niepewność pomiaru, rozkłady zmiennych losowych modelujących

Materiały XXXVI Międzyuczelnianej Konferencji Metrologów MKM’04
_________________________________________________________________________________
Janusz M. JAWORSKI
Politechnika Opolska
NIEPEWNOŚĆ POMIARU, ROZKŁADY ZMIENNYCH
LOSOWYCH MODELUJĄCYCH BŁĘDY POMIARU
Przedstawiono istotę opisu niedokładności pomiaru za pomocą niepewności,
zwrócono uwagę na konieczność hipotetycznej randomizacji błędu pomiaru i jego
składowych. Wykazano, że przyjmowanie prostokątnego rozkładu niektórych błędów nie
ma racjonalnego uzasadnienia. Założenie o normalnym rozkładzie wszystkich błędów
upraszcza znakomicie obliczanie niepewności, a obliczona przy tym założeniu niepewność
rozszerzona różni się o mniej niż 5 % od niepewności obliczonej przy założeniu
prostokątnych rozkładów niektórych błędów.
UNCERTAINTY OF MEASUREMENT, DISTRIBUTION OF RANDOM
VARIABLES MODELLING MEASUREMENT ERRORS
The paper presents the idea of expression of uncertainty in measurement. The
necessity of hypothetical randomization of measurement errors is pointed. It is proved that
there are not rational reasons to assume the rectangular distribution of some errors.
Evaluating uncertainty is simplified for all errors with the normal distributions. Moreover
the difference between expanded uncertainties evaluated for all normal and for some
rectangular is less then 5 %.
1. WPROWADZENIE
Ocena niedokładności pomiaru jest jednym z podstawowych problemów metrologii.
Niedokładność pomiaru polega na tym, że wynik pomiaru y^ jest tylko estymatą, czyli
przybliżeniem, nieznanej wartości prawdziwej y° .
Model deterministyczny niedokładności zakłada, że możliwy jest do określenia przedział,
w którym mieści się wartość prawdziwa [1]:
y° ∈ [y^ – ∆maxy^ ; y^ + ∆maxy^ ].
(1)
Wartość ∆maxy^ jest nazywana błędem granicznym, a ± ∆maxy^ – granicami błędu pomiaru.
Model losowy niedokładności traktuje przedział (1) jako przedział ufności na poziomie
ufności p:
Pr { y° ∈ [y^ – ∆maxy^ ; y^ + ∆maxy^ ]} ≥ p,
(2)
gdzie Pr { } – operator prawdopodobieństwa.
Model losowy wymaga hipotetycznej (domyślnej) randomizacji estymaty y^ i błędu
granicznego ∆maxy^, a więc i przedziału [y^ – ∆maxy^ ; y^ + ∆maxy^ ]. Przedział ufności (2) można
interpretować następująco [2]:
Janusz M. JAWORSKI
_________________________________________________________________________________
268
Jeżeli M razy hipotetycznie powtarzany jest pomiar, to więcej niż p M wyznaczonych przedziałów
powinno obejmować wartość prawdziwą y°.
Podstawowym pojęciem teorii błędów, działu metrologii zajmującego się oceną
niedokładności pomiaru, obok pojęcia błędu granicznego ∆maxy^, jest pojęcie błędu
prawdziwego (zwanego także krótko błędem):
∆y^ = y^ – y° .
(3)
Szczególną rolę w teorii błędów odgrywa prawo propagacji błędów, określające błąd
estymaty wartości funkcji (zwanej wielkością wyjściową):
y = f ( x1,...xJ ) ,
(4)
w zależności od błędów ∆x^i estymat x^i wartości (danych lub zmierzonych) wielkości xi,
zwanych wielkościami wejściowymi:
J
∆yˆ = ∑ Gi ∆xˆi
i =1
∂f
Gi =
∂xi
x1 = xˆ1 ,..., x J = xˆ J



,



(5)
gdzie współczynniki Gi nazywają się współczynnikami wrażliwości.
