Zadania z Algebry z Geometrią Zestaw uzupełniający 1. 1. Dla

Zadania z Algebry z Geometrią
Zestaw uzupełniający 1.
1. Dla różnowartościowego ciągu liczb zespolonych z1 , z2 , z3 oznaczamy
d(z1 , z2 , z3 ) = (z1 − z2 )/(z1 − z3 ). Wykazać, że jeśli d(z1 , z2 , z3 ) jest liczbą
rzeczywistą, to liczby z1 , z2 , z3 leżą na jednej prostej na płaszczyźnie liczb
zespolonych, a w przeciwnym przypadku leżą na jednym okręgu.
2. Zwijając sumę 1 + z + z 2 + . . . + z n dla z = eiφ wykazać, że
sin[(n + 1/2)φ]
1
+ cos φ + cos(2φ) + . . . + cos(nφ) =
.
2
2 sin(φ/2)
Znaleźć analogiczne wyrażenie dla sumy
sin φ + sin(2φ) + . . . + sin(nφ).
3. Rozwiązać (w liczbach zespolonych) równania
a) x4 + x2 + 1 = 0,
b) (5 − 5i)x2 − (3 − 2i)x + 1 = 0,
c) x3 = 5,
d) x3 = −i.
1