Wersja elektroniczna artykułu

Transkrypt

ELEKTRYKA
Zeszyt 3 (215)
2010
Rok LVI
Marek DŁUGOSZ, Wojciech MITKOWSKI, Paweł SKRUCH
Katedra Automatyki, Akademia Górniczo-Hutnicza im. S. Staszica w Krakowie
METODY STEROWANIA W OBWODZIE ELEKTRYCZNYM CHUY
Streszczenie. W pracy zaprezentowano sposoby stabilizacji obwodu elektycznego
Chuy w niestabilnych punktach równowagi. Do stabilizacji obwodu Chuy wykorzystano
klasyczny regulator proporcjonalny do stanu, którego parametry dobierano w róŜny
sposób (lokowanie biegunów, LQR). W pracy zamieszczono krótki opis, w jaki sposób
moŜna wykorzystać podejście stosowane przy projektowaniu obserwatorów do
wyznaczania regulatora. Zaproponowano pewne przybliŜenie nieliniowości występujące
w oryginalnym obwodzie Chuy, dzięki któremu obwód Chuy moŜe być rozpatrywany
jako obwód liniowy. RozwaŜania teoretyczne były testowane symulacyjne, a wyniki
symulacji zamieszczono w pracy. RozwaŜono takŜe moŜliwość stabilizacji obwodu Chuy
za pomocą regulatora proporcjonalnego, który moŜe sterować tylko jedną zmienną stanu.
Dla kaŜdej ze zmiennych stanu wykreślono linie pierwiastkowego układu z takim
regulatorem.
Słowa kluczowe: sterowanie, chaos, obwód Chuy, regulator LQR, linie pierwiastkowe
CONTROL METHODS IN CHUA’S ELECTRIC CIRCUIT
Summary. In this paper various control methods of Chua's circuit are proposed. The
goal is to stabilise Chua's circuit in unstable equilibria points. The paper contains
description of the standard Chua's circuit, see the equation (1) and schema 1, and some
modification of this circuit. The nonlinearity (2) was replaced by a piecewise-linear
function (11). Figure 4 shows that this simplification is enough if state variables belong to
some intervals. By using an idea borrowed from the state observer theory, the
proportional full state controller (7) is constructed. The parameters of this controller are
obtained by using the pole placement techniques and by solving the linear-quadratic
problem. Simulation results show the effectiveness of the proposed controllers, see
figures 5, 6, 7 and 8. The second part the paper contains discussion about stabilisation of
Chua's circuit in unstable equilibria points by using proportional controller. However, in
this case the controller can control only single variable of the state space vector. For these
types of controllers, a root locus method is used to analyse the corresponding closed-loop
systems (see figures 9, 10 and 11).
Keywords: control, chaos, Chua’s circuit, LQR controller, root locus
42
M. Długosz, W. Mitkowski, P. Skruch
1. WPROWADZENIE
Tematyka moŜliwości sterowania w układach chaotycznych była i jest w dalszym ciągu
rozwaŜana przez wielu badaczy. Obwód Chuy jest przykładem prostego praktycznego układu
elektrycznego, w którym moŜna zaobserwować zjawisko chaosu. Badania nad moŜliwością
sterowania w ogólnym przypadku układów chaotycznych cały czas są prowadzone. Do
sterowania tego typu nieliniowych układów wykorzystuje się róŜne rodzaje regulatorów, zob.
np. [1], [2], [3], [5], [6], [8], [11], [12].
Obwód Chuy moŜna opisać następującym układem równań róŜniczkowych [10, s. 186]:
C1 x&1 (t )
C2 x&2 (t )
C3 x&3 (t )
1
(x2 (t ) − x1 (t )) − g (x1 (t ))
R
1
= − ( x2 (t ) − x1 (t )) + x3 (t )
R
= − x2 (t ) − R0 x3 (t )
=
(1)
Schemat elektryczny obwodu Chuy jest pokazany na rysunku 1.
Rys. 1. Schemat obwodu Chuy
Fig. 1. Scheme of Chua’s circuit
Prąd i (t ) = x1 (t ) płynie przez nieliniowy element, którego charakterystyka jest dana wzorem:
g (v ) = g1v + g 2v 3 .
(2)
W obwodzie takim przy odpowiednio dobranych parametrach moŜna zaobserwować
chaotyczne zachowanie się systemu. Przykładowe trajektorie obwodu Chuy z nieliniowością
daną równaniem (2) przedstawia rysunek 2.
W dalszej części pracy równania opisujące obwód Chuy będą zapisywane w postaci
macierzowo-wektorowej:
x& (t ) = Ax(t ) + g(x(t )) ,
(3)
gdzie x(t ) = [x1 (t ) x2 (t ) x3 (t )] , g(x(t )) = [g ( x1 (t )) 0 0] .
T
T
Metody sterowania w obwodzie elektrycznym Chuy
43
Rys. 2. Trajektorie x1 i x2 obwodu Chuy bez sterowania
Fig. 2. Trajectories of Chua’s circuit without control
2. STABILIZACJA W NIESTABILNYCH PUNKTACH RÓWNOWAGI
RozwaŜany w pracy obwód Chuy ma 3 niestabilne punkty równowagi [4, s. 36].
W punktach takich zachodzi równość:
x& (t ) = 0 = AxS + g(xS ) ,
(4)
gdzie xS punkt równowagi. RozwaŜmy sterowalny system chaotyczny opisany następującymi
równaniami:
x& (t ) = Ax(t ) + g(x(t )) + u(t ) .
(5)
Zadanie polega na takim generowaniu sygnału sterowania u(t ) , aby ustabilizować system
(5) w zadanym punkcie równowagi.
Jeden ze sposobów doboru parametrów regulatora realizujący zadanie zamieszczono
w pracy [6]. Wykorzystano tam idee zapoŜyczone z teorii odtwarzania stanu, gdzie po
odpowiednim przeformułowaniu zadania wyznacza się regulator, który stabilizuje pewien
system w punkcie 0. Stabilizowany system zastępczy modeluje dynamikę błędu między
obiektem rzeczywistym a obserwatorem. Jest dany system opisywany równaniami (5) wraz
z równaniem wyjścia:
y (t ) = Cx(t ) ,
(6)
gdzie C1× n .
Niech będzie dany następujący regulator:
u(t ) = λL(y (t ) − y S (t )) ,
(7)
44
gdzie parametr λ przyjmuje wartości 1, jeśli x(t ) znajduje się w obszarze atrakcji punktu
równowagi x s i 0 wszędzie indziej. Zdefiniujmy dynamiczny błąd jako:
e(t ) = x(t ) − x s (t ) ,
(8)
wtedy z równań (5), (7) i (8) otrzymujemy następujący system dynamiczny:
e& (t ) = (A + λLC)e(t ) + (g (x(t )) − g (x S (t ))) .
(9)
JeŜeli macierz L jest dobrana prawidłowo, to błąd e(t ) zmierza asymptotycznie do 0, a to
oznacza, Ŝe trajektorie systemu (5) zmierzają do x S dla kaŜdego x(t ) naleŜącego do obszaru
atrakcji punktu x S [6, s. 282].
3. PRZYBLIśENIE LINIOWE OBWODU CHUY
Występującą nieliniowość (2) w obwodzie Chuy moŜna w pewnych przedziałach
zmiennej v aproksymować odpowiednio funkcjami liniowymi. Po podstawieniu do
pierwszego równania (1) wzór (2) otrzymujemy:
1
1