2. NIEPEWNOŚĆ POMIARU
Opis niedokładności pomiaru za pomocą niepewności opiera się na modelu losowym,
który wymaga randomizacji wyniku pomiaru (estymaty wartości wielkości mierzonej) y^ – tj.
wprowadzenie hipotetycznej zmiennej losowej takiej, że:
1. faktyczny wynik pomiaru y^ jest realizacją randomizowanego wyniku pomiaru,
2. wartość oczekiwana randomizowanego wyniku pomiaru jest równa wartości
prawdziwej y° ,
3. rozkład randomizowanego wyniku pomiaru jest symetryczny względem wartości
prawdziwej y° .
Podstawowymi pojęciami teorii niepewności są:
niepewność standardowa u(y^) – odchylenie standardowe σ(y^) [lub jego estymata s(y^)]
hipotetycznie randomizowanego wyniku pomiaru:
u(y^) = σ(y^),
(6)
Niepewność pomiaru, rozkłady zmiennych losowych modelujących błędy pomiaru
269
_________________________________________________________________________________
niepewność rozszerzona Up(y^) (na poziomie ufności p) – połowa szerokości przedziału
ufności:
Pr { y° ∈ [y^ – Up(y^) ; y^ + Up(y^) ]} ≥ p,
(7)
będąca odpowiednikiem błędu granicznego ∆maxy^, wyrażana jako wielokrotność niepewności
standardowej:
Up(y^) = kp u(y^),
(8)
gdzie kp – współczynnik rozszerzenia.
Randomizacja wyniku pomiaru y^ jest równoznaczna z randomizacją błędu ∆y^ tej estymaty,
randomizowany błąd powinien mieć zerową wartość oczekiwaną i rozkład symetryczny.
Niepewność standardowa u(y^) i rozszerzona Up(y^) estymaty są równoznaczne z niepewnością
standardową (odchyleniem standardowym) u(∆y^) niepewnością rozszerzoną Up(∆y^) błędu ∆y^
(błędem granicznym). Wartość współczynnika rozszerzenia kp zależy od:
1. przyjętego poziomu ufności p,
2. sposobu obliczania niepewności standardowej,
3. rozkładu randomizowanego wyniku pomiaru y^.
Dokument [3] zaleca standardową wartość współczynnika rozszerzenia 0,95, a tam, gdzie
wyniki pomiarów mają wpływ na zdrowie i bezpieczeństwo człowieka – 0,99.
Jeżeli hipotetycznie randomizowany wynik pomiaru ma rozkład normalny, a niepewność
standardowa u(y^) jest równa odchyleniu standardowemu σ(y^), to współczynnik rozszerzenia:
k p = | z | p = z 1 (1+ p ) ,
(9)
2
gdzie | z | p = z 1 (1+ p ) – wartość krytyczna rozkładu normalnego standaryzowanego równa:
2
kwantylowi rzędu
1 (1 +
2
p) .
Dla zalecanych wartości poziomu ufności:
|z|0,95 = 1,960 ≈ 2
i
|z|0,99 = 2,576 ≈ 3.
(10)
Jeżeli hipotetycznie randomizowany wynik pomiaru y^ ma rozkład normalny, a
niepewność standardowa u(y^) jest równa estymacie odchylenia standardowego s(y^)
odpowiadającej ν stopniom swobody, to współczynnik rozszerzenia:
k p = | t | p (ν ) = t 1 (1+ p ) (ν ) ,
(11)
2
gdzie | t | p (ν ) = t 1 (1+ p ) (ν ) – wartość krytyczna rozkładu t-Studenta o ν stopniach swobody.
2
Powstaje problem określenia liczby stopni swobody ν odpowiadających niepewności u(y^).
Janusz M. JAWORSKI
_________________________________________________________________________________
270
Jeżeli hipotetycznie randomizowany wynik pomiaru ma rozkład odbiegający od
normalnego, to wyznaczenie współczynnika rozszerzenia, wymagające znajomości tego
rozkładu, staje się obliczeniowo kłopotliwe. Powstaje problem ustalenia rozkładu
randomizowanego wyniku pomiaru y^.
3. NIEDOKŁADNOŚĆ NIEPEWNOŚCI
Każda metoda oceny niedokładności jest niedokładna.
