Ciągi rekurencyjne

Podróże po Imperium Liczb
Część 7
Ciągi rekurencyjne
Andrzej Nowicki
Olsztyn, Toruń, 2010
Spis treści
Wstęp
1
1 Liczby Fibonacciego
1.1 Własności liczb Fibonacciego . . . . . . . . . .
1.2 Cyfry liczb Fibonacciego . . . . . . . . . . . .
1.3 Kwadraty, sześciany, . . . i liczby Fibonacciego
1.4 Symbole Newtona i liczby Fibonacciego . . . .
1.5 Sumy i iloczyny liczb Fibonacciego . . . . . . .
1.6 Liczby Fibonacciego, macierze i wyznaczniki .
1.7 Nierówności z liczbami Fibonacciego . . . . . .
1.8 Szeregi z liczbami Fibonacciego . . . . . . . .
1.9 Zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Różne zadania i fakty o liczbach Fibonacciego
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
6
8
9
10
12
13
15
15
16
17
2 Liczby Fibonacciego i relacja podzielności
2.1 Wokół równości (un ,um ) = u(n,m) . . . . . . . . . .
2.2 Dzielniki liczb Fibonacciego . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Liczby Fibonacciego i kongruencje . . . . . . . . . .
2.4 Podzielność i potęgi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Pierwsze liczby Fibonacciego . . . . . . . . . . . . .
2.6 Podzielność liczb Fibonacciego przez liczby pierwsze
2.7 Liczby Fibonacciego modulo m . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
20
21
22
23
23
25
3 Ciągi Fibonacciego
3.1 Ogólne własności ciągów Fibonacciego . . . .
3.2 Ciągi Fibonacciego i podzielność . . . . . . .
3.3 Ciągi Fibonacciego i liczby kwadratowe . . .
3.4 Zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Różne zadania i fakty o ciągach Fibonacciego
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
27
28
29
29
29
4 Liczby Lucasa
4.1 Równości z liczbami Lucasa . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Równości z liczbami Lucasa i liczbami Fibonacciego
4.3 Liczby Lucasa i podzielność . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Różne fakty i zadania z liczbami Lucasa . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
32
32
33
34
35
5 Ogólne własności liniowych ciągów rekurencyjnych
5.1 Ciągi a[s] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Algebra funkcji arytmetycznych jako k[x]-moduł . .
5.3 Równoważne definicje liniowej rekurencyjności . . .
5.4 Przykłady liniowych ciągów rekurencyjnych . . . . .
5.5 Algebra liniowych ciągów rekurencyjnych . . . . . .
5.6 Podciągi o indeksach tworzących ciąg arytmetyczny
5.7 Przestrzenie L(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Bazy przestrzeni L(f) . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Niejednorodne liniowe ciągi rekurencyjne . . . . . .
5.10 Niejednorodne liniowe ciągi rekurencyjne rzędu 1 . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
37
37
38
39
40
41
42
43
44
45
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5.11 Niejednorodne liniowe ciągi rekurencyjne rzędu 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Niejednorodne liniowe ciągi rekurencyjne rzędu 3 . . . . . . . . . . . . . . . .
46
46
6 Liniowe ciągi rekurencyjne drugiego rzędu
6.1 Wzory na n-ty wyraz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Baza zbioru F(u,v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Podzielność dla ciągu a(u,v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Podzielność dla a(u,v), gdy liczby u i v są względnie pierwsze .
6.5 Ciągi a(u,v), b(u,v) i podzielność przez liczby pierwsze . . . .
6.6 Ciąg c(u,v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Ciągi a(u,v) i c(u,v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Różne fakty i zadania o ciągach rekurencyjnych drugiego rzędu
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
47
48
48
50
50
52
52
53
7 Przykłady ciągów drugiego rzędu
7.1 an+2 = kan+1 - an . . . . . . . . .
7.2 an+2 = 2an+1 + an (liczby Pella) .
7.3 an+2 = kan+1 + an . . . . . . . .
7.4 an+2 = c(an+1 + an ) . . . . . . .
7.5 an+2 = ±an+1 + ±an . . . . . . .
7.6 Różne przykłady . . . . . . . . . .
7.7 Dwa liniowe ciągi rekurencyjne . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
54
54
59
61
61
62
62
65
8 Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
8.1 Ciągi trzeciego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 an+3 = an+1 + an (Ciągi Perrina) . . . . . . . . . . . .
