Zadania_1_R. Różański

I. KOMBINATORYKA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Ile można utworzyć liczb czterocyfrowych z cyfr nieparzystych? Jak zmieni się ta liczba, gdy
przyjmiemy, że cyfry nie mogą się powtarzać?
Ile można utworzyć liczb czterocyfrowych z cyfr parzystych jeśli cyfry mogą się powtarzać?
Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych zaczynających się od 1 lub 2, jeśli cyfry nie mogą
się powtarzać?
Ile nastąpi powitań przez podanie ręki, jeśli jednocześnie spotka się 5 znajomych?
W ilu punktach przecina się 10 prostych leżących na jednej płaszczyźnie, jeśli żadne trzy nie
przecinają się w jednym punkcie i nie ma prostych równoległych?
W ilu punktach przecina się 9 prostych leżących na jednej płaszczyźnie, jeśli żadne 3 nie
przecinają się w jednym punkcie i 4 z nich są jednocześnie do siebie równoległe?
Na ile sposobów można ułożyć obok siebie na półce 7 książek, jeśli 3 z nich będą zawsze stać
obok siebie w ustalonej kolejności?
Winda zatrzymuje się na 6 piętrach. Na ile sposobów może opuścić windę
a) 6 osób, każda na innym piętrze,
b) 4 osoby każda na innym piętrze,
c) 4 osoby w dowolny sposób?
II. ZDARZENIA LOSOWE
W doświadczeniu polegającym na rzucie kostką do gry opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych
i zdarzenie A polegające na wyrzuceniu liczby oczek równej co najmniej 3.
2. Rzucamy 2 razy kostką do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych, zdarzenie A
polegające na tym, że suma liczby oczek jest parzysta oraz zdarzenie B polegające na tym, że
suma oczek jest niewiększa niż 4. Opisać A , B , A B, A B, A\B, B\A.
3. Rzucamy 1 raz dwoma identycznymi kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
elementarnych, zdarzenie A polegające na tym, że na obu kostkach jest ta sama liczba oczek,
zdarzenie B polegające na tym, że liczba oczek na jednej kostce jest większa niż na drugiej
oraz zdarzenie C polegające na tym, że na obu kostkach wyrzucono różną liczbę oczek.
4. W urnie znajduje się 5 kul białych 3 czarne i 7 zielonych.
a. losujemy 3 kule na raz,
b. losujemy 3 kule po kolei
W obu przypadkach opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych, zdarzenie A polegające na tym,
że każda wylosowana kula ma inny kolor oraz zdarzenie B polegające na tym, że dokładnie 2
kule są takie same.
5. Doświadczenie polega na rzucie strzałką do tarczy z kołami o wspólnym środku oraz
promieniach równych 1,2,...,10. Zdarzenie Ai polega na trafieniu do koła o promieniu i. Co
1.
4
10
oznaczają zdarzenia A= i 1 Ai oraz B= i 5 Ai ?
6. Zad 1.1.4*
7. Zad 1.1.5*
8. Zad 1.1.6*
* Jasiulewicz H., Korecki W. „Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna – przykłady i zadania”.
Wydawnictwo GiS, Wrocław 2003
III. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE
Zad 1.2.3*
Zad 1.2.4*
Zad 1.2.6*
Zad 1.2.9*
W urnie znajduje się 6 kul białych i 4 zielone. Losujemy kolejno i bez zwracania trzy kule.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pierwsza i trzecia kula są takiego samego koloru
6. Rozwiązać zadanie 5, gdy w urnie będą 2 kule zielone.
7. Mamy 2 urny. W pierwszej są 4 kule białe i 5 zielonych, a w drugiej 2 białe i 3 zielone.
Rzucamy symetryczną monetą. Jeśli wypadnie orzeł, losujemy 2 kule z urny pierwszej. W
przeciwnym razie losujemy 2 kule z urny drugiej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wszystkie kule są tego samego koloru?
8. Mamy 2 urny. W pierwszej są 3 kule białe i 4 zielone, a w drugiej 2 białe i 5 zielonych.
Rzucamy symetryczną kostką do gry. Jeśli wypadną co najmniej 3 oczka, losujemy 2 kule z
urny pierwszej. W przeciwnym razie losujemy 2 kule z urny drugiej. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że pierwsza z nich ma kolor biały?
1.
2.
3.
4.
5.
IV. PRAWDOPODOBIEŃSTWO GEOMETRYCZNE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Na odcinku [0,3] wylosowano punkt x. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma długości
połowy tego odcinka oraz odcinka o długości jeden jest większa niż 3?
Na odcinku [0,1] wybrano losowo punkt x. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z odcinków o
długości x, 2-x oraz 1/2 można zbudować trójkąt?
Na odcinku o długości d wybrano losowo punkt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tak
powstałych odcinków oraz z odcinka o długości d/2 można zbudować trójkąt?
Na odcinku [0,1] wybrano losowo i niezależnie punkty x oraz y. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że z tak powstałych odcinków można zbudować trójkąt, jeśli x < y?
Na odcinku [0,1] wybrano losowo i niezależnie punkty x oraz y. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że środek odcinka xy należy do odcinka [0,1/3]?
1.2.17*
1.2.18*
* Jasiulewicz H., Korecki W. „Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna – przykłady i zadania”.
Wydawnictwo GiS, Wrocław 2003