Jeżeli wynik pomiaru jest obarczony tylko błędem przypadkowym o rozkładzie
normalnym, niedokładność oceny niepewności zależy od liczby repetycji N (powtórzeń
obserwacji w warunkach powtarzalności), czyli od liczby stopni swobody ν = N – 1. Wg [3]
wariancja estymaty s odchylenia standardowego średniej arytmetycznej wynosi:
σ 2 [ s ( y )] =
σ 2 ( y)
.
2ν
(12)
Zastępując wariancje kwadratami niepewności standardowych otrzymuje się:
u 2 [u ( y )] 1
=
.
2ν
u2 ( y)
(13)
Przyjmując współczynnik rozszerzenia k = 2 (p = 0,95) przechodzi się na niepewności
rozszerzone i otrzymuje dalej:
U [u ( y )]
2
= U rel[u ( y )] =
,
u( y)
ν
(14)
gdzie Urel[u(y−)] jest niepewnością rozszerzoną względną [odpowiednik błędu granicznego
względnego δmaxu(y−)] niepewności standardowej, równą niepewności rozszerzonej względnej
niepewności rozszerzonej Urel[U(y−)]. Z (14) wynika, że oceny niepewności są bardzo
niedokładne. Dla ν równego 4; 6; 20 i 200 U rel[u ( y )] wynosi odpowiednio 71 %; 58 %; 32 %
i 10 %; a więc kilkadziesiąt-kilkanaście procent. Zależność (14) można odwrócić i ze znanej
niedokładności niepewności wyznaczyć liczbę stopni swobody:
−2
ν = 2 U rel
[u ( y )] .
(15)
Powyższe oceny niedokładności niepewności można przenieść na sytuacje rzeczywiste
(równocześnie występujące błędy systematyczne i przypadkowe, niedokładność
przyjmowanych miar niedokładności składowych, itd.), pamiętając jednak o przybliżonym
charakterze tej oceny.
Każda metoda oceny niedokładności pomiaru jest niedokładna. Nie ma metody
dokładnej, która mogłaby stać się odniesieniem do oceny niedokładności innych metod oceny
Niepewność pomiaru, rozkłady zmiennych losowych modelujących błędy pomiaru
271
_________________________________________________________________________________
niedokładności. Możliwe jest tylko porównywanie niedokładności poszczególnych metod.
Jeżeli do oceny niedokładności pomiaru stosuje się model losowy, to ocenę niedokładności
poszczególnych metod można przeprowadzać w omówiony wyżej sposób. Jeżeli oceny
niedokładności dwóch metod oceny niedokładności pomiaru dają oceny różniące się o mniej
niż 10 %, to metody te można uznać za jednakowo wiarygodne. Rozsądek nakazuje wybrać
wówczas metodę obliczeniowo prostszą, łatwiejszą do zrozumienia i stosowania, nie
wymagającego zbyt dużego przygotowania matematycznego.
4. OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI
Przedmiotem rozważań jest pomiar opisany równaniem (4), składający się z N repetycji,
czyli składowych pomiarów (obserwacji) powtarzanych w warunkach powtarzalności, na
podstawie których oblicza się średnią arytmetyczną −y stanowiącą wynik pomiaru y^:
ŷ = −y.
(16)
∆y^ = ∆ey^ + ∆by^,
(17)
Wynik pomiaru ŷ jest obarczony błędem:
o dwóch składowych – składowej ∆ey^ wynikającej z błędów przypadkowych występujących
w poszczególnych repetycjach i składowej ∆by^ wynikającej z błędów ∆x̂i wielkości xi.,
mających w poszczególnych repetycjach charakter błędów systematycznych Na podstawie
prawa propagacji błędów (5) jest:
∆bŷ =
J
∑ Gi ∆xˆi .
