Analiza Matematyczna 1 dla Matematyki WPPT, lista 2 Zadanie 1

Analiza Matematyczna 1 dla Matematyki WPPT, lista 2
Zadanie 1. Na wykładzie było udowodnione, że każdy ograniczony podzbiór N ma element największy.
Wykaż, że ma też element najmniejszy. Zastanów się, dlaczego ten fakt jest równoważny zasadzie indukcji.
Podaj przykład ograniczonego podzbioru liczb rzeczywistych, w którym nie ma ani liczby najmniejszej,
ani największej. A jak to jest dla podzbiorów Z?
Zadanie 2. Przypomnijmy, że dla x ∈ R określamy moduł czyli wartość bezwzględną x wzorem
(
|x| =
x,
−x,
gdy x ­ 0,
gdy x < 0.
Wykaż, że dla wszystkich a, b ∈ R mamy −|a| ¬ a ¬ |a| oraz |ab| = |a||b|. Sprawdź na przykładach, że
może ale nie musi zachodzić równość |a + b| = |a| + |b|. Przy jakim warunku równość zachodzi?
Zadanie 3. Oznaczmy przez max(a, b) większą (dokładniej: nie mniejszą) z liczb a, b, a przez min(a, b)
mniejszą z tych liczb. Sprawdź, że
a + b + |a − b|
max(a, b) =
2
i spróbuj znaleźć podobny wzór na min(a, b).
Zadanie 4. Stosując Zasadę indukcji, udowodnij prawdziwość poniższych wzorów:
a) 1 + 2 + 3 + ... + n = 12 n(n + 1),
b) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 16 n(n + 1)(2n + 1),
c) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 ,
n+1
d) 1 + q + q 2 + q 3 + ... + q n = q q−1−1 dla q 6= 1.
Zadanie 5. Udowodnij nierówność Bernoulliego: dla każdego n ∈ N oraz wszystkich x ­ −1
(1 + x)n ­ 1 + nx.
Kiedy w tej nierówności zachodzi równość?
Zadanie 6. a) Wykaż, że n prostych przechodzących przez ustalony punkt dzieli płaszczyznę na n + 1
obszarów. b) Wykaż, że dla n ­ 5 zachodzi nierówność n! > 2n .
√
√
Zadanie 7. Udowodnij, że liczby 5 oraz 3 2 są niewymierne.
Zadanie 8. (nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną i średnią geometryczną)
a) Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x, y > 0 zachodzi nierówność
x+y √
­ xy.
2
b) Korzystając z indukcji wykaż, że dla dodatnich x1 , x2 , ..., x2n i wszystkich n zachodzi nierówność
√
x1 + x2 + ... + x2n
2n
­
x1 x2 ...x2n .
2n
c)* Indukcja wsteczna: wiedząc, że nierówność pomiędzy średnimi zachodzi dla n + 1 liczb, wykaż, że
zachodzi też dla n liczb.
Wskazówka: Mając dane liczby dodatnie x1 , x2 , ..., xn+1 , podstaw w nierówności o średnich y1 = x1 , ys =
x2 , ..., yn = xn oraz yn+1 = n1 (x1 + ... + xn ).
d) Wywnioskuj z poprzednich punktów, że nierówność pomiędzy średnimi jest prawdziwa dla dowolnych
n liczb nieujemnych.
e) Kiedy w nierówności pomiędzy średnimi zachodzi równość?
Zadanie 9. Dla dodatnich x1 , ..., xn liczbę
n
1
+...+ x1
x1
n
nazywamy ich średnią harmoniczną.
Korzystając z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną wykaż, że średnia harmoniczna
liczb dodatnich nigdy nie przewyższa ich średniej harmonicznej.
√
√
Zadanie 10. Suma i iloczyn liczb wymiernych są liczbami wymiernymi. Oczywiście 2 + (− 2) = 0. A
czy suma dodatnich liczb niewymiernych może być liczbą wymierną? A może być niewymierną? A jak
to jest dla iloczynu?