Cx& (t ) =  − g1  x1 (t ) + x2 (t ) − g 2 x13 (t ) .
R
R

(10)
Występującą we wzorze (10) nieliniowość g nl ( x1 ) = x13 (t ) moŜna aproksymować w pewnym
przedziale np. następującą funkcją:
g L (v ) = bv + 0.5(a − b )( v + 1 − v − 1 ) ,
(11)
która określa trójsegmentową odcinkami liniową funkcję, a parametry a i b określają
nachylenia odpowiednich funkcji liniowych, zob np. [4, s. 35], [6, s. 283].
Tego typu przybliŜenie moŜna stosować tylko w pewnym określonym przedziale
zmiennej v. Im ten przedział będzie większy, tym błąd przybliŜenia (11) będzie większy.
Parametry a i b zostały tak dobrane, aby minimalizowany był następujący wskaźnik:
J (a, b) =
v2
∫ (g (v ) − g (v )) dv .
2
L
nl
(12)
v1
Na rysunku 3 przedstawiono przebieg funkcji g nl (v ) i g L (v ) dla następujących wartości
parametrów a=0.605 i b=9.624.
45
Rys. 3. Aproksymacja nieliniowej funkcji g nl (v ) trójsegmentową odcinkami liniową funkcją g L (v )
Fig. 3. Aproximation of nonlinear function g nl (v ) by using piecewise linear function g L (v )
Na rysunku 4 przedstawiono trajektorie fazowe obwodu Chuy na płaszczyźnie x1 × x2 .
Kolorem szarym przedstawiono trajektorie rozpatrywanego obwodu z nieliniowością (2),
kolorem czarnym z nieliniowością (11).
Rys. 4. Trajektorie x1 i x2 obwodu Chuy z nieliniowością g nl (v ) (kolor szary) i nieliniowością g L (v )
(kolor czarny)
Fig. 4. Trajectories x1 and x2 of Chua’s circuit with non-linear function g nl (v ) (gray color) and nonlinear function g L (v ) (black color)
46
4. REGULATOR PROPORCJONALNY
Po podstawieniu (7), (11) i uwzględnieniu (6), (10) sterowany obwód Chuy moŜemy
opisać następującym równaniem róŜniczkowym:
x& (t ) = Ax(t ) + g l (x(t )) + λLC(x(t ) − x S (t )) ,
(13)
gdzie odpowiednie macierze mają postać:
L
1 1
1