(18)
i =1
Wszystkie błędy ∆ey^, ∆x̂i, ∆by^ mają jakieś wartości, oczywiście nieznane. Aby obliczyć
niepewność standardową pomiaru u(y^), trzeba hipotetycznie randomizować wynik pomiaru y^,
co sprowadza się do randomizacji wszystkich składowych błędów ∆ey^ i ∆x̂i. Hipotetyczna
randomizacja, w dużym stopniu arbitralna, polega na hipotetycznym powtarzaniu pomiaru,
czyli serii repetycji, ale nie mogą to być powtórzenia w warunkach powtarzalności, gdyż te
nie zmieniałyby błędów ∆x̂i, muszą to być replikacje, czyli powtórzenia zakładające zmiany
warunków pomiaru (np. każda seria pomiarów składowych, czyli obserwacji, wykonywana
jest innym przyrządem). Zmienne losowe modelujące błędy ∆ey^ i ∆x̂i mogą być w przypadku
ogólnym zależne. Zwykle jednak można je tak randomizować, że stają się one niezależnymi i
każdy błąd można randomizować oddzielnie. Jeżeli spełniony jest warunek niezależności, to:
J
u ( yˆ ) = u 2 (∆e yˆ ) + u 2 (∆b yˆ ) = u 2 (∆e yˆ ) + ∑ Gi2 u 2 (∆xˆi ) ,
2
i =1
(19)
Janusz M. JAWORSKI
_________________________________________________________________________________
272
gdzie niepewności standardowe poszczególnych błędów są odchyleniami standardowymi (lub
estymatami odchyleń standardowych) zmiennych losowych modelujących te błędy.
Randomizowane błędy powinny mieć zerowe wartości oczekiwane i symetryczne rozkłady.
Randomizacja błędów ∆x̂i jest równoznaczna z randomizacją estymat x̂i wartości wielkości
wejściowych (powinny mieć wartości oczekiwane równe wartościom prawdziwym wielkości
wejściowych), zamiast mówić o niepewnościach błędów u(∆x̂i) można mówić o
niepewnościach estymat u(x̂i).
Niestety, wielu metrologów liczących niepewność pomiaru, traktuje zmienne losowe
modelujące błędy (estymaty), rozkłady tych zmiennych, ich wariancje jako twory
jednoznacznie związane z tymi błędami (estymatami). Tymczasem te zmienne, rozkłady,
wariancje mają charakter w dużym stopniu arbitralny. Warto tu dodać, że nie wszystkie błędy
można randomizować, dotyczy to szczególnie błędów stałych matematycznych i fizycznych.
W żaden sposób nie można np. randomizowć błędu 3,14 jako estymaty liczby π.
Najmniej problemów jest z randomizacją błędu ∆ey^, polega ona na hipotetycznym
powtarzaniu serii obserwacji w warunkach zachowujących niezmienność losowych
charakterystyk obserwacji. W ten sposób:
u 2 (∆e yˆ ) = s 2 ( y ) = u 2 ( y ) ,
(20)
gdzie s2(y−) jest wariancją eksperymentalną średniej arytmetycznej serii repetycji. Obliczenie
u2(∆by^) nie sprawia trudności, jeżeli są dane u2(∆x̂i). Często jednak zamiast nich, dane są
błędy graniczne Di takie, że:
|∆x̂i| ≤ Di.
(21)
I tu powstaje problem wyboru rozkładu hipotetycznie randomizowanego błędu ∆x̂i.
Najczęściej wybór sprowadza się do dwóch rozkładów – normalnego i prostokątnego. Dla
obu rozkładów niepewność standardowa jest odchyleniem standardowym:
u (∆xˆi ) = σ (∆xˆi ) .
(22)
Dla rozkładu prostokątnego w przedziale [–Di, Di] jest:
u2(∆x^i) = σ 2(∆x^i) = Di2 3 .
(23)
Dla rozkładu normalnego, przy utożsamieniu błędu granicznego Di z niepewnością
rozszerzoną Up(∆x^i) liczoną dla współczynnika kp wg wzoru (9), jest:
u(∆x^i) = σ (∆x^i) = Di k p .
(24)
Problem rozkładu, w spotęgowanej postaci, pojawia się przy liczeniu niepewności
rozszerzonej, a konkretnie przy wyborze współczynnika rozszerzenia.
Niepewność pomiaru, rozkłady zmiennych losowych modelujących błędy pomiaru
273
_________________________________________________________________________________
5. ROZKŁAD NORMALNY CZY PROSTOKĄTNY
W związku z dylematem rozkład normalny, czy prostokątny, postawimy dwa pytania:
• Jak bardzo różnią się oceny niedokładności przy założeniu rozkładu normalnego i rozkładu
prostokątnego?
