trafność doboru modelu ocenia się za pomocą wybranego błędu ex post prognoz wygasłych.
Przykład 1.Tygodniowa sprzedaż kostek masła w hurtowni NABIAŁEK kształtowała
się następująco:
Strona |3
Wyznaczyć prognozę sprzedaży na tydzień 13 i ocenić dobór modelu za pomocą błędu
RMSE.
Dla oceny postaci tendencji rozwojowej wykonamy wykres wartości zmiennej
prognozowanej Y.
W tym celu zaznaczamy kolumnę z wartościami Y i wybieramy wykres liniowy.
Otrzymujemy wykres w postaci:
Na podstawie analizy wzrokowej wykresu możemy stwierdzić,że zmienna prognozowana Y
- nie wykazuje wahań okresowych,
- nie wykazuje trendu (rosnącego ani malejącego).
Stąd wynika,ż e zmienna Y ma stały średni poziom z wahaniami przypadkowymi.
Wyznaczmy teraz średnia sprzedaż masła w badanym szeregu czasowym.
Funkcja ŚREDNIA znajduje się w funkcjach statystycznych
Strona |4
Wybieramy funkcję ŚREDNIA i akceptujemy wybór OK. Otrzymujemy tabelę
Argumenty funkcji
W okienku Liczba1 wpisujemy adresy komórek z wartościami zmiennej Y ( w naszym
przykładzie to B3:B13 i akceptujemy OK. Wynikiem jest wartość średniej arytmetycznej z
wartości Y.
Możemy wiec stwierdzić, że średnia sprzedaż masła to 1,03 setek kostek w ciągu tygodnia.
Zadamy teraz zmienność zmiennej prognozowanej Y. Uzyjemy w tym celu współczynnika
zmienności ze wzoru
S
VY = Y
Y
gdzie:
SY to odchylenie standardowe zmiennej Y od średniej,
Y to wartość średnia zmiennej Y.
W tym celu wyznaczymy odchylenie standardowe zmiennej Y za pomocą funkcji statystycznej
ODCH.STANDARD.POPUL.
Strona |5
Po wyborze funkcji ODCH.STANDARD.POPUL. akceptujemy wybór OK.
Otrzymujemy tabelę Argumenty funkcji
gdzie w okienku Liczba1 wpisujemy adresy komórek, w których znajdują się wartości
zmiennej Y (w naszym przykładzie B2:B14). Wybór akceptujemy OK. Możemy teraz
wyznaczyć współczynnik zmienności.
Strona |6
Wynik naszych działań zamieszczono poniżej
Możemy więc stwierdzić, że odchylenie standardowe stanowi około 3% wartości
średniej Y.
Zatem zmienna Y wykazuje niewielką zmienność i do prognozowania możemy użyć modelu
Browna ( metody naiwnej typu stały średni poziom).
Prognoza na 13. tydzień to
Y13* = Y12 = 1,02 setek kostek masła.
Trafność doboru modelu ocenimy za pomocą błędu
Strona |7
RSME =
∑ (Y
t∈M
t
− YT* ) 2
card M
gdzie :
M to zbiór numerów okresów dla których wyznacza się prognozy wygasłe,
card M to liczba elementów zbioru M.
W następnym kroku wyznaczymy więc prognozy wygasłe według wzoru (1).
Mamy Y2 = Y1 ( prognoza wygasła na drugi tydzień).
A następnie przekopiujemy wzór aż do komórki C13. Wynikiem naszych działań jest
Obliczymy teraz kwadraty różnic (Yt-Y*t)2
Strona |8
A następnie obliczymy ich sumę.
Ponieważ zbiór M = { 2,3,…, 12} zawiera 11 elementów błąd RMSE będzie miał postać:
Strona |9
Błąd RMSE = 0,05 setek kostek masła. Oznacza to, że prognozy wygasłe dla tygodni o
numerach od 2 do 12 wyznaczone za pomocą modelu Browna , średnio różnią się od
rzeczywistych sprzedaży w tych tygodniach o 5 kostek masła.
Dla oceny wielkości tego błędu wyznaczymy wskaźnik :
RMSE
WRMSE =
%.
Y pw
Gdzie Y pw to średnia wartości zmiennej prognozowanej Y z okresów dla, których
wyznaczone zostały prognozy wygasłe ( w naszym przykładzie to komórki B3:B13)
S t r o n a | 10
RMSE
0,05
%=
% = 5,16%.
