Poprawkowe zadania domowe

Wstęp do matematyki, 2016/2017
zadania poprawkowe
Zasady
1. Zadania służą do poprawy wyniku punktowego z prac domowych.
2. Numer serii odpowiada numerowi pracy domowej, którą, chce się poprawić.
3. Oddanie zadania skutkuje podmienienie wyniku punktowego z gorzej ocenionego zadania z danej serii na
wynik uzyskany z zadania poprawkowego.
4. Zadania można oddawać na początku ostatnich ćwiczeń.
Zadania
Seria 1
ˆ Wypisz wszystkie elementy i podzbiory zbioru:
{∅, {∅, {∅}}, {∅} △ {∅}, {{∅}, {∅, {∅}}} ∩ {∅, {{∅}}}, {∅, {∅, {∅}}}}.
ˆ Czy prawdą jest, że (podaj dowód lub kontrprzykład):
– ∀X⊆P (R) ⋃(P (R) ∖ X) = R ∖ ⋃ X,
– ∀X⊆P (R) ⋃(P (R) ∖ X) = R ∖ ⋂ X.
Seria 2
ˆ Niech Φ∶ NN → P (N)P (N) będzie dana wzorem (Φ(f ))(A) = f −1 [A]. Rozstrzygnij, czy Φ jest „na” i czy
jest „1-1”.
ˆ Niech An = {x ∈ R∶ 2 + (−1)n+1 +
(−1)n
n+1
< x < 8 + (−1)n+1 +
(−1)n
}.
n+1
Wyznacz ⋃n∈N An oraz ⋂n∈N An .
Seria 3
ˆ Niech An = {x ∈ R∶ 0 ≤ x < 1 +
(−1)n
}.
n+1
Rozstrzygnij, czy ⋂m∈N ⋃n≥m An = ⋃m∈N ⋂n≥m An .
ˆ Niech f ∶ R → R2 będzie zadana wzorem f (x) = ⟨∣x∣, x2 ⟩.
– naszkicuj w układzie współrzędnych zbiór f [(−2, 1]],
– znajdź zbiór f −1 [[0, 2] × (1, 5]].
Seria 4
ˆ Udowodnić, że ∣{⟨x, y⟩ ∈ R2 ∶ x2 + y 2 = 4}∣ = ∣[−1, 1]∣ znajdując bijekcję pomiędzy tymi zbiorami.
ˆ Znajdź moc zbioru A = {f ∈ NN ∶ ∃k∈N ∀n>k f (n + 1) = f (n) ⋅ 2017}.
1
Seria 5
ˆ Niech f ∶ R → R. Udowodnij, że istnieje x ∈ R takie, że w zbiorze f −1 [{x}] nie zawiera się żaden odcinek
(a, b), a, b ∈ R.
ˆ Niech ≃⊆ (P (N))2 będzie zadane następująco A ≃ B ⇔ ∃n∈N ∀m∈A△B m < n. Udowodnij, że ≃ jest relacją
równoważności oraz znajdź ∣[P ]≃ ∣, gdzie P jest zbiorem liczb pierwszych.
2