Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe Logika rozmyta

Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe Logika rozmyta

Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe
Logika rozmyta
dr inż. Michał Bereta
Politechnika Krakowska
http://torus.uck.pk.edu.pl/~beretam/
[email protected]
1
Wyostrzanie
Ostateczna,
ostra
wartość z
Zbiór
rozmyty C
z jest C1 (0.1)
z jest C2 (0.2)
z jest C3 (0.6)
Metoda Środka Ciężkości
(Center of Gravity, Center of Area)
2
Wyostrzanie
1
Ostateczna,
ostra
wartość z
Zbiór
rozmyty C
0
a
b
z
spełnia
Metoda maksimum funkcji przynależności
3
Wyostrzanie
1
jest nazywany środkiem
(ang. Center) zbioru rozmytego
0
a
b
z
N – liczba reguł
k – numer reguły
spełnia zależność
Metoda Center Average Defuzzification
4
Wyostrzanie
1
jest nazywany środkiem
(ang. Center) zbioru rozmytego
0
a
b
z
Metoda Center of Sums Defuzzification
5
Wnioskowanie rozmyte
Wnioskowanie w stylu Mamdaniego.
Wnioskowanie w stylu Takagi - Sugeno.
6
Wnioskowanie rozmyte
Wnioskowanie w stylu Mamdaniego.
IF x jest A1
AND y jest B2
THEN z jest Z1
A1, B2 oraz Z1 są wartościami lingwistycznymi
opisywanymi za pomocą zbiorów rozmytych.
7
Wnioskowanie rozmyte
Wnioskowanie w stylu Takagi - Sugeno.
IF x jest A1
AND y jest B2
THEN z = f(x, y)
A1 oraz B2 są wartościami lingwistycznymi opisywanymi
za pomocą zbiorów rozmytych.
z przyjmuje wartość zależną od x oraz y, np. wielomian
pierwszego stopnia:
z = a*x + b*y + c
lub
stała:
z = 13
Tutaj w konkluzji reguły nie ma zbioru rozmytego!
8
Wnioskowanie rozmyte
x1, x2 – wartości ostre
Główne
etapy
wnioskowani
a rozmytego:
Rozmywanie
(Fuzzyfication)
Sprawdzenie reguł rozmytych
(Rule evaluaion)
Agregacja odpowiedzi reguł rozmytych
(Aggregation of the rule outputs)
Wyostrzanie
(Defuzzyfication)
y – wartość ostra
9
Wnioskowanie rozmyte
Reguła 1:
IF x jest A3
OR y jest B1
THEN z jest C1
Reguła 2:
IF x jest A2
AND y jest B2
THEN z jest C2
Reguła 3:
IF x jest A1
THEN z jest C3
10
Sterownik Takagi-Sugeno
...
Ogólna postać reguł
Numer reguły
Numer zmiennej wejściowej
11
Sterownik Takagi-Sugeno
Krok 1: Obliczanie stopnia aktywacji reguł
dla sygnału wejściowego (wektor stanu
obiektu):
12
Sterownik Takagi-Sugeno
Dla reguły 1 obliczamy:
oraz stopień aktywacji reguły 1:
13
Sterownik Takagi-Sugeno
Krok 2: Obliczamy odpowiedź reguły 1:
14
Sterownik Takagi-Sugeno
Powtarzamy dla każdej reguły 1 ... N:
15
Sterownik Takagi-Sugeno
Odpowiedź sterownika Takagi - Sugeno
jest znormalizowaną sumą ważoną
poszczególnych wyjść
16
Sterownik Takagi-Sugeno
W przypadku liniowym bazę reguł
sterownika można zapisać jako
dla k = 1, ..., N
17
Sterownik Takagi-Sugeno
Przykład:
18
Sterownik Takagi-Sugeno
1
MAŁE
DUŻE
x1
19
Sterownik Takagi-Sugeno
MAŁE
1
ŚREDNIE
x2
20
Sterownik Takagi-Sugeno
Wyznaczymy sygnał wyjściowy
dla
oraz
21
Sterownik Takagi-Sugeno
1
MAŁE
DUŻE
0.75
0.3
x1 = 2
x1
22
Sterownik Takagi-Sugeno
MAŁE
1
ŚREDNIE
0.7
0.2
x2 = 3
x2
23
Sterownik Takagi-Sugeno
Wyznaczymy sygnał wyjściowy
dla
oraz
Otrzymujemy:
oraz
(zamiast min może tu wystapić również iloczyn)
24
Sterownik Takagi-Sugeno
Odpowiedź reguły 1:
Odpowiedź reguły 2:
Ostateczna
odpowiedź
sterownika:
25
Funkcje aktywacji
Klasa s
26
Funkcje aktywacji
Klasa s
a = 120
b = 150
c = 180
27
Funkcje aktywacji
Klasa pi
28
Funkcje aktywacji
Klasa pi
b = 30
c = 150
29
Funkcje aktywacji
Klasa gamma
30
Funkcje aktywacji
Klasa gamma
a = 150
b = 180
31
Funkcje aktywacji
Klasa t (trójkątna)
32
Funkcje aktywacji
Klasa t (trójkątna)
a = 130
b = 150
c = 170
33
Funkcje aktywacji
Klasa L
34
Funkcje aktywacji
Klasa L
a = 150
b = 180
35
Funkcje aktywacji
Trapezoidalna
36
Funkcje aktywacji
Trapezoidalna
a = 120
b = 140
c = 160
d = 180
37
Funkcje aktywacji
Dzwonowa (ang. Bell-shaped)
a – cetrum
b – nachylenie
c - szerokość
38
Funkcje aktywacji
Dzwonowa
(ang. Bell-shaped)
a = 150
b=5
c = 20
39
Funkcje aktywacji
Dzwonowa
(ang. Bell-shaped)
a = 150
b = 20
c = 20
40
Funkcje aktywacji
Dzwonowa
(ang. Bell-shaped)
a = 150
b=5
c = 30
41
Funkcje aktywacji
Funkcja Gaussa
a – centrum
b - szerokość
42
Funkcje aktywacji
Funkcja Gaussa
a = 150
b = 20
43
Funkcje aktywacji
Funkcja Gaussa
a = 150
b = 80
44
Funkcje aktywacji
Funkcje “gładkie” są wolniejsze w
obliczeniach, jednak są różniczkowalne w
każdym punkcie dziedziny.