• Co przemawia za przyjęciem rozkładu prostokątnego, a co rozkładu normalnego?
Za krytyczny uznamy przypadek, kiedy błąd wyniku pomiaru jest sumą dwóch błędów:
∆x^1, o rozkładzie normalnym i wariancji σ
2
oraz ∆x^ 2, o danym błędzie granicznym D.
Niepewności rozszerzone liczone dla poziomu ufności 0,95 (k = 2) przy założeniu rozkładu
normalnego [UNN(ŷ)] i prostokątnego [UNR(ŷ)] drugiego błędu wynoszą:
U NN ( yˆ ) = 2 u NN ( yˆ ) = 2 σ 12 + D 2 4 ,
(25)
U NR ( yˆ ) = k NR u NR ( yˆ ) = k NR σ 12 + D 2 3 ,
(26)
gdzie kNR jest współczynnikiem rozszerzenia rozkładu dwóch zmiennych losowych o
rozkładach normalnym i prostokątnym. Wartości tego współczynnika (patrz np. [4]) zawierają
się w granicach od 1,96 (tylko zmienna o rozkładzie normalnym) do1,645 (tylko zmienna o
rozkładzie prostokątnym). Porównując wartości obliczone wg (25) i (26) stwierdzamy, że:
| U NR ( yˆ ) − U NN ( yˆ ) | ≤ 0,05 .
(27)
Obie metody są więc równoważne pod względem niedokładności. Zastąpienie prostokąta
rozkładem normalnym jest dopuszczalne. Spróbujemy odpowiedzieć na drugie pytanie.
Zwolennicy rozkładu prostokątnego powołują się zwykle na [5], gdzie w punkcie 3.3.2(c)
stwierdzono:
„Jeżeli dla wartości wielkości Xi można oszacować jedynie jej górną i dolną granicę (np. podana
przez producenta specyfikacja przyrządu pomiarowego [chodzi o błąd graniczny przyrządu – J.J.],
zakres zmienności temperatury, błąd wynikający z zaokrąglania lub odcinania miejsc dziesiętnych
na skutek automatycznej obróbki danych), to dla zmienności wielkości wejściowej Xi w przedziale
pomiędzy obu wartościami granicznymi należy przyjąć stały rozkład prawdopodobieństwa
(rozkład prostokątny).”
i dalej:
„Przyjęcie prostokątnego rozkładu prawdopodobieństwa wielkości wejściowej Xi jest
uzasadnione, jeżeli znamy tylko granice jej zmienności. Jeżeli wiadomo, że wartości wielkości
wejściowej Xi znajdujące się w pobliżu środka przedziału zmienności są bardziej prawdopodobne
niż wartości znajdujące się w pobliżu jej granic, to lepszym modelem będzie rozkład trójkątny lub
normalny.”
O rozkładzie (takim czy innym) można mówić tylko wtedy uda się randomizować estymatę
(błąd) wartości wielkości xi. Kategoryczne zalecenie przyjmowania rozkładu prostokątnego
(pierwszy cytat) nie jest poparte żadnym argumentem. Pierwsze stwierdzenie z drugiego
cytatu jest generalnie niesłuszne, braku wiedzy o możliwym rozkładzie nie można zastąpić
przypuszczeniem o rozkładzie prostokątnym. Rozkład prostokątny można przyjąć, jeżeli
Janusz M. JAWORSKI
_________________________________________________________________________________
274
istnieją uzasadnione podejrzenia o jednakowym prawdopodobieństwie występowania
wartości błędu w całym przedziale. Jeżeli brak takich podejrzeń, to raczej należy przyjąć
rozkład normalny, bo to może wynikać z centralnego twierdzenia granicznego. Słuszne jest
natomiast drugie stwierdzenie z drugiego cytatu, z zastrzeżeniem, że wybór rozkładu
trójkątnego jest zupełnie nierozsądny.
