Z04_parciezakrz - Uniwersytet Rolniczy w Krakowie

Parcie na powierzchnie zakrzywioną
Reakcję pomiędzy cieczą a ściankami naczynia w którym ciecz się znajduje nazywana jest
parciem. Parcie jest to siła [N]. Znajomość wartości parcia jest nieodzownym elementem
budownictwa wodnego, budownictwa ziemnego, budowy statków, ...
Metoda obliczania wartości parcia na powierzchnie płaskie różnie się od metody obliczania
parcia na powierzchnie zakrzywione dlatego pomimo wspólnych podstaw fizycznych muszą być
omawiane oddzielnie.
Parcie na powierzchnie zakrzywione rozkładamy na dwie składowe: poziomą, którą oznaczamy Px
oraz pionową Py. Żeby to było możliwe ściankę zakrzywioną rzutujemy na płaszczyznę prostopadłą
do zwierciadła wody. W wyniku tej operacji otrzymujemy płaski obraz ścianki, na którą obliczamy
parcie.
1. Wprowadzenie
Przykładowy rozkład sił parcia na składowe
Px i Py działającego na ściankę zakrzywioną
przestawiono na rys. 1.
Wartość wypadkowego parcia P na
powierzchnie zakrzywione obliczamy ze
wzoru:
P = Px2 + Py2
(1)
gdzie: Px – składowa pozioma parcia [N],
Py – pionowa składowa parcia [N],
Rys. 1. Schemat działania składowych siły parcia
Sposób obliczania poszczególnych składowych parcia przedstawia się następująco;
Składowa pozioma Px – ściankę zakrzywioną
rzutujemy na płaszczyznę pionową –
prostopadłą do zwierciadła wody. W wyniku
tej operacji otrzymujemy płaski obraz ścianki
(Rys. 2).
Zarówno wzory na obliczenie składowej
poziomej Px jak i sama procedura obliczania
Rys. 2. Rzut ścianki na płaszczyznę pionową - redukcja
są takie jak w przypadku obliczania parcia na
ścianki zakrzywionej do ścianki płaskiej
ścianki płaskie Px=γFh. Wykorzystanie tego
wzoru nie wymaga rysowania wykresu parcia.
W przypadku gdy kształt ścianki, na którą obliczamy parcie jest kwadratem lub prostokątem
możemy zastosować wzór Px=γAb. We wzorze tym A jest powierzchnią wykresu parcia dlatego
procedurę rozpoczynamy od wykonania wykresu parcia.
Składowa pionowa Py - wzór z którego liczymy wartość składowej pionowej ma postać:
Py = γ Vb
(2)
gdzie: Vb – bryła parcia; określana indywidualnie dla każdego przypadku. Bryła parcia ograniczona
jest płaszczyznami; od dołu – ścianką, od góry – zwierciadłem wody a boki są to
płaszczyzny łączące górę i dół bryły parcia i nazywane płaszczyznami tworzącymi.
Kierunek działania wypadkowej parcia – kąt pod jakim wypadkowe parcie nachylone jest do
poziomu
Py
tgα =
⇒ α = arc tgα
(3)
Px
Punkt przyłożenia wypadkowej parcia punkt, przez który przechodzi kierunek
działania wypadkowej parcia P znajduje się
na
przecięciu
kierunków
działania
składowych Px i Py. Wypadkowe parcie
nachylone jest do poziomu pod obliczonym
kątem α. Kierunki działania składowych
parcia Px i Py przechodzą przez środki
ciężkości brył parcia.
Określenie punktu przyłożenia wypadkowej
parcia w przypadku brył symetrycznych jest
to o wiele prostsze niż w przypadku
złożonych układów:
- ścianki niesymetryczne – trzeba określić
przesunięcie względem środka ciężkości
zarówno w pionie jak i poziomie,
- ścianki symetryczne – wystarczy określić
przesunięcie w pionie ponieważ przesunięcie
w poziomie η=0 (Rys.3).
Można to osiągnąć metodami analitycznymi
lub w sposób graficzny (ścianki
symetryczne).
Rys. 3. Graficzne wyznaczenie punktu przyłożenia
wypadkowej parcia
2. Przykład
Obliczyć wartość parcia oraz określić kierunek działania wypadkowej parcia na ściankę pokazaną
na rysunku 4.
Rys. 4. Schemat obliczeniowy
Obliczenia przeprowadzamy wg schematu: Px, Py → P, → α.
