elektrostatyka

elektrostatyka
ver-28.06.07
ładunek
• ładunek elementarny
e = 1.60 ⋅ 10 −19 C
• zasada zachowania ładunku
• siła (centralna, zachowawcza)
prawo Coulomba:
q1q 2
F~ 2
r
dwa ładunki punktowe w próżni:
stała absolutna
r
F=
1 q1q 2 r
e12
2
4πε 0 r
ε 0 ≅ 8.85 ⋅ 10 −12
F
m
ε0 – stała
t ł elektryczna
l kt
( b l t )
(absolutna)
siła Coulomba
r
F =
1 q 1q 2 r
e 12
2
4πε 0 r
Charles
Ch
l Augustin
A
ti de
d Coulomb
C l b
(1736 – 1806)
pole elektryczne
E
F
q'
er
r
F=
q
natężenie pola elektrycznego:
w przypadku
dk ładunku
ł d k punktowego:
kt
1 qq ′ r
e12
4πε 0 r 2
r
r def F
E=
q′
r
E=
r
r
F = q ′E
1
q r
er
2
4πε 0 r
zasada superpozycji pól
r
r
E tot = ∑ E i
i
r
r
F = q ′E tot
linie pola:
E
doświadczenie
Millikana (1911)
eE
e=
mg
mg mgd
=
E
V
e = 1.60 ⋅ 10 −19 C
Robert Andrews Millikan
(1868-1953)
1923
http://www68.pair.com/willisb/millikan/experiment.html
y
dwa elektrony
G ≅ 6.67 ⋅ 10
− 11
Nm2
kg
C2
ε 0 ≅ 8.9 ⋅ 10
Nm2
me ≅ 9.11 ⋅ 10 − 31kg
− 12
z
Fgr
Fel
x
e ≅ 1.6 ⋅ 10 -19 C
2
Gme
Fgr =
r2
1 e2
Fel =
4πε 0 r 2
Fel
1 e2
42
0
.
4
10
=
≅
⋅
Fgr 4πε 0G me2
m1 = m 2 = 1kg
q1 = q 2 = 1C
Fel
≅ 1.3 ⋅ 10 20
Fgr
praca w polu elektrycznym
dr
q'
2
r r 2
W = ∫ Fds = ∫ F cos α ds = ∫ Fdr
2
α ds
1
r1
1
1
r2
qq ′ dr
qq ′ ⎛ 1 1 ⎞
⎜⎜ − ⎟⎟
W =∫
=
2
4πε 0 ⎝ r1 r2 ⎠
r1 4πε 0 r
r2
q
E pel =
qq ′
+ const
4πε 0 r
energia elektrostatyczna
(potencjalna)
pole elektrostatyczne jest zachowawcze...
potencjał
potencjał:
E pel
ϕ=
q′
def
np. dla ładunku punktowego:
superpozycja pól:
ϕ=
∑ϕi
i
r
E =
1 q r
er
2
4πε 0 r
r
∂ϕ r
E=−
er
∂r
E pel
1 q
=
ϕ=
q′
4πε 0 r
związek między E i ϕ
r r
∫ F ⋅ ds = q (ϕ 1 − ϕ 2 )
2
1
r r
∫ E ⋅ ds = ϕ 1 − ϕ 2
2
→
1
dϕ
Es = −
ds
def
U = ϕ2 − ϕ1
napięcie
spadek potencjału na jednostkę
r
przemieszczenia w kierunku ds
np dla ładunku punktowego:
np.
ogólniej:
Er = −
dϕ
dr
r
⎛ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎞
E = − gradϕ = − ⎜
, , ⎟
⎝ ∂x ∂y ∂ z ⎠
ϕ = ϕ (x , y , z )
na powierzchni ekwipotencjalnej przemieszczenie nie wymaga pracy
np.
np
np. dla ładunku punktowego:
∂ϕ
q x⎫
=−
∂x
4πε 0 r 3 ⎪
⎪
∂ϕ
q y⎪
=−
⎬
∂y
4πε 0 r 3 ⎪
∂ϕ
q z⎪
=−
∂z
4πε 0 r 3 ⎪⎭
ϕ=
1 q
1
=
4πε 0 r 4πε 0
r
E=
q
(x , y , z )
q
x 2 + y 2 + z2
4πε 0
r3
r
q r
1 q r
=
=
er
3
2
4πε 0 r
4πε 0 r
zgadza się…
dipol
l
r+ = r − cos ϑ
2
l
r− = r + cos ϑ
2
E
rr >> l
r+
r
l
-q
q
r
ϕ (r ) =
q r− − r+
1 ⎛q q⎞
⎜⎜ − ⎟⎟ =
4πε 0 ⎝ r+ r− ⎠ 4πε 0 r− r+
oś dipola
ϑ
+q
r− − r+ = l cos ϑ
l2
r− r+ = r − cos 2 ϑ ≈ r 2
4
2
dipol (cd.)