Zastanówmy się jeszcze nad zaleceniem przyjmowania prostokątnego rozkładu błędu
przyrządu, autorzy [5] nie podają sposobu randomizacji tego błędu, który w trakcie faktycznie
wykonywanego pomiaru jest stały. Randomizacja tego błędu może polegać na hipotetycznym
powtarzaniu pomiarów (serii obserwacji), różnymi przyrządami o tym samym błędzie
granicznym i oczywiście różnych błędach prawdziwych. Błąd graniczny jest wyznaczany w
procesie wzorcowania. Wartości błędów granicznych są zawsze w jakiś sposób
standaryzowane (ustala się kilka dopuszczalnych ich wartości – np. klasy dokładności
elektrycznych przyrządów wskazówkowych), ze względu na czasową niestałość błędu
wytwórca ustala dla przyrządu błąd graniczny z pewnym zapasem, stąd więcej błędów jest
bliżej środka, rozkład więc na pewno nie prostokątny, raczej normalny. Jak należy rozumieć
zmiany temperatury autorzy nie wyjaśniają. Błąd z zaokrąglenia ma stałą wartość, jak ją
autorzy randomizują?
Reasumując, nie ma racjonalnych powodów uzasadniających zakładanie rozkładów
prostokątnych
6. GAUSYZACJA OBLICZANIA NIEPEWNOŚCI
Przyjęcie hipotezy, że wszystkie hipotetycznie randomizowane zmienne mają rozkłady
normalne, pozwala na znakomite uproszczenie obliczania niepewności. Konsekwencją tego
założenia jest normalny rozkład randomizowanego wyniku pomiaru, a stąd możliwość
stosowanie wartości krytycznych rozkładu t-Studenta i rozkładu normalnego. Niepewność
standardowa wyniku pomiaru wyraża się zależnością:
J
u 2 ( yˆ ) = s 2 ( y ) + ∑ Gi2u 2 (∆xˆi ) .
(28)
i =1
Niepewności u(∆x^ i) mogą być dane bezpośrednio, bądź poprzez błędy graniczne Di, wówczas
u(∆x^i) oblicza się z zależności:
u (∆xˆi ) = Di | t | p (ν i )
−2
ν i = 2 U rel
[u ( xˆi )]
(a)
,
(b) 
(29)
−2
gdzie U rel
[u ( xˆi )] jest niepewnością względna rozszerzoną (błędem granicznym względnym)
niepewności u(∆x^ i), a νi przyporządkowaną u(∆x^i) liczbą stopni swobody. Niepewność
rozszerzoną wyniku pomiaru oblicza się z zależności:
U ( yˆ ) = | t | p (ν ) u ( yˆ ) ,
(30)
Niepewność pomiaru, rozkłady zmiennych losowych modelujących błędy pomiaru
275
_________________________________________________________________________________
w której efektywną liczbę stopni swobody ν wyznacza się z formuły Welcha-Satterthwaite’a:
ν = int [ν y ]
u 4 ( yˆ ) s 4 ( y ) J Gi4ui4 ( xˆi )
=
+∑
νy
N − 1 i =1 ν i
(a ) 

.
( b) 

(31)
Zwykle liczby stopni swobody νi są na tyle duże, że (29a) i (31b) upraszczają się do postaci:
u (∆xˆi ) = Di | z | p ,
ν y = ( N − 1)
(32)
u 4 ( yˆ )
.
s4 ( y)
(33)
Wyrażanie niedokładności pomiaru za pomocą niepewności ma dwa słabe punkty:
randomizacja błędów estymat wartości niektórych wielkości wejściowych jest niemożliwa, a
założenia o zerowej wartości oczekiwanej randomizowanego błędu nie zawsze można spełnić.
Obejściem tych problemów jest randomizacja błędu ∆by^ poprzez traktowanie wartości błędów
∆x^i próby wybranej z populacji (uniwersum) wszystkich możliwych w świecie wartości
błędów. Zapiszemy błąd ∆by^ w postaci:
J
J
i =1
i =1
∆ b yˆ = ∑ Gi ∆ xˆi = ∑ Gi Di ζ i
ζ i = ∆ b xˆi Di ∈ [−1; 1]


.