Y
1,03
Stąd wynika, że błąd RMSE stanowi około 5% średniej tygodniowej sprzedaży masła .
Błąd ten jest niewielki a więc stwierdzamy, że prognozy wygasłe były trafne zatem model
może zostać użyty do prognozowania.
Mamy WRMSE =
Odpowiedź. Prognoza na 13. tydzień wyznaczona metodą naiwną typu stały średni poziom to
102 kostki masła.
Prognozowanie za pomocą metody średniej ruchomej k – elementowej
W hurtowni CIEPŁA NÓŻKA w kolejnych 14. Miesiącach badano sprzedaż skarpet
w tys. par. Dane zamieszczono poniższej tablicy.
S t r o n a | 11
Za pomocą metody średniej ruchomej trzy elementowej postawić prognozę sprzedaży na
miesiąc 15. Trafność doboru modelu ocenić za pomocą błędu MAE.
Na podstawie analizy wzrokowej wykresu możemy stwierdzić, że zmienna prognozowana Y
- nie wykazuje wahań okresowych,
- nie wykazuje trendu (rosnącego ani malejącego).
Stąd wynika,ż e zmienna Y ma stały średni poziom z wahaniami przypadkowymi.
W badanym szeregu czasowym średnia miesięczna sprzedaż skarpet to 39,714 tys. par.
Prognozy metodą średniej ruchomej k – elementowej wyznaczamy ze wzoru:
Yt =
*
t −1
Yi
∑k
t = k+1, k+2, …,n+1.
i =t − k
Metodą średniej ruchomej można wyznaczyć jedynie prognozę na jeden okres T = n+1.
Prognoza wyznaczona metoda sredniej ruchomej trzyelementowej na 15. miesiąc to
Y15* =
Y12 + Y13 + Y14 39 + 40 + 38
=
= 39 tys. par skarpet .
3
3
Do oceny modelu prognostycznego zaproponowano błąd
MAE =
∑Y
t∈M
t
− Yt *
cardM
(2)
Aby wyznaczyć wielkość błędu MAE wyznaczymy prognozy wygasłe Yt* dla t = 4, 5, …,14,
S t r o n a | 12
różnice pomiędzy wartościami Yt a prognozami wygasłymi Y t *,
a następnie ich wartości bezwzględne. Wartość bezwzględną z liczby wyznaczamy za
pomocą funkcji matematycznej MODUŁ.LICZBY.
S t r o n a | 13
Po wybraniu funkcji MODUŁ.LICZBY w tabelce argumentów funkcji wpisujemy liczbę,
której wartość bezwzględną obliczamy( w naszym przykładzie D5).
S t r o n a | 14
Wynikiem będzie tabela w postaci:
Wyznaczymy teraz błąd MAE na podstawie wzoru (2), gdzie M = {4,5,…14}natomiast
card M = 11.
Błąd MAE = 1,36 tys. par skarpet.
S t r o n a | 15
Oznacza to, że prognozy wygasłe wyznaczone dla miesięcy o numerach od 4 do 14 średnio
różnią się od rzeczywistej sprzedaży skarpet o 1,36 tys. par skarpet. Dla oceny wielkości
błędu MAE w stosunku do rzeczywistych wartości sprzedaży wyznaczymy wskaźnik
MAE
%.
WMAE =
Y pw
1,36
% = 3,42. wynika stąd, że Stąd wynika, że błąd MAE stanowi około
39,82
3,4% średniej miesięcznej sprzedaży skarpet.
Błąd ten jest niewielki a więc stwierdzamy, że prognozy wygasłe były trafne zatem model
może zostać użyty do prognozowania.
Odpowiedź. Prognoza sprzedaży na 15. miesiąc to 39 tysięcy par skarpet.
Mamy WMAE =
Zadanie do wykonania. Postawić prognozę na 15. miesiąc sprzedaży skarpet metodą
średniej ruchomej czteroelementowej i ocenić trafność wyboru modelu prognostycznego
za pomocą błędu MAE. Podejmij decyzję, który z modeli wybrać do prognozowania?
S t r o n a | 16
Prognozowanie za pomocą metody średniej ruchomej ważonej k – elementowej
Przykład 3. W kolejnych kwartałach kolejnych lat wielkość produkcji rur stalowych w
zakładzie NASZA RURKA kształtowała się następująco.
