Politechnika Śląska w Gliwicach Ćwiczenie laboratoryjne z

Politechnika Śląska w Gliwicach
Instytut Maszyn i Urządzeń Energetycznych
Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych
Ćwiczenie laboratoryjne z wytrzymałości materiałów
Temat ćwiczenia:
Wyboczenie pręta ściskanego siłą osiową
Gliwice, 2009
1
1. Cel ćwiczenia
1. Poznanie teoretycznych wiadomości o wyboczeniu.
2. Obliczeniowe i doświadczalne wyznaczenie siły krytycznej dla różnych sposobów
zamocowania pręta:
a. Przeguby na obu końcach,
b. Przegub na jednym końcu (drugi koniec sztywno utwierdzony),
c. Sztywno utwierdzone oba końce.
2. Wiadomości teoretyczne o wyboczeniu prętów.
2.1. Pojęcie siły krytycznej
Rozpatrzmy prosty pręt zaopatrzony na końcach w przeguby i obciążony osiową siłą
ściskającą P (rys.1a). Jeżeli siła P nie jest zbyt duża, to pręt pracuje na zwykłe osiowe
ściskanie, przy czym oś pręta pozostaje prostą. Jeżeli na tak obciążony pręt zadziałamy jakąś
niewielką siłą poprzeczną Q, to po usunięciu tej siły poprzecznej pręt powróci do
początkowego stanu równowagi. Ustrój taki nazywamy statecznym.
Rys. 1. Postać równowagi pręta ściskanego: a) prostoliniowa, b) krzywoliniowa
Jeżeli siłę P ściskającą pręt w sposób przedstawiony na rys.1a będziemy stale powiększać,
to dojdziemy wreszcie do takiej wartości siły P , że przy minimalnym impulsie ( np. po
chwilowym przyłożeniu bardzo małej siły Q ) pręt ściskany wygnie się w sposób pokazany na
rys.1b , a po ustaniu impulsu (po usunięciu siły Q ) nie wróci już do swojego poprzedniego
prostoliniowego stanu równowagi , lecz pozostanie w stanie równowagi przy krzywoliniowej
postaci pręta .
Opisane przejście układu ze stanu równowagi stałej (w danym przypadku prostoliniowa
postać pręta) do stanu równowagi chwiejnej lub obojętnej (krzywoliniowa postać równowagi
pręta) nazywamy utratą stateczności układu, a siłę, przy której to przejście zachodzi,
nazywamy siłą krytyczną lub siłą wyboczającą i oznaczamy Pk.
2
2.2. Wzór Eulera, naprężenia krytyczne, smukłość pręta
Siłę krytyczną przy wyboczeniu prętów ściskanych osiowo wyznaczamy ze wzoru
π 2 EJ min
Pkr =
(1)
2
lw
gdzie E – moduł Younga , Imin – najmniejszy moment bezwładności przekroju poprzecznego
pręta , lw – długość wyboczeniowa pręta zależna od sposobu jego zamocowania.
Rys.2. Długości wyboczeniowe prętów
Naprężenia krytyczne, przy których następuje utrata stateczności pręta ściskanego,
otrzymamy przez podzielenie wzoru (1) przez pole F przekroju poprzecznego pręta:
P
π 2 EJ min
(2)
σ kr = kr =
2
F
lw F
W celu ujęcia w krótszej formie wielkości charakteryzujące przekrój poprzeczny pręta
wprowadzono pojęcie tzw. minimalnego promienia bezwładności przekroju
J
2
= min
(3)
imin
F
a następnie po podzieleniu długości wyboczeniowej lw przez imin otrzymujemy jedną tylko
wielkość charakteryzującą wymiar pręta zwaną smukłością pręta s.
