Analiza matematyczna I

Analiza matematyczna I
Michał Tryniecki
popr. i uzup. Łukasz Pawelec
20 lutego 2007
Założenia wstępne
Zakłada się znajomość materiału szkoły średniej oraz pierwszego roku przedmiotów "Matematyka" i ”Logika” wykładanych na SGH. W szczególności:
• Rachunek zbiorów i kwantyfikatorów
• Wiadomości z zakresu analizy matematycznej : ciąg, szeregi - badanie zbieżności, funkcje jednej zmiennej rzeczywistej - rachunek różniczkowy i całkowy; funkcje wielu zmiennych - granica, ekstrema
• Wiadomości z zakresu algebry liniowej - przestrzeń liniowa, baza, odwzorowanie liniowe.
Wykład 1 Zanim przystąpimy do właściwej części wykładu wypada przytoczyć trzy nierówności, które znać się po pierwsze powinno a po drugie, ułatwiają one często wiele rozumowań.
Nie przedstawiam tu ich dowodów, gdyż nie stanowią one głównych tematów naszych rozważań.
Twierdzenie 0.1 (Nierówność Jensena) Niech f - funkcja wypukła, pi > 0, xi ∈ domf ,
p1 + . . . pn = 1. Wtedy zachodzi:
f (p1 x1 + . . . + pn xn ) 6 p1 f (x1 ) + . . . + pn f (xn )
przy czym dla f ściśle wypukłej równośc zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x1 = x2 = . . . = xn .
Twierdzenie 0.2 (Nierównośc Höldera) Niech p, q > 0,
n
X
xi yi 6
i=1
n
X
!1/p
p
|xi |
i=1
n
X
1
p
+
1
q
= 1. Wtedy zachodzi:
!1/q
q
|yi |
i=1
Twierdzenie 0.3 (Nierównośc Minkowskiego) Niech p > 1. Wtedy
n
X
i=1
!1/p
p
|xi + yi |
6
n
X
i=1
1
!1/p
p
|xi |
+
n
X
i=1
!1/p
p
|yi |
1
Przestrzenie metryczne
Definicja 1.1 (metryka) Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcja
d : X × X → R+
spełniająca warunki:
1o d(x, y) = d(y, x) (symetria)
2o d(x, y) + d(y, z) > d(x, z) (nierówność trójkąta)
3o d(x, y) = 0 ⇔ x = y
nazywa się metryką. Gdy spełnione są jedynie warunki 1o i 2o , wtedy d nazywa się półmetryką.
Parę (X, d) nazywamy przestrzenią metryczną.
Przykłady:
1/2
• metryka euklidesowa(Rn , d), gdzie d(x, y) = ( ni=1 (xi − yi )2 )
Nierównośc trójkąta wynika bezpośrednio z nierówności Minkowskiego.
P
• metryka miasto (Rn , d), gdzie d(x, y) = ni=1 |xi − yi |
Nierównośc trójkąta w zasadzie oczywista
P
• metryka dyskretna (X, d), gdzie
(
d(x, y) =
0 dla x = y
1 dla x 6= y
• metryka supremum (zbieżności jednostajnej).
Zanim zaprezentujemy tę metrykę potrzebne będą nam trzy definicje.
Definicja 1.2 (średnica zbioru) Średnicą zbioru A ⊂ X gdzie (X, d) - przestrzeń
metryczna definiujemy jako:
diam A = sup d(x, y)
x,y∈X
W przypadku gdy supremum to nie jest skończone mówimy, że zbiór ma średnicę nieskończoną.
Definicja 1.3 (zbiór ograniczony) Zbiór A ⊂ X nazywamy ograniczonym,
jeśli diam A < ∞.
Definicja 1.4 Przekształcenie f : X → Y , gdzie Y - przestrzeń metryczna nazywamy
ograniczonym jeśli zbiór f (X) (czyli obraz przekształcenia f ) jest ograniczony. Zbiór
przekształceń ograniczonych z przestrzeni X do przestrzeni metrycznej (Y, dY ) oznaczamy B(X, Y ).
2
Niech f, g ∈ B(X, Y ). Określamy:
d(f, g) = sup dY (f (x), g(x))
x∈X
Wtedy (B(X, R), d) jest przestrzenią metryczną. W szczególności, gdy za Y przyjmiemy
R z metryką euklidesową otrzymamy B(X, R) - zbiór funkcji o wartościach rzeczywistych ograniczonych określonych na przestrzeni X. Metryka przyjmuje wówczas postać:
d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| dla f, g ∈ B(X, R).
x∈X
• iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych. Jeśli (Xi , di ), dla i = 1, . . . n są przestrzeniami metrycznymi, to (X, d) gdzie
X=
n
Y
Xi , d =
i=1
n
X
!1/2
d2i (xi , yi )
i=1
jest również przestrzenią metryczną. Nierównośc trójkąta wynika z nierówności Minkowskiego.