Wyznaczyć prognozę wielkości produkcji na kolejne 15. półrocze metoda średniej ważonej
czteroelementowej. Trafność doboru modelu ocenić za pomocą błędu RMSE.
Na podstawie analizy wzrokowej wykresu możemy stwierdzić, że zmienna prognozowana Y
- nie wykazuje wahań okresowych,
- nie wykazuje trendu (rosnącego ani malejącego).
Stąd wynika,ż e zmienna Y ma stały średni poziom z wahaniami przypadkowymi.
Prognozy metodą średniej ruchomej ważonej k – elementowej wyznaczamy ze wzoru:
S t r o n a | 17
Yt* =
t −1
∑Y w
i =t − k
i
i −t + k +1
t = k+1, k+2, …, n.
(3)
Wartości w j ( j = 1, 2 ,… k) nazywamy wagami. Wagi poszczególnym wartościom nadaje
k
prognosta zakładając, że
∑
j =1
w j = 1, w j > 0 .
Najczęściej wagi nadawane są w taki sposób, aby obserwacje najwcześniejsze miały wagi
niewielkie, natomiast obserwacje najpóźniejsze wagi największe.
Metodą średniej ruchomej ważonej można wyznaczyć jedynie prognozę na jeden okres
T = n+1.
Przed przystąpieniem do wyznaczenia prognozy przyjmiemy następujące wagi:
w1 = 0,1 ,
w2 = 0,2
w3 = 0,3
w4 = 0,4.
Prognoza wyznaczona metodą średniej ruchomej ważonej czteroelementowej na 15. półrocze
to
Y15* = w1Y11 + w2Y12 + w3Y13 + w4Y14 = 0,1 ⋅ 21 + 0,2 ⋅ 22 + 0,3 ⋅ 23 + 0,4 ⋅ 22 = 22,2
tys. ton rur.
Do oceny modelu prognostycznego zaproponowano błąd RMS. Aby go wyznaczyć
wyznaczymy prognozy wygasłe Yt* dla t = 5, 6, …, 14.
Następnie obliczymy błąd RMSE.
S t r o n a | 18
Błąd RMSE jest równy 1,289 tys. ton rur. Oznacza to, że prognozy wygasłe wyznaczone dla
kwartałów od 5 do 14 metodą średniej ruchomej ważonej czteroelementowej średnio różnią
się od rzeczywistych wielkości produkcji w tych kwartałach o 1,289 tys. ton. Do oceny
wielkości błędu RMSE wyznaczymy współczynnik WRMSE .
WRMSE = 5,70%.
S t r o n a | 19
Oznacza to, że błąd RMSE stanowi 5,70% średniej wielkości produkcji . Jest to błąd niewielki
a więc prognozy wygasłe były trafne i model średniej ruchomej ważonej czteroelementowej
może zostać użyty do prognozowania.
Odpowiedź. Prognoza wielkości produkcji na 15. kwartał to 22,2 tys. ton rur.
Zadanie do wykonania. Postawić prognozę wielkości produkcji rur na 15. miesiąc
metodą średniej ruchomej ważonej trzyelementowej i ocenić trafność wyboru modelu
prognostycznego za pomocą błędu MAE. Podejmij decyzję, który z modeli wybrać do
prognozowania?
Prognozowanie za pomocą metody wygładzanie (wyrównywania) wykładniczego
Przykład 3. W supermarkecie NOWY SPRZĘCIK miesięczna sprzedaż zestawów
multimedialnych ALE KINO kształtowała się następująco:
Metodą wygładzania wykładniczego wyznaczyć prognozę na 16. miesiąc. Model ocenić za
pomocą średniego względnego, absolutnego, procentowego błędu ex post prognoz
wygasłych MAPE.
Na wykresie przedstawiono wielkości sprzedaży Y.
S t r o n a | 20
Na podstawie analizy wzrokowej wykresu możemy stwierdzić, że zmienna prognozowana Y
- nie wykazuje wahań okresowych,
- nie wykazuje trendu (rosnącego ani malejącego).
Stąd wynika,ż e zmienna Y ma stały średni poziom z wahaniami przypadkowymi.