l
s= w
(4)
i min
Po zastosowaniu powyższych oznaczeń eulerowskie naprężenia krytyczne określone
zależnością (2) wyraża się następującym prostym wzorem
π 2E
σ kr = 2
(5)
s
Wzór Eulera (5) określający wartość naprężenia krytycznego, wyboczającego, jako
funkcję smukłości s pręta na wykresie we współrzędnych s, σ przedstawia się w postaci
hiperboli (rys.3)
Ze wzoru (5) korzystać można tylko wówczas, gdy naprężenia nie przekraczają granicy
stosowalności prawa Hooke’a, a więc dla σ kr ≤ σ prop . Obliczenia prętów ściskanych za
pomocą wzoru (5) możemy przeprowadzić tylko wtedy, gdy smukłość s pręta jest większa od
smukłości granicznej sgr, wynikającej z zależności
3
σ kr =
π 2E
s gr
2
= σ prop
(6)
stąd
s gr = π
E
σ prop
(7)
Rys.3. Naprężenia krytyczne w funkcji smukłości
2.3. Prosta Tetmajera-Jasińskiego
W zakresie tzw. średnich smukłości, a więc dla odcinka AK krzywej doświadczalnej (dla
stali w zakresie smukłości 20-100), wystarczające dla zastosowań praktycznych okazało się
przybliżenie wprowadzone przez L. Tetmajera i F. Jasińskiego, polegające na zastąpieniu
hiperboli Eulera prostą Tetmajera o równaniu:
σ kr = a − bs
(8)
Współczynniki a i b występujące w powyższym równaniu wyznacza się z warunku, że prosta
ta musi przejść przez dwa punkty oznaczone A i C na rys.3. Dla materiałów mających granicę
proporcjonalności σ prop i granice plastyczności σ plast współrzędne punktu A leżącego na
prostej Tetmajera ( i równocześnie na hiperboli Eulera, rys.3) wynoszą:
σ kr = σ prop dla s = sgr
a punktu C :
σ kr = σ plast dla s = 0
Po podstawieniu tych warunków do zależności (8) otrzymujemy
a = σ plast
b=−
σ plast − σ prop
s gr
i równanie prostej Tetmajera dla takich materiałów (np. stale węglowe konstrukcyjne itp.)
przybiera postać:
4
σ kr = σ plast −
σ plast − σ prop
s gr
s
(9)
2.4. Parabola Johnsona-Ostenfelda
Johnson i Ostenfeld stwierdzili, że dla takich materiałów jak stopy aluminium (durale)
oraz miedź (mosiądze, brązy) znacznie lepszą zgodność z doświadczeniem uzyskuje się przez
wprowadzenie zamiast prostej Tetmajera paraboli o równaniu:
σ kr = a − bs 2 (a)
Współczynniki w powyższym równaniu oblicza się z warunku, że wierzchołek paraboli
znajduje się w punkcie C ( tj. σ kr = σ plast dla s=0, zatem a = σ plast ), a parabola podchodzi
stycznie do hiperboli Eulera określonej wzorem (5).
Punkt styczności obu tych krzywych (oznaczony literą D na rys.3) znajdujemy z
warunku, że dla odciętej s=s0 kąty nachylenia stycznych do obu tych linii (a więc pierwsze
pochodne) muszą być takie same. Z porównania pierwszych pochodnych wzorów (a) i (5) po
podstawieniu wartości szczególnej s = s0 otrzymujemy
2π 2 E
− 2bs 0 = −
3
s0
stąd
π 2E
b=
(b)
4
s0
Równanie paraboli Johnsona-Ostenfelda przyjmuje postać:
π 2E 2
σ kr = σ plast − 4 s
(c)
s0
Wartość smukłości granicznej s0 obliczamy z warunku, że dla s = s0 naprężenie krytyczne
σ kr obliczone ze wzoru (b) musi być takie samo jak ze wzoru Eulera (5)
σ kr = σ plast −
π 2E
s0
4
π 2E
s0 =
2
s0
2
Stąd
s0 = π
2E
(10)
σ plast
Wzór Johnsona-Ostenfelda przybiera następującą postać
σ kr = σ plast −
σ plast 2
s2
(11)
4 Eπ
i należy go stosować dla smukłości od zera do smukłości granicznej s0 określonej wzorem
(10). Dla smukłości większych od s0 należy stosować wzór Eulera (5).
2
5
3. Metoda pomiaru
Bezpośredni pomiar siły krytycznej przez obciążanie pręta aż do wystąpienia zjawiska
wyboczenia jest trudne do zrealizowania. Ze względu na wstępną krzywiznę pręta a i na
trudność ściśle osiowego przyłożenia siły obserwuje się poprzeczne wygięcie pręta już przy
siłach mniejszych od siły krytycznej i praktycznie niemożliwe jest ustalenie, kiedy
rozpoczyna się wyboczenie. W związku z tym stosuje się metodę Southwella polegającą na
pomiarze strzałki ugięcia δ pręta podczas ściskania siłą P mniejszą od krytycznej Pkr.