(34)
Błąd unormowany ζi określa położenie błędu ∆x^i wewnątrz przedziału [–Di; Di ]. Z populacji
wszystkich możliwych ζi utworzymy zmienną losową ζ, o zmiennej tej przyjmiemy hipotezę,
że ma rozkład normalny o zerowej wartości oczekiwanej, jej wariancję określimy
utożsamiając [–1; 1] z przedziałem ufności danym przez niepewność rozszerzoną Up(ζ):
var (ζ ) = σ 2 (ζ ) = 1 k p ,
(35)
gdzie kp – przyjęty współczynnik rozszerzenia. Wartość błędu ∆by^ jest dana przez zbiór
wartości {ζ 1,...,ζ J } . Hipotetyczna randomizacja błędu ∆by^ będzie polegała na traktowaniu
{ζ 1,...,ζ J } jako próby losowej J elementowej z populacji ζ. Wszystkie ζi jako zmienne losowe
w próbie losowej mają rozkład normalny i wariancję (35). Wariancja, a więc i kwadrat
niepewności standardowej, błędu ∆by^ wynosi:
J
J
i =1
i =1
var (∆b yˆ ) = σ 2 (∆b yˆ ) = u 2 (∆b yˆ ) = σ 2 (ζ )∑ Gi2 Di2 = k −p 2 ∑ Gi2 Di2 ,
(36)
co zgadza się z wnioskami wypływającymi z randomizacji błędów składowych ∆x^ i, ale omija
wszystkie problemy związane z taką randomizacją.
Janusz M. JAWORSKI
_________________________________________________________________________________
276
7. PODSUMOWANIE
Rozważania zaczęto od przypomnienia modeli niedokładności – deterministycznego i
losowego. Omówiono podstawowe pojęcia teorii niepewności, opierając je na teorii błędu.
Zanalizowano niedokładność oceny niepewności pomiaru, wykazując, że jest ona duża, rzędu
kilkunastu do kilkudziesięciu procent. Podano podstawowe zależności stosowane do
obliczania niepewności standardowej i rozszerzonej. Podkreśliliśmy, że istotą teorii
niepewności jest randomizacja składowych błędów pomiaru. Wykazano, że niepewności
rozszerzone obliczane przy założeniu, że wszystkie błędy składowe mają rozkład normalny i
przy założeniu, że niektóre błędy mają rozkład prostokątny różnią się nieznacznie. Poddano
krytyce przyjmowanie rozkładu prostokątnego błędu. Pokazano, że przyjęcie założenia o
normalnym rozkładzie błędów upraszcza procedury obliczania niepewności. Stąd wniosek niepewność należy obliczać zakładając normalne rozkłady błędów składowych.
LITERATURA
1. Jaworski, J. M., Morawski, R. Z., Olędzki, J. S.: Wstęp do metrologii i techniki
eksperymentu. WNT, Warszawa 1992.
2. Fisz, M.: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. PWN, Warszawa 1958.
3. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. ISO 1993, 1995. Tłum. pol.
Główny Urząd Miar 1999.
4. Turzeniecka, D.: Analiza dokładności wybranych przybliżonych metod oceny niepewności.
Wydawnictwa Politechniki Poznańskiej, Poznań 1999.
5. Expression of Uncertainty in Measurement in Calibration. Publication Reference EA-4/02.
European Co-operation for Accreditation. Tłum. pol. Wyrażanie niepewności pomiaru przy
wzorcowaniu. Patrz www.gum.gov.pl/wydaw.html
ABSTRACT
A formulation two models of the measurement uncertainty – deterministic and random –
begins our considerations. Fundamental terms of uncertainty theory based on the error theory
are given. Analysis of uncertainty inaccuracy is made and it is shown that uncertainty
inaccuracy is great (10-20 % and more). Fundamental formulas using in uncertainty
evaluation are given and necessity of hypothetical randomization of measurement errors is
pointed. It is proved that the difference between expanded uncertainties evaluated for all
normal and for some rectangular error distributions is less then 5 % and there is not rational
reasons to assume the rectangular distribution of some errors. Evaluating uncertainty is
simplified for all errors with the normal distributions. Conclusion – we ought to evaluate
measurement uncertainty assuming normal distribution of all errors.