Prognozę Y16* wyznaczymy za pomocą metody wygładzania wykładniczego. Prognozę
wyznaczamy ze wzoru:
Yt* = α ⋅ Yt −1 + (1 − α ) ⋅ Yt*−1 dla t = 2, 3, …, n+1
(4)
(gdzie α ∈ (0,1] to parametr wygładzania)tylko na jeden okres T = n + 1.
Aby wyznaczyć prognozy wygasłe Y2* , Y3* ,..., Y15* oraz prognozę Y16* należy na początku
zadać dowolną wartość parametru α ∈ (0,1] oraz pierwszą prognozę wygasłą Y1* . Przyjmiemy
α = 0,5 oraz Y1* = Y1 = 110 sztuk, a następnie ze wzoru (4) wyznaczymy prognozy wygasłe
Y2* , Y3* ,..., Y15* .
S t r o n a | 21
Wynikiem naszych działań będą prognozy wygasłe
Model ocenimy za pomocą błędu
MAPE =
Yt − Yt*
∑ Y
t∈M
t
card M
%
Za pomocą modelu (4) wyznaczono prognozy wygasłe Y2* , Y3* ,..., Y15* , a więc zbiór
M = {2, 3, …15} oraz card M = 14. Wyznaczymy teraz wartości
Yt − Yt *
.
Yt
S t r o n a | 22
A następnie błąd MAPE.
Mamy wartość MAPE = 1,08%. Oznacza to, że bezwzględne różnice pomiędzy
wartościami rzeczywistymi a ich prognozami wygasłymi ( błędy prognoz) stanowią średnio
1,08% wartości zmiennej prognozowanej Y.
Parametr α najczęściej wybieramy w taki sposób aby błąd prognoz wygasłych był
minimalny. Do znalezienia minimum funkcji
∑
t∈M
Yt − Yt*
Yt
% przy warunku α ∈ (0,1]
card M
użyte zostanie Narzędzie Solver ( w wersji Excel 2007 narzędzie Solver znajduje się w
Danych). Po wywołaniu narzędzia Solver ukaże się okno Solver - Parametry w postaci:
MAPE =
S t r o n a | 23
Kolejno wpisujemy w okienko:
Komórka celu: adres komórki w której znajduje się błąd (w naszym przykładzie E17),
W linijce Równa: zaznaczamy Min,
Komórki zmieniane: adres komórek które zmieniamy ( w naszym przykładzie adres
parametru α , czyli B18).
Następnie wprowadzamy warunki ograniczające
α ≤ 1,
α ≥ 0.
wybierając Dodaj pojawi się wtedy okno Dodaj warunek ograniczający.
Wprowadzamy w okienko
Adres komórki adres komórki α ( w naszym przykładzie B18),
Wybieramy znak nierówności,
W okienko Warunek ograniczający wartość prawej strony ograniczenia ( w naszym
przykładzie 1). Wynikiem naszych działań będzie
Następnie wprowadzamy w analogiczny sposób drugie ograniczenie wybierając najpierw
Dodaj. Otrzymamy w ten sposób okno w postaci
S t r o n a | 24
Akceptujemy wprowadzone warunki przyciskiem OK. i otrzymujemy okno w postaci
Jeżeli prawidłowo wypełniliśmy okno Solver – Parametry wybieramy opcję Rozwiąż.
Wynikiem będzie okno Solver – Wyniki w postaci
Akceptujemy znalezione rozwiązanie przyciskiem OK. Minimalny błąd MAPE jest równy
1,059% dla parametru α = 0,180367. Ponieważ prognozy wygasłe obciążone są niewielkim
błędem możemy uznać je za trafne i za pomocą modelu (4) postawić prognozę sprzedaży na
16. miesiąc ( czerwiec).
S t r o n a | 25
Y16* = α ⋅ Y15 + (1 − α ) ⋅ Y15* = 0,180367 ⋅ 112 + (1 − 0,180367) ⋅ 111,152 = 111,305 sztuk.
Odpowiedź. Prognoza sprzedaży zestawów multimedialnych ALE KINO w czerwcu
to 111 sztuk.
Zadanie do wykonania. Postawić prognozę wielkości sprzedaży zestawów
multimedialnych ALE KINO na 16. miesiąc wybraną metodą ( prostą lub średniej
ruchomej) ocenić trafność wyboru modelu prognostycznego za pomocą błędu MAPE.
Podejmij decyzję, który z modeli wybrać do prognozowania?