Jest to istotne podczas budowania
systemów neuronowo-rozmytych, które
mają być uczone metodami
gradientowymi, gdzie występuje
konieczność liczenia pochodnych
cząstkowych.
45
Przecięcia i sumy
zbiorów rozmytych
●
●
●
W przypadku przesłanek reguł z kilkoma
jednostkowymi warunkami połączonymi
operacją AND istnieje konieczność dokonania
operacji przecięcia zbiorów rozmytych (iloczyn
zbiorów rozmytych).
W przypadku wystąpienia wielu reguł z
wnioskami w postacie zbiorów rozmytych (styl
Mamdaniego) istnieje konieczność
zagregowania odpowiedzie wszystkich reguł,
czyli dokonania sumy zbiorów rozmytych.
Operacje te można zdefiniować na kilka
sposobów.
46
Przecięcia i sumy
zbiorów rozmytych
47
Przecięcia i sumy
zbiorów rozmytych
48
Przecięcia i sumy
zbiorów rozmytych
49
Przecięcia i sumy
zbiorów rozmytych
50
Przecięcia i sumy
zbiorów rozmytych
51
Przecięcia i sumy
zbiorów rozmytych
52
Przecięcia i sumy
zbiorów rozmytych
Powyższe funkcje są przykładami T-norm
oraz S-norm
53
Rozmyte implikacje
Aby przeprowadzić rozmyte wnioskowanie,
należy również zdefiniować rozmytą
implikację, czyli sposób obliczania
funckji przynależności wynikowego
zbioru rozmytego danej reguły.
54
Iloczyn skalarny
zbiorów rozmytych
lub
55
Rozmyte implikacje
Reguła typu minimum:
Reguła typu iloczyn:
Reguła Łukasiewicza:
56
Rozmyte implikacje
Reguła typu max-min (reguła Zadeha):
Reguła binarna:
Reguła Goguena:
57
Rozmyte implikacje
Reguła Sharpa:
Reguła Godela:
58
Rozmyte implikacje
Reguła probabilistyczna:
Reguła ograniczonej sumy:
59
Rozmyte wnioskowanie
Wnioskowaniem rozmytym z punktu
widzenia matematyki nazywamy złożenie
zbioru rozmytego (A') oraz rozmytej
implikacji (A → B). W wyniku
otrzymujemy również zbiór rozmyty B'.
operacja złożenia
rozmyta implikacja
60
Rozmyte wnioskowanie
Uogólniona rozmyta reguła wnioskowania modus ponens
operacja T-normy
Uogólniona rozmyta reguła wnioskowania modus tollens
61
Rozmyte wnioskowanie
Aby przeprowadzićrozmyte wnioskowanie,
należy zatem zdefiniować:
●
●
●
●
T-normę wykorzystaną w operacji złożenia
Sposób wykonywania iloczynu skalarnego zbiorów
rozmytych
Sposób wykonywania rozmytej implikacji
Sposób agregacji zbiorów rozmytych będących
wnioskami poszczególnych reguł (S-normę)
Dodatkowo:
●
Sposób rozywania
●
Sposób wyostrzania
62
Rozmyte wnioskowanie
Wszystkie te operacje się uprszaczają, jeśli
przyjętym sposobem rozmywania jest
singleton.
Singleton to zbiór rozmyty, do którego jeden
element (jedna wartość) należy w stopniu 1, a
wszystkie inne w stopniu 0.
Znacznie upraszcza to wykonanie operacji sup.
63