(cd )
r r
r r
r
q l cos ϑ
q l ⋅ er
1 p ⋅ er
=
=
ϕ (r ) =
4πε 0 r 2
4πε 0 r 2
4πε 0 r 2
moment elektryczny dipola:
ϕ (r ,ϑ ) =
1 p cos ϑ
4πε 0 r 2
r
r def
p = q⋅l
(maleje szybciej niż
w przyp. ładunku punktowego)
t ż i ?
a natężenie?
Er = −
Eϑ = −
1 zp cos ϑ
∂ϕ
=
∂r 4πε 0
r3
E (r ,ϑ ) = E r2 + Eϑ2
∂ϕ
1 p sinϑ
=
r∂ϑ 4πε 0 r 3
=
1
1
p
2
1
3
cos
~
+
ϑ
L
4πε 0 r 3
r3
też…
oczy?
dipol w zewnętrznym polu
moment sił:
+q
α
E
-q
równowaga trwała
r
r
M = qE l sin α ⋅ e ⊗
r r
= p×E
równowaga nietrwała
pole dowolnego układu ładunków
r
ϕ (r ) =
z daleka...
daleka
r r
r − ri
qi
r
ri
qi
∑r r
4πε 0 i r − ri
r r
r r
r r r
r
⎛
i ⋅ er ⎞
r − ri = r − r i ⋅ e r = r ⎜ 1 −
⎟
r
⎝
⎠
r
r
ri << r
r
ϕ (r ) =
≅
1
≅ 1+ x
1− x
1
=
1
4πε 0
1
4πε 0
1
1
r r
r ⋅e
1− i r
r
r r
qi ⎛
ri ⋅ e r ⎞
1
+
⎟
⎜
∑r
r ⎠
i
⎝
r r
(
∑ q i + 1 ∑ q i ri ) ⋅ e r + L
r
4πε 0
r2
qi
∑
4πε 0 i r
= monopol + dipol + … wyższe multipole
multipole
ϕ (r)
monopol
1
~
r
dipol
1
~ 2
r
kwadrupol
1
~ 3
r
oktupol
1
~ 4
r
itd... wyższe multipole
własności pól
wektorowych
pole skalarne
pole skalarne:
ϕ = ϕ (x , y , z )
⎛ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎞
grad ϕ = ⎜
, , ⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
def
gradient pola:
przyrost funkcji:
f k ji
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dϕ =
d +
dx
d +
dy
d
dz
∂x
∂y
∂z
przy elementarnym
przemieszczeniu:
r
dl = (dx , dy , dz )
czyli:
li
r
dϕ = grad
d ϕ ⋅ dl
(iloczyn skalarny wektorów)
pole wektorowe
r r
E = E (x , y , z )
= ( E x ( x , y , z ), E y ( x , y , z ), E z ( x , y , z ) )
strumień pola:
α
r r
dΦ = E ⋅ dS
def
r r
Φ = ∫ E ⋅ dS
E
S
= ∫ E cos α dS = ∫ E n dS
S
dS
S
S
r def
r
dS = dSe n
r
e n – wersor ⊥ dS
r r
dV
NB: analogia do pola wektorowego prędkości cieczy: Δ Φ =
= v ⋅ dS
dt
dywergencja
r
r
∫ E ⋅ dS
znika chyba że obszar zawiera źródła
znika,
S
r def
Φ
1 r r
divE = lim = lim ∫ E ⋅ dS
V →0 V
V →0 V
S
( i zależy
(nie
l ż od
d powierzchni)
i
h i)
skalarna
k l
funkcja
f k j pola
l
dywergencja dodatnia
(ź ódł pola)
(źródła
l )
dywergencja zerowa
( l przepływa)
(pole
ł
)
dywergencja ujemna
( l
(zlew
pola)
l )
dywergencja (cd
(cd.))