δ = Pkr
δ
P
−a
(12)
Rys. 4. Metoda Southwella wyznaczenia siły krytycznej
W układzie współrzędnych
kierunkowym
δ
P
, δ
jest to równanie linii prostej o współczynniku
tg α = Pkr
(13)
6
4. Wykonanie ćwiczenia
Stanowisko badawcze pokazano na rysunku 5. Pręt stalowy (1) o przekroju
prostokątnym umieszczony jest w uchwytach (2,3). Ramie (4) służy do wywierania siły na
pręt. Siłę przykładamy skokowo dokładając ciężary na szalce (5) lub płynnie przesuwając
suwak (6). Do pomiaru wygięcia pręta w środku rozpiętości służy specjalny suwak
pomiarowy (7).
A-A
A
2
1
5
4
6
7
3
A
Rys. 5. Stanowisko badawcze
4.1. Obliczenia siły krytycznej
Obliczyć siły krytyczne dla podanych danych i rozpatrywanych sposobów
zamocowania pręta.
Dane materiałowe:
σ prop = 200MN / m 2
σ pl = 240MN / m 2
E = 2,1 x 105 MN/m2
Dane geometryczne
a = 5 mm
b = 20 mm
Podstawowe zależności:
Pole przekroju poprzecznego
Minimalny moment bezwładności
Promień bezwładności
F=axb
a 3b
J min =
12
J min
i=
F
7
lw
i
Smukłość
s=
Smukłość graniczna
s gr = π
Jeżeli s > s gr
Pkr =
E
σ prop
π 2 EJ min
2
lw
Pręt zamocowany przegubowo na obu końcach
l = 724 mm
Długość wyboczeniowa lw = l
Pręt zamocowany przegubowo na jednym końcu, drugi koniec sztywno utwierdzony
l = 693 mm
Długość wyboczeniowa lw = 0.7 l
Pręt sztywno utwierdzony na obu końcach
l = 670 mm
Długość wyboczeniowa lw = ½ l
4.2. Pomiary siły krytycznej
Siłę ściskającą pręt w stanowisku pomiarowym liczymy ze wzoru:
20 + x
P = 151.6 + Gs
+G⋅4
20
gdzie :
G – ciężar umieszczony na szali w [N],
Gs – ciężar suwaka w [N], Gs=20 N
x – odległość suwaka od położenia zerowego
Kolejność wykonywania czynności jest następująca:
1. Zamocować i odciążyć pręt. Położenie początkowe czujnika ustawić na 0.
2. Obciążać pręt poprzez przesuwanie suwaka i dokładanie ciężarków na szalkę. Po
każdorazowej zmianie obciążenia i ustaleniu się równowagi zanotować wskazania
czujnika. Pomiar zakończyć po obciążeniu pręta siłą równą około 0,8 Pkr.
U w a g a. Ciężarki nakładać bardzo ostrożnie, aby ograniczyć do minimum siły
dynamiczne.
3. Na podstawie wykonanych pomiarów obliczyć wartości δ i δ /P, a następnie
sporządzić wykres δ w funkcji δ /P.
4. Wyznaczyć siłę krytyczną na podstawie wykresu, korzystając ze wzoru:
c
Pkr = tg α =
d
gdzie c mierzone jest w skali δ , d zaś w skali δ /P.
6. Czynności powtórzyć dla innych sposobów zamocowania pręta.
7. Sporządzić sprawozdanie z ćwiczenia laboratoryjnego, które powinno zawierać:
• wiadomości teoretyczne o wyboczeniu,
• obliczenia siły krytycznej dla rozpatrywanych sposobów zamocowania pręta,
• tablice pomiarowe oraz wykresy δ w funkcji δ /P dla rozpatrywanych sposobów
zamocowania pręta,
8
Lp.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
δ [µm]
G[kg]
G [N]
Tablica pomiarowa
x [m]
P [N]
9