Wykład 2 o metodzie residuów ważonych

Metoda residuów ważonych
Piotr Pluciński, Jerzy Pamin
Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Metoda residuów ważonych
Sformułowanie mocne - model lokalny
A(x)y 00 (x) + B(x)y 0 (x) + C(x)y(x) = D(x) ,
x ∈ (xa , xb )
+ (przykładowe) warunki brzegowe
y(xa ) = b
a – podstawowy warunek brzegowy (Dirichleta)
y 0 (xb ) = bb – naturalny warunek brzegowy (Neumanna)
Aproksymacja funkcji
ỹ = φ0 +
n
X
φi ci = φ0 + φc
i=1
φi – (znane) funkcje bazowe, ci – (nieznane) współczynniki
Residuum
R(x) = A(x)ỹ 00 (x) + B(x)ỹ 0 (x) + C(x)ỹ(x) − D(x)
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Metoda residuów ważonych
Minimalizacja residuum
Z
xb
w(x)R(x)dx = 0 ∀w
xa
w(x) 6= 0 – funkcja wagowa
Z xb
w(x) (A(x)ỹ 00 (x) + B(x)ỹ 0 (x) + C(x)ỹ(x) − D(x)) dx = 0
xa
Różne metody residuów ważonych zależnie od funkcji wagowej w(x)
metoda kollokacji – wi = δ(x − xi )
metoda najmniejszych kwadratów – wi =
dR
dci
metoda Bubnowa-Galerkina – wi = φi
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Metoda residuów ważonych
Sformułowanie słabe - model globalny (∀w 6= 0)
Z
xb
w(x) (A(x)ỹ 00 (x) + B(x)ỹ 0 (x) + C(x)ỹ(x) − D(x)) dx = 0
xa
xb
Z
w(x)A(x)ỹ 00 (x)dx+
xa
xb
Z
0
Z
xb
xa
xa
xb
w(x)C(x)ỹ(x)dx −
w(x)B(x)ỹ (x)dx +
+
Z
w(x)D(x)dx = 0
xa
xb Z xb
Z xb
0
0
w(x)A0 (x)ỹ 0 (x)dx+
w(x)A(x)ỹ (x) −
w (x)A(x)ỹ (x)dx −
xa
xa
xa
Z xb
Z xb
Z xb
0
w(x)B(x)ỹ 0 (x)dx +
+
xa
w(x)C(x)ỹ(x)dx −
xa
w(x)D(x)dx = 0
xa
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Metoda residuów ważonych
Sformułowanie słabe - model globalny (∀w 6= 0)
xb Z xb
Z xb
0
0
w(x)A(x)ỹ (x) −
w (x)A(x)ỹ (x)dx −
w(x)A0 (x)ỹ 0 (x)dx+
xa
xa
xa
Z xb
Z xb
Z xb
0
w(x)B(x)ỹ 0 (x)dx +
+
xa
w(x)C(x)ỹ(x)dx −
xa
w(x)D(x)dx = 0
xa
bb
Z
0
0
xb
w(xb )A(xb ) ỹ (xb ) − w(xa )A(xa )ỹ (xa ) −
w0 (x)A(x)ỹ 0 (x)dx+
xa
Z
xb
0
Z
0
xb
w(x)[B(x)−A (x)]ỹ (x)dx+
+
xa
Z
xb
w(x)C(x)ỹ(x)dx−
xa
w(x)D(x)dx = 0
xa
+ podstawowy warunek brzegowy
y(xa ) = b
a
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Przykładowe sformułowanie - przepływ ciepła 1D
Ilość ciepła
Q
[J]
ilość energii cieplnej
Strumień przepływu ciepła (heat flux)
H=
∂Q
∂t
[J/s=W]
ilość ciepła na jednostkę czasu
Gęstość strumienia przepływu ciepła
∂H
[W/m2 ]
dla 1D: H(x) = A(x)qx (x)
∂A
strumień przepływu ciepła na jednostkę powierzchni
qn =
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Przykładowe sformułowanie - przepływ ciepła 1D
T
T
T (x)
T (x)
0
x
l
A(x)
0
l
x
dx
f (x) [J/ms] – źródło ciepła
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Przykładowe sformułowanie - przepływ ciepła 1D
T
T
T (x)
T (x)
0
l
dx
A(x)
x
0
l
x
f (x) [J/ms]
A(x)
H
A(x + dx)
Prawo Fouriera (H = Aqx )
H + dH
dx
f (x)
dH
H + f dx = H + dH ⇒
=f
dx
dT
dx
k – współczynnik przewodnictwa
cieplnego
d
dT
−
Ak
=f
dx
dx
qx = −k
dla Ak = const
d2 T
Ak 2 + f = 0
dx
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 x=l
x=0
Przykładowe sformułowanie - przepływ ciepła 1D
x
Model lokalny (sformułowanie mocne)
dT
d
Ak
dx
dx
!
+f =0
+ warunki brzegowe
dT
q(x = 0) = − k
dx
!
= qb
naturalny w.b. (Neumanna)
x=0
T (x = l) = Tb
podstawowy w.b.(Dirichleta)
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Przykładowe sformułowanie - przepływ ciepła 1D
Model globalny (sformułowanie słabe)
d
dT
Ak
dx
dx
Z
l
w
0
Z
0
l
d
dT
Ak
dx
dx
Z l
+ f = 0 · w
0
d
dT
w
Ak
dx
dx
+f
dx = 0,
∀w 6= 0
l
Z
wf dx = 0
dx +
0
l Z l
Z l
dw
dT
Ak
dx +
wf dx = 0
−
dx
dx
0
0
0
Z l
dw
dT
Ak
dx = −(wAqx )
+ (wAqx )
+
wf dx = 0
dx
dx
0
dT
wAk
dx
Z
0
l
x=l
x=0
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Przykładowe sformułowanie - przepływ ciepła 1D
Model lokalny (sformułowanie silne)
d
dT
Ak
dx
dx
!
dT qx (x = 0) = − k
= qb
dx !
+f =0
w.b. Neumanna (naturalny)
x=0
T (x = l) = Tb
w.b. Dirichleta (podstawowy)
Model globalny (sformułowanie słabe)
!
Z l
dw
dT
Ak
dx = −(wAqx )
dx
0 dx
x=l
T (x = l) = Tb
+ (wA)
Z
qb +
x=0
l
wf dx = 0
0
podstawowy w.b. (Dirichleta)
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Przykład
Wyprowadzenie sformułowania słabego dla zagadnienia 1D
Sformułowanie mocne
qb = − 14
T 00 − x2 = 0
Tb = 1
T (3) = 1
A=2
k = 12
T 0 (0) =
1
2
T
x
f (x) = −x2
+ warunki brzegowe
1
1
qx (0) = − T 0 (0) = −
2
4
b
T (3) = T = 1
Sformułowanie słabe
Z
3
w T 00 − x2 dx = 0 ∀w
0
Z 3
Z 3
0 0
0
0
−
w T dx + w(3)T (3) − w(0)T (0) −
wx2 dx = 0
0Z
Z0 3
3
1
w0 T 0 dx = w(3)T 0 (3) − w(0) · −
wx2 dx
2
0
0
+ warunek brzegowy T (3) = 1
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015