W pierwszej kolejności wykreślamy wykresy składowej poziomej i pionowej po zrzutowaniu
ścianki na płaszczyznę pionową. Wykres parcia w układzie trójwymiarowym 3D i
dwuwymiarowym 2D przedstawiono na rys. 5. Dodatkowo zaznaczono wypadkowe parcia
składowych poziomej i pionowej.
Rys. 5. Wykres parcia w układzie 3D i 2D
Zwymiarowane bryły parcia przedstawiono na rys. 6. Bryła parcia będąca wykresem składowej
poziomej ma kształt prostopadłościanu ściętego lub innymi słowami graniastosłupa o podstawie
trapezu. Składowa pionowa jest różnicą prostopadłościanu i ćwiartki walca.
Rys. 6. Wymiary brył parcia
Składową poziomą obliczymy wykorzystując wzór Px = γ A b (ścianka, na którą liczymy parcie ma
kształt prostokąta):
6,4 + 4,4
⋅ 2 = 11 m2,
A=
2
Px = 9810 ⋅ 11 ⋅ 8 = 863 280, 00 N
Podstawa bryły parcia składowej pionowej jest równa 6,4 ⋅ 2 − 14 π 2 2 = 9.66 m2 a bryła parcia ma
objętość Vb = 9.66 ⋅ 8 = 77,27 m3. Wartość składowej pionowej wynosi:
Pu = γ Vb = 9810 ⋅ 77,27 = 757991,81 N
Wypadkowa parcia ma wartość:
P = Px2 + Py2 = 863,28 2 + 757,99 2 = 1148,83 kN
Kierunek działania wypadkowej parcia:
757,99
tgα =
= 0,878
⇒ α = arc 0,878 = 40°
863,28
Punkt, przez który przechodzi kierunek działania wypadkowej parcia P znajduje się na przecięciu
kierunków działania składowych Px i Py. Wypadkowe parcie działa od strony wody górnej i
nachylone jest do poziomu pod obliczonym kątem α.
Środek ciężkości sx, przez który przechodzi
składowa Px można wyznaczyć zarówno
analitycznie i graficznie. Metodę graficzną
wyznaczania środka ciężkości trapezu
opisano przy omawianiu podziału parcia na
części o jednakowej powierzchni. Wartość
rzędnej środka ciężkości wynosi (Rys. 7)
[źródło: Kubrak J., 1998, Hydraulika
techniczna, Tab. 3.1, str. 58]:
zs =
2  2 ⋅ 4,4 + 6,4 
 = 0,53 m

3  4,4 + 6,4 
Rys. 7. Wyznaczenie punktu przyłożenia wypadkowej parcia
W przypadku składowej pionowej osobno
określamy środki ciężkości fragmentów
składających
się
na
bryłę
parcia:
prostopadłościanu i wycinka będącego
różnicą prostopadłościanu o podstawie
kwadratu i ćwiartki walca. Dla omawianego
przypadku jest to obliczenie skomplikowane
dlatego postaramy się wyznaczyć punkt
przyłożenia wypadkowej parcia z funkcji
trygonometrycznych.
Punkt
przyłożenia
wypadkowej parcia z = 6,4 - y. Długość
odcinka
y
wynika
z
funkcji
trygonometrycznej:
y
sin 40° =
⇒
2
y = 2 ⋅ sin 40° = 1,29 m
Rys. 8. Wyznaczenie punktu przyłożenia wypadkowej parcia
Zagłębienie punktu przyżenia punktu działania wypadkowej parcia wynosi 6,4 – 1, 29 = 5,01 m
3. Odpowiedź
Na ściankę działa siła parcia wypadkowego P =1149 kN, nachylona do poziomu pod kątem α =
40°. Punkt przyłożenia wypadkowej parcia znajduje się w połowie szerokości ścianki 8/2 = 4,0 m a
jego zagłębienie wynosi z= 5,01 m.
Literatura:
Kubrak J.,1998, Hydraulika techniczna, Wyd. SGGW, Warszawa,
Kubrak E., Kubrak J., 2004, Hydraulika techniczna, przykłady obliczeń, Wyd. SGGW, Warszawa,
Podniesiński A., 1958, Zbiór zadań z hydrauliki, PWN, Łódź.
Katedra Inżynierii Wodnej, Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji, Uniwersytet Rolniczy w
Krakowie
[email protected]