Nie znasz geometrii? Zaloguj się

Arkadiusz Męcel
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Uniwersytetu Warszawskiego
Student 3. roku na kierunku: matematyka
Nr albumu: 234204
Nie znasz geometrii? Zaloguj się...
Geometria w sieci
Praca zaliczeniowa z „Matematyki współczesnej dla myślących laików”.
Opracowany temat:
„Niech nie wchodzi tu nikt, kto nie zna geometrii” – nieszkodliwy anachronizm,
świadectwo źródeł kultury, czy sensowne wskazanie dla twórców współczesnej
edukacji?
Warszawa, styczeń 2008
„Geometry existed before the creation;
is co-eternal with the mind of God;
is God himself ...”
1
Johannes Kepler, Harmonia Świata (1619)
Wprowadzenie
Jednym z aspektów wyróżniających matematykę spośród wielu nauk przyrodnicznych jest nastawienie jakie prezentują względem niej laicy. „Okropna, nudna, niezrozumiała, nieprzydatna” – takimi określeniami zapytani demonstrują często wykształconą w szkole i skrzętnie zachowaną niechęć do Królowej Nauk. O ile łatwo
zrozumieć brak sympatii dla ciągnących się całymi tablicami wzorów i przekształceń, o tyle przecież rozmaite i wszechobecne kształty geometryczne działają na ludzką
wyobraźnię od wieków. Być może niejeden zaryzykowałoby (parafrazując cytowanego
wyżej Keplera) tezę, że wszelka doskonałość dostępna wyobraźni wyraża się w geometrii. Być może jednak tezy takie są już tylko anachronizmem.
Przenieśmy się zatem w XXI wiek, w czas nowoczesnych technologii i szerokiego
dostępu do wiedzy. Celem tego eseju jest próba odpowiedzi na pytanie: czy do matematycznego laika można dotrzeć z geometrią przez Internet? Wydaje się przecież, że
wiedza, bez której współczesny Platon nie wpuściłby do swojej Akademii powinna znajdować się gdzieś pośród zasobów sieci... Czy bogactwo kolorowych grafik i efektownych
wizualizacji może stać się drogą do zafascynowania pięknem ścisłych geometrycznych
zastosowań?
Na początek – statystyki...
Czy geometria jest w ogóle obecna w Internecie? Wykonajmy prosty test: wpiszmy do najpopularniejszej wyszukiwarki internetowej słowo „geometria” zapisane w
kilku językach. Najlepiej wypada test w języku angielskim: 31 mln. stron.2 Gdyby silić
się na porównania, to wynik ilościowo zbliżony do rezultatów zdecydowanej większo1 „Geometria
istniała wcześniej niż stworzenie, odwieczna niczym umysł Boga, jest samym
Bogiem ... ”
2 Co ciekawe w języku chińskim jest ich „tylko” 1.7 mln. Nieźle prezentują się także kraje
europejskie osiągając wyniki rzędu kilku milionów.
2
ści gwiazd popkultury. Za naturalny miernik popularności stron internetowych można
także uznać współczynnik Page Rank. Jego nazwa pochodzi od niezwykle skomplikowanego (dobrze strzeżonego) algorytmu klasyfikowania stron internetowych, stosowanego przez wyszukiwarkę Google.3 Sprawdzając PR najpopularniejszej chyba strony o
matematyce (zawierającej olbrzymie pokłady wizualizacji geometrycznych) - serwisu
MathWorld.com - zobaczymy liczbę 8. To wynik taki sam, jak w przypadku światowej
Wikipedii, punkt niższy od stron głównych stacji BBC czy CNN. Także inne serwisy
matematyczne sklasyfikowane na szczycie listy wyszukiwań legitymują się współczynnikiem ­ 6.
Jakkolwiek liczne czy popularne strony o geometrii by nie były, pozostaje jeszcze pytanie: dlaczego ktoś je odwiedza? Trzecim i ostatnim zestawem statystyk, który
tu przytoczymy jest zestaw danych z Google Labs (TM) prezentujący zależność pomiędzy ilością wyszukiwań słowa „geometry” a porą roku.
