Topologia II, zadania 3 (1) Niech (X, T) bedzie przestrzenia

Topologia II, zadania 3
(1) Niech (X, T ) bȩdzie przestrzenia̧ topologiczna̧. Niech B bȩdzie
baza̧ taka̧, że każdy punkt x należy do zbioru B ∈ B, B 6= X.
Pokazać że po wyrzuceniu z B zbiorów ∅ i X (jeśli należaly do
B) otrzymujemy rodzinȩ, która też jest baza̧.
(2) Pokazać że R jest ośrodkowa i R2 (ze zwykla̧ metryka̧ ) jest
ośrodkowa.
(3) Niech X = R. Niech T bȩdzie rodzina̧ podzbiorów R, A ∈ T ⇐⇒
A = ∅ lub (X \ A) jest skończony.
a) Pokaż że każdy zbiór nieskończony w (X, T ) jest gȩsty.
b) Pokaż że (X, T ) nie ma przeliczalnej bazy (trudniejsze).
Wskazówka: Pokaż że jeśli {Bi } baza i x ∈ X to
\
Bi = {x}.
x∈Bi
Sta̧d jeśli baza {Bi } jest przeliczalna to zbiór X\{x} jest przeliczalny.
(4) Niech (X, T ) spelnia II aksjomat przeliczalności. Pokazać że zbiór
punktów izolowanych w (X, T ) jest co najwyżej przeliczalny.
(5) Udowodnić z definicji, że prostoka̧ty na plaszczyźnie (ze zwykla̧
metryka̧) tworza̧ bazȩ.
(6) Niech f : (X, T ) → (Y, T1 ) funkcja. Mówimy, że f jest cia̧gla w
punkcie x ∈ X jeśli dla każdego otoczenia H punktu f (x) w Y
istnieje otoczenie G punktu x w X takie, że f (G) ⊂ H.
a) Pokaż że f cia̧gla ⇐⇒ f cia̧gla w każdym punkcie.
b) Niech B baza w Y . Pokaż że F cia̧gla w x0 ⇐⇒ dla każdego
zbioru B ∈ B zawieraja̧cego f (x0 ) istnieje otoczenie G zbioru x0
spelniaja̧ce f (G) ⊂ B.