Zbiory w przestrzeni metrycznej
Definicja 1.5 (kula) Kulą (otwartą) o środku w punkcie o i promieniu r (ozn. K(o, r),
B(o, r)) definiujemy:
B(o, r) = {x ∈ X : d(o, x) < r}.
Definicja 1.6 (wnętrze zbioru) Niech A ⊂ X. Punkt a ∈ A nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A jeśli istnieje kula o środku w tym punkcie zawarta w zbiorze A. Zbiór
wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A nazywamy wnętrzem zbioru A i oznaczamy int A.
Mamy oczywiście int A ⊂ A dla każdego zbioru A.
Definicja 1.7 (zbiór otwarty) Zbiór U ⊂ X nazywamy otwartym jeśli int U = U . Uwaga:
zbiór pusty traktujemy jako otwarty.
Stwierdzenie 1.1 Kula otwarta jest zbiorem otwartym w sensie powyższej definicji.
Uwaga; proszę się zastanowić, że to faktycznie wymaga dowodu. Dowód pozostawiam jako
ćwiczenie.
Twierdzenie 1.1 Dla dowolnego zbioru A zbiór int A jest zbiorem otwartym.
Twierdzenie 1.2 Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przecięcie skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
3
Dowód:
S
Niech U = i∈I Ui , gdzie każdy ze zbiorów Ui jest otwarty. Ustalmy punkt x należący do
zbioru U . Z definicji U mamy, że dla pewnego i punkt x ∈ Ui . Ponieważ Ui jest otwarty więc
x ∈ int Ui . Istnieje więc kula K zawarta w Ui zawierająca x. Wobec tego K ⊂ U ⊃ Ui , więc
x ∈ int U , więc U jest otwarty.
T
Niech teraz U = ni=1 Ui , gdzie Ui jak wyżej. Niech x ∈ U . Wobec tego dla wszystkich i
mamy x ∈ Ui . Ponieważ Ui są otwarte więc x ∈ int Ui . Istnieją więc kule Ki zawarte w Ui
o środku w x. Niech K0 będzie kulą o najmniejszym promieniu spośród wszystkich kul Ki .
T
Wobec tego ∀i K0 ⊂ Ui , stąd K0 ⊂ Ui co daje x ∈ K0 ⊂ U , więc x ∈ int U , więc U jest
otwarty.
Definicja 1.8 (otoczenie) Otoczeniem (otwartym) punktu x ∈ X nazywamy dowolny zbiór
otwarty U taki, że x ∈ U .
Definicja 1.9 (domknięcie zbioru) Punkt x ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioru
A ⊂ X jeśli dla każdego otoczenia U punktu x mamy: U ∩ A \ {x} =
6 ∅. Jeśli x ∈ A oraz x nie
jest punktem skupienia zbioru A to x nazywamy punktem izolowanym zbioru A. Domknięciem
zbioru A nazywamy zbiór złożony z wszystkich jego punktów skupienia i punktów izolowanych
i oznaczamy cl A.
Mamy oczywiście A ⊂ cl A dla każdego zbioru A.
Definicja 1.10 (zbiór domknięty) Zbiór F ⊂ X nazywamy domkniętym jeśli cl F = F .
Uwaga: zbiór pusty traktujemy jako domknięty.
Twierdzenie 1.3 Dla dowolnego zbioru A zbiór cl A jest zbiorem domkniętym.
Twierdzenie 1.4 Niech A ⊂ X. Wtedy A otwarty wtedy i tylko wtedy gdy A0 = X \ A jest
domknięty.
Dowód:
Załóżmy, że zbiór A jest otwarty. Przeprowadzimy dowód nie wprost. Załóżmy więc, że zbiór
A0 nie jest domknięty, czyli zgodnie z definicją domkniętości mamy: A0 6= cl A0 . Ponieważ na
pewno A0 ⊂ cl A0 , więc musimy mieć: cl A0 * A0 . Stąd mamy:
∃x∈clA0 x ∈
/ A0 .
Równoważnie:
∃x∈clA0 x ∈ A.
Z otwartości zbioru A otrzymujemy:
∃x∈clA0 x ∈ int A.
To daje:
∃x∈clA0 ∃U −otwarty x ∈ U ∧ U ⊂ A.
Co oznacza, że U \ {x} ∩ A0 = ∅ i dostajemy sprzeczność z definicją domknięcia zbioru, bo
x ∈ clA0 . To kończy dowód implikacji w jedną stronę. Dowód drugiej implikacji jest podobny
- polecam jako ćwiczenie.
Definicja 1.11 (brzeg zbioru) Brzegiem zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór bdA = clA\intA.
Wniosek: Brzeg dowolnego zbioru jest zbiorem domkniętym. Wynika to z tego, że bdA =
clA ∩ (X \ intA); zbiór clA jest domknięty, a intA jest otwarty.
4