Wykres zamieszczony powyżej4 obrazuje ilościowo zmienność światowych wyszukiwań słowa „geometry” w okresie 4 lat. Nie jest oczywiście jasne, czy osoby zainteresowane informacjami geometrycznymi, szukają ich właśnie na bazie tego słowa
(może od razu wchodzą na Wikipedię lub MathWorld). Okazuje się jednak, że oglądając analogiczne obrazki dla słów: „Pythagoras”, „triangle”, „polygon”, „diameter”,
zobaczymy wykresy „funkcji” o podobnej zmienności.
Sugerując, że w okresie wakacji czy końca roku zainteresowanie geometrią drastycznie spada, dane globalne nie przynoszą wielkich odkryć. Dają jednak pewne namacalne potwierdzenie następującej obserwacji: osobami „poszukującymi” są w zdecydowanej większości osoby młode, uczniowie lub studenci. Już na etapie samych statystyk
zasadne wydaje się przypuszczenie, że obejmowanie osób dorosłych programami popularyzacji nauki znajduje się na marginesie głównego nurtu działań prowadzonych w
3 http://www.google.com/technology/.
4 http://www.google.com/trends?q=geometry.
3
Internecie. Śledząc zawartość stron, które są najczęściej odwiedzane, naszym oczom
ukażą się zestawy kolorowych obrazków. Odnajdziemy fakty, podane w możliwie najbardziej przystępnej i uporządkowanej formie. Nie natrafimy prace wcale na dowody
matematyczne.5 Treść stron poświęconych geometrii przyjmuje wręcz konwencję „nauki poprzez zabawę”.6 Przychodzi zatem na myśl dość ogólne pytanie: jak z zabawy
geometrią przejść do konkretnej wiedzy?
***
„Struktura jest ważnym fenomenem...
Ludzie widząc tę samą strukturę wyrażają
swoją harmonię poprzez jej realizowanie i pogłębianie.”
Peter van - Hiele, Structure and insight. A theory of mathematics education. (1986)
Model Van - Hiele’a
Projekt WebQuest
Problematyka związana z przekazywaniem intuicji geometrycznych dzieciom i
młodzieży interesuje specjalistów od nauczania już od wielu lat. Wśród wielu znanych
modeli dydaktyki geometrii największą renomą cieszy się już od pięćdziesięciu lat
model „poziomów rozumowania geometrycznego”7 zaproponowany przez holenderskie
małżeństwo Pierra i Dinę van Hiele w 1955 r. Powstał on na podstawie ich doświadczeń
z nauczania matematyki uczniów ze szkół ponadpodstawowych w Montessori.
Model Van - Hiele’a opiera się na wyróżnieniu pięciu „poziomów rozumowania”,
przez które przechodzi każdy uczeń. Są to kolejno: poziom wzrokowy, poziom analityczny, poziom porządkujący, poziom dedukcyjny, poziom rygoryzujący. Przechodzenie
przez kolejne etapy odbywa się w fazach, które można nazwać w skrócie: „przyswajaniem struktury”. Są to kolejno: percepcja struktury, wgląd w strukturę, przyswojenie
struktury. Ideowo zatem teoria ta ukazuje uczniów przyswajających wiedzę w sposób
skokowy, odbywający się poprzez zorganizowane w odpowiedni sposób zajęcia.
5 Chlubnym
wyjątkiem jest tu strona www.cut-the-knot.org/geometry.shtml.
www.aaaknow.com/geo.htm, www.coolmath4kids.com/geometrystuff.html.
7 Szerzej o modelu Van - Hiele’a traktuje np.:
6 Przykładowo:
http://library.uws.edu.au/adt-NUWS/uploads/approved/adt-NUWS20070822.130357/public/03Chapter2.pdf
4
Przytoczona wyżej koncepcja należy do klasyki dydaktyki, nie tylko dydaktyki
matematyki zresztą. W mniejszy lub większy sposób wpłynęła ona na klasyczne programy nauczania8 chociażby przez narzucenie im odpowiedniej ramy strukturalnej.
Innymi słowy - modelowy nauczyciel matematyki zna i stosuje w praktyce teorie van
- Hiela. Możnaby zatem zapytać: „Skoro miało być tak dobrze, czemu jest tak źle?”