8.3 an+3 = an+2 + an+1 + an . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Przykłady ciągów trzeciego rzędu . . . . . . . . . . . .
8.5 Przykłady ciągów czwartego rzędu . . . . . . . . . . . .
8.6 Liniowe ciągi rekurencyjne n-tego rzędu . . . . . . . . .
8.7 Liniowa rekurencyjność ze zmiennymi współczynnikami
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
67
67
68
69
70
72
73
75
9 Ciągi rekurencyjne specjalnego typu
9.1 an+1 = f(an ) lub an+1 = f(n,an ) . . . . . . .
9.2 pan+1 an + qan +ran+1 + s = 0 . . . . . . . .
9.3 an+2 = f(an , an+1 ) lub an+2 = f(n,an , an+1 )
9.4 dn+2 = dn+1 dn + 1 . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Ciągi rekurencyjne i podzielność . . . . . . .
9.6 Ciągi rekurencyjne z symbolami Newtona . .
9.7 Dwa ciągi rekurencyjne . . . . . . . . . . . .
9.8 Problem Collatza . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Rekurencyjność kilkustopniowa . . . . . . . .
9.10 Różne przykłady ciągów rekurencyjnych . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
77
80
81
82
84
85
86
86
88
90
.
.
.
.
.
92
92
93
95
95
96
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10 Jednorodne ciągi rekurencyjne
10.1 Ogólne własności i przykłady jednorodnych ciągów rekurencyjnych
10.2 Ciąg an = (a2n−1 + a2n−2 )/an−3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Ciąg an = (a2n−1 + a2n−2 + a2n−3 )/an−4 . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2 )/z
10.4 Ciąg zn = (zn−1
+ zn−2
+ · · · + zn−s
n−(s+1) . . . . . . . . . . .
2
2
10.5 Ciąg an = (an−1 + an−2 + ban−1 an−2 )/an−3 . . . . . . . . . . . . .
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10.6
10.7
10.8
10.9
10.10
10.11
10.12
10.13
Ciąg an = (an−1 + an−2 )2 /an−3 . . . . . . . . . . .
Ciąg bn = (bn−1 + bn−2 + bn−3 )2 /bn−4 . . . . . . . .
Ciąg cn = (cn−1 + cn−2 + cn−3 + cn−4 )2 /cn−5 . . . .
Ciąg zn = (zn−1 + zn−2 + · · · + zn−s )2 /zn−(s+1) . . .
Ciąg xn = (xn−1 xn−2 + xn−3 xn−4 )/xn−5 . . . . . .
Ciąg yn = (yn−1 yn−2 + yn−3 yn−4 + yn−5 yn−6 )/yn−7
Ciągi eliptyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inne jednorodne rekurencyjne ciągi . . . . . . . . .
11 Ciągi Somosa i ich ougólnienia
11.1 Ciągi Somosa 2-go rzędu . . .
11.2 Ciągi Somosa 3-go rzędu . . .
11.3 Ciągi Somosa 4-go rzędu . . .
11.4 Ciągi Somosa 5-go rzędu . . .
11.5 Ciągi Somosa 6-go rzędu . . .
11.6 Ciągi Somosa 7-go rzędu . . .
11.7 Ciągi Somosa wyższych rzędów
11.8 Różne fakty o ciągach Somosa
11.9 Biliniowe ciągi rekurencyjne .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów
12.1 Ciąg xn+1 = f (n)xn + g(n) . . . . . .
12.2 Ciąg xn+2 = f (n)xn+1 + g(n)xn . . .
12.3 Ciąg xn+2 = (xsn+1 + 1)/xn . . . . . .
12.4 Ciąg xn+2 = (x2n+1 + p)/xn . . . . . .
12.5 Ciąg xn+3 = (xn+1 xn+2 + p)/xn . . .
12.6 Ciągi rekurencyjne z pierwiastkami .
12.7 Różne ciągi . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
98
100
101
102
103
103
104
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
105
105
106
107
109
109
109
110
110
.
.
.
.
.
.
.
111
111
111
112
113
115
116
116
rekurencyjnych
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Spis cytowanej literatury
118
Skorowidz nazwisk
122
Skorowidz
125
iii