wykład X - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol.lublin.pl

Cykle Eulera i Hamiltona
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Cykl Eulera
DEFINICJA Cyklem Eulera nazywamy zamkniętą marszrutę przechodzącą przez każdą krawędź grafu dokładnie
jeden raz.
DEFINICJA Grafem eulerowskim nazywamy graf posiadający cykl Eulera.
TWIERDZENIE Graf G jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójny i stopień każdego wierzchołka jest
parzysty.
WNIOSEK Graf spójny jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy rodzinę jego krawędzi da się podzielić na rozłączne
krawędziowo cykle.
Metoda Fleury’ego
TWIERDZENIE Niech G będzie grafem eulerowskim. Wtedy następująca konstrukcja jest wykonalna i daje w
wyniku cukl Eulera w grafie G.
Zacznij cykl w dowolnym wierzchołku u i przechodź krawędzie w dowolnej kolejności, dbając jedynie o zachowanie
następujących zasad:
1. usuwaj z grafu użyte krawędzie i wierzchołki izolowane powstałe w wyniku usuwania tych krawędzi;
2. w każdym momencie przechodź przez most tylko wtedy, gdy nie masz innej możliwości.
Graf jednokreślny
DEFINICJA Grafem jednokreślnym nazywamy graf posiadający marszrutę przechodzącą przez każdą krawędź
dokładnie jeden raz.
TWIERDZENIE Graf G jest jednokreślny wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójny i jego wszystkie, poza co najwyżej
dwoma wierzchołkami, mają parzysty stopień.
Cykl Hamiltona
DEFINICJA Cyklem Hamiltona nazywamy cykl zawierający wszystkie wierzchołki grafu.
DEFINICJA Grafem hamiltonowskim nazywamy graf posiadający cykl Hamiltona.
DEFINICJA Ścieżką Hamiltona nazywamy ścieżkę zawierającą wszystkie wierzchołki grafu.
Klasyczne warunki dostateczne na hamiltonowskość
TWIERDZENIE [Dirac 1952]
Graf prosty G o n wierzchołkach i δ(G) >
n
2
jest hamiltonowski.
TWIERDZENIE [Ore 1960]
Jeśli w grafie prostym G o n > 3 wierzchołkach dowolne dwa niesąsiednie wierzchołki v i w spełniają warunek
d(v) + d(w) > n, to graf G jest hamiltonowski.
Dalsze warunki dostateczne na hamiltonowskość
TWIERDZENIE [Fan 1984]. Jeśli G jest n-wierzchołkowym grafem 2-spójnym i jeśli max{d(u), d(v)} > n/2 dla
każdej pary wierzchołków u, v ∈ V (G) takich, że d(u, v) = 2, to G jest hamiltonowski.
DEFINICJA Zbiór S ⊂ V (G) nazywamy zbiorem niezależnym w grafie G wtedy i tylko wtedy, gdy G[S] jest grafem
pustym.
α(G) – liczba niezależności - maksymalna moc zbioru niezależnego w grafie G
TWIERDZENIE [Chen 1993]. Jeśli G jest n-wierzchołkowym grafem 2-spójnym i jeśli max{d(u), d(v)} > n/2 dla
każdej pary wierzchołków u, v ∈ V (G) takich, że 1 6 |N (u) ∪ N (v)| 6 α(G) − 1, to G jest hamiltonowski.
1
Najnowsze warunki dostateczne na hamiltonowskość
TWIERDZENIE [G. Chen, Y. Egawa, X. Liu, A Saito 1996]. Jeśli G jest grafem k-spójnym (k > 2) i jeśli
max{d(v) : v ∈ S} > n/2 dla każdego zbioru niezależnego S mocy k takiego, że S zawiera dwa różne wierzchołki x, y
takie, że d(x, y) = 2, to G jest hamiltonowski.
TWIERDZENIE [Kewen Zhaoa, Hong-Jian Laic, Yehong Shaod 2007]
Jeśli G jest n-wierzchołkowym grafem k-spójnym (k > 2) i jeśli max{d(v) : v ∈ S} > n/2 dla każdego zbioru
niezależnego S mocy k, takiego, że S zawiera dwa różne wierzchołki x, y takie, że 1 6 |N (x) ∪ N (y)| 6 α(G) − 1, to
G jest hamiltonowski.
2