Praktyczne stosowanie teorii, która polega na zaplanowanym i starannie przygotowanym przeprowadzeniu ucznia przez kilkanaście lat szkolnej edukacji geometrycznej
wymaga spójności programów nauczania oraz odpowiednich kompetencji ze strony nauczycieli, zwłaszcza pracujących z uczniami klas I - III szkół podstawowych, a nawet
ze strony wychowawców w przedszkolach. Tymczasem, jak pisze Grażyna Fila:9
„ Badania wykazały, że 6-latki znajdują się na wzrokowym poziomie kształtowania się pojęcia koła, trójkąta, kwadratu, prostokąta, kuli i sześcianu. Niestety
świadomość dosyć licznej grupy nauczycieli odnośnie poziomu myślenia matematycznego, na którym mogą znajdować się sześciolatki okazała się niska. Skłaniało
mnie to do przypuszczenia, że proces przekazywania i utrwalania treści związanych z kształtowaniem pojęć geometrycznych może nie przebiegać prawidłowo...
Na podstawie analizy przeprowadzonych badań można wywnioskować, że
podstawowym błędem dydaktycznym występującym w procesie kształtowania
pojęć geometrycznych 6-latków jest nieznajomość przez nauczycieli teorii reprezentacji J.S.Brunera w powiązaniu z teorią van Hiele’a oraz możliwości tkwiących
w wykorzystaniu ich... ”
W ten sposób ujawniają się słabości programu van - Hiele’a: trudność praktycznego zastosowania w ramach standardowych zajęć, zwłaszcza na najniższych poziomach rozumowania. Tymczasem nawet nie zagłębiając się w dokładniejsze omówienie
modelu, widzimy terminy: „poziom wzrokowy, wizualizacja...” Chciałoby się wykrzyknąć z radością: Internet! Okazuje się, że również specjaliści dostrzegli w globalnej sieci
ogromne możliwości. Tak narodził się program WebQuest.
WebQuest jest ogólnym modelem dydaktycznym polegającym na aktywizacji
uczniów poprzez wykonywanie zadań i rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem
specjanie w tym celu przygotowanych stron internetowych. Program został zaproponowany po raz pierwszy w lutym 1995r. przez Berniego Dodge’a z Uniwersytetu w San
Diego (USA).10 W obecnej formie obejmuje właściwie wszystkie „poziomy rozumo8 Golinskaia
Lioudmila , Van Hiele theory in Russian and United States geometry curricula,
Columbia University, New York 1997.
9 Fila Grażyna, Kształtowanie pojęć geometrycznych dzieci 6 - letnich. Dostępny online:
www.metodycy.wadowice.iap.pl/word/smolec/fila.doc.
10 http://webquest.org/index.php.
5
wania” programu van - Hiela, od zajęć dla przedszkolaków11 i najmłodszych uczniów
podstawówek12 po licealistów13 .
Twórcy programu wprowadzenia dydaktyki do Internetu zadbali także o zagwarantowanie odpowiedniej pomocy nauczycielom. W ten sposób w 2005 roku powstał i
udostępniony został program QuestGarden14 , służący do konstrukcji profesjonalnych
WebQuestów. Program okazał się wielkim sukcesem. Po roku swojego istnienia zarejestrowało go 29.000 ludzi w 114 krajach, przy jego pomocy powstało ponad 14.000
WebQuestów...15
Czy można dotrzeć z geometrią do ucznia? Czy można dotrzeć do laika? Przy
końcu tego eseju wypada powiedzieć - dzięki ideom takim jak WebQuest, które metodycznie rozwijają naukowe teorie dydaktyczne lub popularyzatorskie - można. Część
statystyczna pokazuje, że istnieje zainteresowanie i zapotrzebowanie na strony o tematyce geometrycznej/matematycznej. Część dotycząca metodyki nauczania geometrii
daje namacalny dowód zainteresowania tym obszarem ze strony specjalistów i owocnego implementowania tej teorii w Internecie. Kończąc, wypada mieć zatem nadzieję,
że już niedługo doczekamy się pierwszego geometrycznego WebQuesta w Polsce.16
11 http://www.rockwood.k12.mo.us/wildhorse/nelson/shapewebquest/intro.html.
12 http://members.fortunecity.com/lmautzcharles/mainpage.html
13 http://www.yorkville.k12.il.us/webquests/webquests.htm.
14 http://questgarden.com/author/overview.htm.
15 http://webquest.org/news/2006/07/webquests-at-necc-2006.htm.
16 Cieszy
wiadomość, że technologia WebQuest doczekała się w Polsce nie tyl-
ko pierwszych udanych stron, ale także specjalistów zajmujących się jej wykładem:
http://www.wombb.edu.pl/doskon/oferta 2007.htm
6