Geometria Zadania na ćwiczenia nr 4 W. Pompe 1. Dany jest trójkąt

Geometria
Zadania na ćwiczenia nr 4
W. Pompe
1. Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB. Punkt D jest spodkiem
wysokości opuszczonej z wierzchołka C. Znając długości odcinków AD i DB obliczyć dlugość
odcinka CD.
2. Dwa okręgi przecinają się w punktach A i B. Z punktu P leżącego na prostej AB i na
zewnątrz obu okręgów poprowadzono proste, które są styczne do tych okręgów odpowiednio
w punktach C i D. Wykazać, że P C = P D.
3. Dane są dwa trójkąty podobne. Stosunek ich obwodów jest równy 2. Obliczyć stosunek
ich pól.
4. Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB. Punkt D jest spodkiem
wysokości opuszczonej z wierzchołka C. Obwody trójkątów ACD i BCD wynoszą odpowiednio p i q. Obliczyć obwód trójkąta ABC.
5. Punkt D leży na boku AC trójkąta ABC. Prosta przechodząca przez punkt D i równoległa do prostej AB rozcina trójkąt ABC na dwie figury o równych polach. Obliczyć iloraz
AD/DC.
6. Dany jest trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB =1 oraz kącie przy wierzchołku
C równym 36◦ . Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w punkcie D.
(a) Obliczyć długość odcinka BD;
(b) Wyznaczyć sin 18◦ oraz sin 72◦ .
7. Wykazać, że pole S trójkąta o bokach a, b, c i promieniu okręgu opisanego R wynosi
abc
S=
.
4R
8. Dany jest trójkąt o bokach 11, 12 i 13. Obliczyć długości wysokości tego trójkąta.
9. Niech rA , rB , rC oznaczają promienie okręgów dopisanych do trójkąta ABC. Wykazać, że
1
1
1
1
+
+
=
oraz rA rB rC = rp2 ,
rA rB rC r
gdzie p oznacza połowę obwodu, a r promień okręgu wpisanego w dany trójkąt.
10. Przekątne czworokąta wypukłego mają długości a, b oraz przecinają się pod kątem α.
Wyznaczyć pole tego czworokąta.
11. Dwa kąty trójkąta mają miary odpowiednio α, β oraz spełniona jest równość
sin2 α + sin2 β = sin2 (α + β) .
Dowieść, że trójkąt ten jest prostokątny.
12. Wykazać, że w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych jest równa sumie
średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.
13. Okręgi o1 i o2 przecinają się w punktach A i B. Punkt P leży na odcinku AB.
Prosta a, różna od prostej AB, przechodzi przez punkt P i przecina okrąg o1 w punktach
C i D. Prosta b, różna od prostych a i AB, przechodzi przez punkt P i przecina okrąg o2
w punktach E i F . Wykazać, że punkty C, D, E, F leżą na jednym okręgu.
14. Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach BC i AC trójkąta ABC. Odcinki AD
i BE przecinają się w punkcie P . Punkty K i L leżą odpowiednio na bokach BC i AC, przy
czym czworokąt CLP K jest równoległobokiem. Dowieść, że
AE BD
=
.
EL DK