Matematyczna

III
Chorzowska
Olimpiada
Matematyczna
W wielu miejscowościach organizowane są lokalne, szkolne lub
międzyszkolne zawody matematyczne. Niektóre z nich zyskały
już stałe miejsce w kalendarium imprez. Jedną z poważniejszych
jest Chorzowska Olimpiada Matematyczna, o której pisaliśmy
w „Matematyce” nr 3/2003 – były tam zadania z II Ch O M wraz
z rozwiązaniami.
Teraz proponujemy zmierzyć się z zadaniami z III edycji Chorzowskiej
Olimpiady Matematycznej.
n
ANNA I DARIUSZ KUZIOROWIE
Kontynuując podjętą z okazji Światowego Roku Matematyki inicjatywę, I Liceum
Ogólnokształcące im. Juliusza Słowackiego w Chorzowie organizuje zawody matematyczne dla młodzieży szkół średnich naszego miasta.
Konkurs od początku organizowany jestw niezmienionej formule w październiku
lub listopadzie. Zawody są dwuczęściowe. W części pierwszej uczniowie rozwiązują
w ciądu 2 godzin 7 zadań otwartych, część druga jest testem wielokrotnego wyboru
z ujemnymi punktami za błedne odpowiedzi.
Chorzowskie zawody są więc najczęściej pierwszą okazją do sprawdzenia się młodych adeptów królowej nauk w danym roku szkolnym. Zawody stały się doskonałą
okazją do wyłaniania prawdziwych matematycznych talentów. Mamy też nadzieję, że
tak jak dotychczas zwycięzcy chorzowskiego konkursu będą finalistami ogólnopolskiej Olimpiady Matematycznej.
1/2004
I
III CHORZOWSKA OLIMPIADA MATEMATYCZNA CZĘŚĆ I (120 minut)
1. Rozwiąż równanie ||x - x2 - 1| -|x2 + x + 1|| = 2002.
2. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich zachodzi nierówność
a
+ cb + d Ì ab + cd
i rozstrzygnij, kiedy zachodzi równość.
3. Rozważmy podzbiór zbioru liczb naturalnych dodatnich taki, że
(i) należą do niego co najmniej 2002 (różne) liczby; i
(ii) jeśli dwie różne liczby należą do tego zbioru, to należy do niego również wartość
bezwzględna ich różnicy.
Udowodnij, że do tego zbioru należy liczba podzielna przez 2002.
4. Na przyprostokątnych BC i CA trójkąta prostokątnego ABC zbudowano na zewnątrz kwadraty CBED i CAFG. Prosta AE przecina bok BC w punkcie P, a prosta
BF bok CA w punkcie Q. Wykaż, że odcinki CP i CQ mają równą długość.
5. W pewnym turnieju wzięły udział 2002 drużyny i każda rozegrała z każdą jeden
mecz. Każdy mecz kończył się wygraną jednej z drużyn. Żadna z drużyn nie wygrała
wszystkich meczów. Udowodnij, że istnieją trzy drużyny A, B, C takie, że A wygrała
z B, B wygrała z C i C wygrała z A.
6. Wyznacz wszystkie wielomiany W jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych takie, że W(W(x)) = x, dla dowolnej liczby rzeczywistej x.
7. Czy istnieje funkcja f określona na zbiorze liczb rzeczywistych i rosnąca w tym zbiorze
taka, że funkcja g x = 2002 jest
f x
a) rosnąca w zbiorze liczb rzeczywistych;
b) malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych?
II
matematyka
III CHORZOWSKA OLIMPIADA MATEMATYCZNA CZĘŚĆ II – test (45 minut)
1. Prawdziwe są zdania:
a) 2002 ma dokładnie cztery dzielniki naturalne;
b) n2 + n + 11 jest liczbą pierwszą dla dowolnej liczby naturalnej n;
c) Liczby n, n + 1 (n Î N) nie mają wspólnego dzielnika naturalnego większego od 1.
2. Niech A = {(x, y) Î R ´ R : |x|+|y|= 2002}. Wtedy:
a) zbiór A ma cztery osie symetrii;
b) do zbioru A należy dokładnie 8008 punktów o (obu) współrzędnych całkowitych;
c) zbiór A jest kwadratem.
3. Na każdym boku kwadratu wybieramy po jednym punkcie tak, aby stanowiły one
wierzchołki pewnego rombu. Wówczas:
a) środek symetrii takiego rombu musi się pokrywać ze środkiem symetrii kwadratu;
b) każdy taki romb jest kwadratem;
c) pole takiego rombu może być 2002 razy mniejsze od pola kwadratu.
4. Przyjmijmy, że prawdziwe są zdania: „Warunkiem wystarczającym na to, by być
Gufiańczykiem jest posiadanie małego mózgu. Z drugiej strony długie uszy są warunkiem koniecznym zaliczenia się do Gufiańczyków”. Wtedy wiemy na pewno, że:
a) każdy Gufiańczyk ma mały mózg;
b) każdy Gufiańczyk ma długie uszy;
c) mając długie uszy jest się Gufiańczykiem.
5. Zbiorem (wszystkich) rozwiązań równania
a) {0};
b) (-¥; 0);
x 2 = - x jest
c) Æ.
6. Długości a, b, c boków trójkąta prostokątnego spełniają warunek a < b < c. Wtedy:
a) a + b > c;
b) a4 + b4 = c4;
c) a4 + b4 < c4.
7. Niech Sn oznacza sumę n (n Î N+)
początkowych wyrazów ciągu
i S2001 = 2002, S2002 = 2001. Wówczas:
a) można obliczyć 2002 wyraz ciągu;
b) można obliczyć 2001 wyraz ciągu;
c) ciąg ten może być rosnący.
1/2004
q
ANNA I DARIUSZ KUZIOROWIE
Anna Kuzior
uczy w Gimnazjum nr 10 im. J. Kochanowskiego w Chorzowie.
Dariusz Kuzior
uczy w I LO im. J. Słowackiego w Chorzowie.
III