teoria

Interpolacja Lagrange'a
Niech πn oznacza zbiór
Pn (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn .
wielomianów
stopnia
co
najwy»ej
n:
Twierdzenie Dla dowolnych n + 1 punktów w¦zªowych (xi , fi ), i =
0, 1, . . . , n, xi 6= xk dla i 6= k istnieje dokªadnie jeden wielomian P ∈ πn
taki, »e P (xi ) = fi dla i = 0, 1, . . . , n.
Konstrukcja wielomianu: aby wskaza¢ ten wielomian konstruujemy wielomiany interpolacyjne Lagrange'a Li ∈ πn (i = 0, 1, . . . , n) o wªasno±ci:
(
Li (xk ) = δik =
1 dla i = k
0 dla i 6= k
›¡danie to speªniaj¡ wielomiany:
Li (x) =
(x − x0 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn )
ω(x)
≡
,
(xi − x0 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn )
(x − xi )ω 0 (xi )
gdzie ω(x) =
n
Q
(x − xi ). Wielomiany te s¡ okre±lone jednoznacznie.
i=0
Zatem wzór interpolacyjny Lagrange'a to:
P (x) =
n
X
fi Li (x) =
n
X
i=0
fi
i=0
n
Y
x − xk
.
k=0,k6=i xi − xk
Pytanie: z jak¡ dokªadno±ci¡ mo»na wyznaczy¢ warto±¢ funkcji poza
punktami w¦zªowymi?
Twierdzenie Je±li funkcja f jest (n+1)-krotnie ró»niczkowalna, to dla
ka»dego x istnieje liczba ξ z najmniejszego przedziaªu I[x0 , x1 , . . . , xn , x] zawieraj¡cego wszystkie te punkty taka, »e
f (x) − P (x) =
ω(x)f (n+1) (ξ)
,
(n + 1)!
gdzie ω(x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ).
Przykªad: z jak¡ dokªadno±ci¡ mo»na wyznaczy¢ warto±¢ ln(103) maj¡c
dane: x0 = 100, x1 = 102, x2 = 104, x3 = 106?
| ln(103) − P (103)| = |f (103) − P (103)|
(103 − 100)(103 − 102)(103 − 104)(103 − 106) 4
≤ |
||f (ξ)|
4!
6
9 1
9
max | 4 | =
≤
24 ξ∈[100,106] ξ
4 108
1
Pytanie: czy dokªadno±¢ interpolacji wzrasta wraz ze wzrostem liczby
w¦zªów (a zatem i wraz ze wzrostem maksymalnego rz¦du wielomianu interpolacyjnego)?
Odpowied¹ na to pytanie jest szczególnie istotna w przypadku, gdy w¦zªy
oraz warto±ci w w¦zªach zdobywamy na drodze eksperymentu, gdy» wiemy,
czy warto dokona¢ wi¦kszej liczby pomiarów. W przypadku, gdy mamy
ju» wszystkie niezb¦dne dane, mo»emy zdecydowa¢, jak wiele z nich nale»y
wykorzysta¢.
Okazuje si¦, wbrew intuicji, »e wcale tak nie musi by¢. Zwi¦kszanie
rz¦du wielomianu powoduje wprawdzie popraw¦ dokªadno±ci przybli»enia w
±rodku rozpatrywanego przedziaªu, natomiast przy jego ko«cach zaobserwowa¢ mo»na znaczne pogorszenie. Zjawisko to, zwane zjawiskiem Rungego,
jest szczególnie widoczne w przypadku w¦zªów równoodlegªych oraz funkcji
interpolowanych, których wykresy znacznie ró»ni¡ si¦ od wykresów wybieranych wielomianów interpolacyjnych.
Jak zatem zapobiec temu zjawisku?
Aby zminimalizowa¢ bª¡d interpolacji najlepiej jako w¦zªy przyj¡¢
w¦zªy Czebyszewa:
zm = cos(
2m + 1
π), m = 0, 1, . . . , n.
2n + 1
W przedziale [a,b] warto±ci w¦zªów Czebyszewa uzyskujemy dzi¦ki nast¦puj¡cemu przeksztaªceniu:
1
xm = [(b − a)zm + (a + b)], m = 0, 1, . . . , n.
2
2