r
Φ ≈ V divE
Φ
(x)
⎛ ∂E x ⎞
=⎜
⎟ dy dz
∂
x
⎝
⎠
strumień
t
i ń w ki
kierunku
k x
z
⎛ ∂E x ∂ E y ∂E z ⎞
⎟⎟ ΔV
+
+
Φ = ⎜⎜
∂z ⎠
∂y
⎝ ∂x
dV
dz
r ∂ E x ∂E y ∂E z
+
divE =
+
∂x
∂y
∂z
dy
dx
y
x
twierdzenie Gaussa
znając dywergencję pola wektorowego w każdym
punkcie obszaru można znaleźć strumień tego
pola przez powierzchnię ograniczającą obszar:
r
r
r
∫ E ⋅ dS = ∫ divEdV
S
V
Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
rotacja
E
całka po konturze zamkniętym Γ :
r r
∫ E ⋅ dl
Γ
- cyrkulacja
Γ
⎛ r r⎞
⎜ ∫ v ⋅ dl ⎟
⎠
⎝Γ
r
rotE
(
)
n
1 r r
= lim ∫ E ⋅ dl
S →0 S
Γ
def
(nie zależy od konturu)
wektorowa funkcja pola
rotacja cd.
cd
z
dS
(
dz
dy
x
(rotE)x
r
rotE
)
x
∂E y
⎛ ∂E
= ⎜⎜ z −
∂z
⎝ ∂y
⎞ dydz
⎟⎟
⎠ dS
y
r ⎛ ∂ E z ∂ E y ∂ E x ∂E z ∂E y ∂ E x
−
rottE = ⎜⎜
,
−
,
−
∂z ∂ z
∂y
∂ x ∂x
⎝ ∂y
⎞
⎟⎟
⎠
twierdzenie Stokesa
znając rotację pola wektorowego w każdym punkcie
obszaru można znaleźć cyrkulację tego pola wzdłuż
konturu zamkniętego ograniczającego ten obszar:
r r
r r
∫ E ⋅ dl = ∫ rot E⋅ dS
Γ
S
(strumień rotacji)
Sir George Gabriel Stokes (1819 – 1903)
operator nabla
r
⎛ ∂ ϕ ∂ϕ ∂ ϕ ⎞
∇ϕ = ⎜
, , ⎟ = gradϕ
⎝ ∂ x ∂y ∂ z ⎠
r
r r ∂ E x ∂ E y ∂E z
∇⋅E =
+
+
= divE
∂x
∂y
∂z
r def ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
∇ =⎜ , , ⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
r r ⎛ ∂ E z ∂ E y ∂ E x ∂ E z ∂ E y ∂E x
∇ × E = ⎜⎜
,
,
−
−
−
∂ z ∂z
∂x ∂ x
∂y
⎝ ∂y
r
div rotE = 0
(
rot (gradϕ ) = ∇ × (∇ ϕ ) = (∇ × ∇ )ϕ = 0
Gauss:
r
r
∫ E ⋅ dS =
S
V
)
Stokes:
r
∇ ⋅ E dV
∫(
r
⎞
⎟⎟ = rottE
⎠
)
r r
∫ E ⋅ dl =
Γ
r
r
∇ × E ⋅ dS
∫(
S
)
twierdzenia o polu
p
elektrostatycznym
r
E = −∇ ϕ
więc:
r
rot E = ∇ × (− ∇ϕ ) = 0
r
rot E = 0
pole jest bezwirowe (bo potencjalne)
Stokes:
r r
∫ E ⋅ dl = 0
Γ
Gauss:
r r
r
∫ E ⋅ ds = ∫ divE dV
S
V
?
przykład
r
r
r
Φ = ∫ E ⋅ dS = 4π r 2 E (r )
q
S
= 4π r 2
ogólnie:
ól i
1
q
q
=
4πε 0 r 2 ε 0
r r
Φ = ∫ E ⋅ dS =
S
∑ qi
i
ε0
prawo Gaussa
r r
Φ = ∫ E ⋅ dS =
S
def
ρ=
dq
dV
Gauss: strumień natężenia pola
elektrostatycznego przez dowolną
powierzchnię zamkniętą równy jest
sumie
i ładunków
ł d kó obejmowanych
b j
h
przez tę powierzchnię razy 1/ε0.
∑ qi
i
ε0
- gęstość objętościowa ładunku
∑ qi
i
V
r 1
r
∫ E ⋅ dS = ∫ ρ dV
postać całkowa:
ε0 V
S
postać różniczkowa:
r ρ
divE =
r r
r
∫ E ⋅ d S = ∫ divE dV
S
= ∫ ρ dV
V
ε0
lub:
r ρ
∇E =
ε0
koniec
oddziaływanie molekularne
ϕ((r))
r
10-10 m
0
r