Lista nr 5 Ciągi liczbowe. Ciąg, jego własności i granica, definicja

Lista nr 5 Ciągi liczbowe. Ciąg, jego własności i granica, definicja

Lista nr 5
&LJLOLF]ERZH&LJMHJRZáDVQRFLLJUDQLFDGHILQLFMDOLF]E\H0HWRG\Z\]QDF]DQLDJUDQLF
Zad.1 :\SLVDüNLONDSRF]WNRZ\FKZ\UD]yZFLJXanNWyUHJRZ\UD]RJyOQ\RNUHORQ\MHVWZ]RUHP
n +1
2n + 1
1
 1
a) a n =
; b) a n =
; c) a n = ( −2) n ; d ) a n = 1 +   +  −  .
n
(2 n)!
2
 2
n
n
Zad.2 1DSRGVWDZLH]QDMRPRFLNLONXSRF]WNRZ\FKZ\UD]yZSRGDQ\FKFLJyZ]QDOH(üZ]RU\RJyOQH
W\FKFL JyZ
a)
*
*
WU]\SL
WURZHMMHGQRVWHND3=8),… Oprócz znalezienia
Z\UD]XRJyOQHJRSRZ\*V]HJRFLJXREOLF]QDFLVNG]LHVL
FLRSL
WURZHMNRQVWUXNFMLQDSRGáR*H
-DQ.RZDOVNLEXGXMFSLUDPLG
QDSLHUZV]ZDUVWZ
]X*\áFHJLHáD1 1DND*GQDVW
SQ]X*\ZDá
RFHJLHáPQLHMD2=175, a3 «2SUyF]]QDOH]LHQLDZ\UD]XRJyOQHJRSRZ\*V]HJRFLJXREOLF]LOH
ZDUVWZZ\EXGXMH.RZDOVNLPDMFGRG\VSR]\FMLFHJLHá
)LUPDEXGRZODQDEXGXMHZLH RZLHF2EOLF]RQR]HQDFLVNMHGQRSL WURZHMNRQVWUXNFMLQDSRGáR HZ\QRVL
jednostki (a1
b)
GZXSL WURZHMMHGQRVWNLD2
1 1 1
1 1 1
c ) ( a n ) = (1, , , ,...); d ) ( a n ) = (1,− , ,− ,...); e ) ( a n ) = (0,2,0,2,0,...).
4 9 16
3 5 7
Zad.3 =EDGDüPRQRWRQLF]QRüRUD]RJUDQLF]RQRüQDVW
SXMF\FKFLJyZRZ\UD]LHRJyOQ\P
a ) an =
2n + 1
n2 + 1
; b) a n = n 2 − 1; c ) a n =
; d ) a n = 2 n ; e) a n = ln n.
n(n + 1)
n!
Zad.4 2EOLF]JUDQLF
FLJXan) o wyrazie ogólnym:
a) a n =
n
4n − 3
2n 3 − 4 n − 1
4n 3 − n + 6
=
; b) a n =
; c) a n =
;
d
)
a
;
n
n +1
6 − 5n
6n + 3n 2 − n 3
2 n 3 − n 2 + 2n + 1
2 n + (−1) n
e) a n =
;
2n + 1
2
( n 20 + 2) 3
f ) an = 3
;
(n + 1) 20
(2n − 1) 3
 2n − 3 
g ) an = 
.
 ; h) a n =
(4n − 1) 2 (1 − 5n)
 3n + 1 
Zad.5 2EOLF]\üJUDQLF
FLJXan) o wyrazie ogólnym:
a) a n = n 2 + n − n; b) a n = 3n 2 + 2n − 5 − n 3; c ) a n =
n3 + 1
3
n +1 +1
5
; d ) a n = 3 n 3 + 4n 2 − n.
Zad.6 2EOLF]\üJUDQLF
FLJXan) o wyrazie ogólnym:
a) a n =
3n − 2 n
4 ⋅ 32n − 7
2 n +1 − 3 n − 2
;
b
)
a
=
;
c
)
a
=
;
n
n
4 n − 3n
5 ⋅ 9n + 2
3n+2
d ) an =
1 + 3 + ... + (2n − 1)
.
2 + 4 + ... + 2n
Zad.7 .RU]\VWDMF]WZLHUG]HQLDRWU]HFKFLJDFKREOLF]\üJUDQLF
FLJXan) o wyrazie ogólnym:
sin 2 n + 4n
 3  1 1
a ) a n = n 5 n + 4 n + 3 n ; b) a n = n   +   +   ; c ) a n =
; d ) a n = n 2n 4 + n 2 + 1.
4
2
3
3
n
−
1
     
n
n
n
Zad.8 2EOLF]\üJUDQLF
FLJXan) o wyrazie ogólnym:
 2
 n + 5
 4
a ) a n = 1 +  ; b ) a n = 
 ; c ) a n = 1 − 
 n
 n 
 n
n
n
− n+3
 n + 3
; d ) an = 

 n − 4
Zad.9 2EOLF]\üJUDQLF
FLJXan) o wyrazie ogólnym:
a) a n =
log 2 (n + 1)
log 2 n 5
9 log 3 n
; b) a n = log n ; c) a n =
.
log 3 (n + 1)
log 8 n
4 2
Literatura pomocnicza:
0*HZHUW=6NRF]\ODVÄ$QDOL]DPDWHPDW\F]QD´SU]\NáDG\L]DGDQLD
W. Krysicki, /:áRGDUVNLÄ$QDOL]DPDWHPDW\F]QDZ]DGDQLDFK´F]
üSLHUZV]D
M. Grabowski „Analiza matematyczna”
3n + 4
n2
 n2 + 6 
 .
; e) a n =  2
 n + 2