gm 3. geometria analityczna v.

GM 3. GEOMETRIA ANALITYCZNA
V.
Punkty A = (6, 4, 5), B = (4, 4, 3), C = (3, 4, 4) i D = (3, 0, 4) tworzą piramidę ABCD, której wierzchołek znajduje się w punkcie D. Piramida ta jest ostrosłupem trójkątnym.
4 pkt
1. a) Wykaż, że podstawa ABC tej piramidy jest trójkątem prostokątnym.
4 pkt
b) Narysuj piramidę w układzie współrzędnych (szkic układu obok).
5 pkt
c) Znajdź postać normalną równania płaszczyzny E zawierającą podstawę
ABC piramidy.
4 pkt
d) Oblicz objętość piramidy.
3 pkt
e) Cień piramidy na płaszczyźnie
x1 x2 powstaje przez rzut równoległy

0

w kierunku wektora 
 0 . Narysuj ten cień w układzie współrzędnych.
−1
4 pkt
f) Przez przesunięcie wierzchołka piramidy wzdłuż pewnej prostej powstają nowe piramidy
o tej samej podstawie ABC. Znajdź tę prostą, wzdłuż której przesuwano wierzchołek D, jeśli
wiadomo, że nowe piramidy rzucają taki sam cień jak piramida ABCD. Uzasadnij, dlaczego
każda z tych piramid ma taką samą objętość.
2. Prosta AD przedstawia linię lotu samolotu pasażerskiego.
sportowy leci wzdłuż

 Samolot
0

pewnej prostej, przez punkt (0, −7, 0) i w kierunku wektora 
 1 .
1
9 pkt
a) Udowodnij, że linie lotów obu samolotów się przecinają. Oblicz współrzędne punktu przecięcia się tych linii. Pod jakim kątem przecinają się te linie lotów?
7 pkt
b) Punkt B określa położenie szczytu pewnej stromej góry. W jakiej najmniejszej odległości od
szczytu góry znajdzie się samolot sportowy?
VI.
Dane są proste: g przechodząca przez punkty A = (0, 3, 0) i B = (7, 4, 5) oraz prosta h
 
 
1
7
→
 
 
h: x =  1  + λ  1  z λ ∈ .
0
5
4 pkt
1. a) Wykaż, że proste g i h leżą na tej samej płaszczyźnie E.
5 pkt
b) Znajdź postać normalną równania płaszczyzny E.
[możliwy wynik: 2x1 + x2 − 3x3 − 3 = 0]
7 pkt
c) C1 i C2 są dwoma punktami prostej h. Trójkąty ABC1 oraz ABC2 są trójkątami prostokątnymi
o kątach prostych przy wierzchołkach C1 oraz C2 . Znajdź współrzędne obu punktów: C1 i C2 .
(Punkt o współrzędnych będących liczbami całkowitymi to C1 ).
[odpowiedź: C1 = (1, 1, 0)]
4 pkt
d) Narysuj proste g, h oraz trójkąt ABC1 w układzie współrzędnych. (szkic
układu obok)
3 pkt
e) Uzasadnij, nie wykonując obliczeń, że punkt N wyznaczony przez wek−−→
−−→ −−→
tor ON = 1 (OA + OB) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC1 .
2
2. Trójkąt ABC1 jest podstawą piramidy będącej ostrosłupem trójkątnym o wierzchołku w
punkcie S. M jest środkiem boku AC1 trójkąta.
5 pkt
a) O punkcie S wiadomo, że: długość odcinka MS wynosi 4 i odcinek ten jest prostopadły do
płaszczyzny x1 x2 , trzecia współrzędna x3 punktu S jest dodatnia.
Wyznacz współrzędne punktu S oraz zaznacz punkt M i narysuj piramidę na rysunku z zadania
1d.
[odpowiedź: S = (0, 5; 2; 4)]
8 pkt
b) Uzasadnij, że trójkąt C1 AS jest symetryczny do siebie względem osi i oblicz miary kątów
tego trójkąta.
4 pkt
c) Oblicz wysokość piramidy ABC1 S.