  − g1 
 RC1
 C1  R
1
1
= 
−

RC 2
RC 2

1

0
−
L1

T
= [l1 l2 l3 ]
C
=
g l x(t )
 g2

 C g L ( x1 (t ))
 1

0
= 



0




A
[c1
c2

0 

1 
C2 
Ro 
− 
L1 
c3 ]
Wtedy
 g2
− C k x,xS
 1
g L (x(t )) − g L (x S (t )) = 
0

0



0 0

0 0e(t ) = M x,xS e(t ) .
0 0


(14)
Parametr k x,xS występujący w macierzy M x,xS przyjmuje następujące wartości w zaleŜności
od wartości zmiennej x1 [6, s. 283]:
k x , xS
b, − 1 < x1

= a, − 1 ≤ x1 ≤ 1 ,
b, x > 1
1

(15)
Po uwzględnieniu (14) oraz przyjęciu, Ŝe przez cały czas znajdujemy się w obszarze
atrakcji jednego punktu równowagi xS, równanie (9) moŜemy zapisać:
e& (t ) =
=
=
(A + LC)e(t ) + g L (x(t )) − g L (x S (t ))
(A + LC)e(t ) + M x,x e(t )
,
(A + LC)e(t )
S
(16)
47
gdzie macierz A = A + M x,xs . Układ (16) jest układem liniowym. Jeśli para macierzy (A, C)
jest obserwowalna, zob. np. [9, s. 90], to dobierając odpowiednio wartości macierzy L,
moŜemy uzyskać dowolny rozkład wartości własnych macierzy (A + LC) , w szczególności
Re(λ (A + LC)) < 0 .
5. EKSPERYMENTY NUMERYCZNE
Jednym ze sposobów doboru wartości wektora L moŜe być technika lokowania wartości
własnych.
Niech
C = [0 1 0]
i
λ (A + LC) = −0.1 ,
punkt
x pocz = [0.75 0.75 0.75] . Wybieramy punkt równowagi o współrzędnych
początkowy
[0
0 0]
i zadanie nasze będzie polegało na stabilizacji obwodu Chuy w tym punkcie równowagi za
pomocą regulatora (7).
Na rysunku 5 przedstawiono na płaszczyźnie fazowej x1 × x2 trajektorie obwodu Chuy
ze sterowaniem (7). Parametry regulatora wyznaczone dla obwodu Chuy z nieliniowością
(11) zastosowano do obydwu Chuy z nieliniowością (2). Rysunkek 6 przedstawia przebiegi
czasowe zmiennych stanu obwodu Chuy.
Rys. 5. Trajektorie x1 i x2 obwodu Chuy sterowanego regulatorem, którego parametry dobrano
techniką lokowania wartości własnych. Kolor szary - obwód Chuy z nieliniowością (2), kolor
czarny - obwód Chuy z nieliniowością (11)
Fig. 5. Trajectories x1 and x2 of Chua’s circuit controlled by regulator which parameters are found
using root locus technique. Gray color – Chua’s circuit with non-linear function (2), black
color – Chua’s circuit with non-linear function (11)
Innym ze sposobów wyznaczenia parametrów wektora L, tak aby stabilizował obwód
Chuy, jest zastosowanie regulatora LQR. Regulator LQR jest typem regulatora
48
proporcjonalnego do stanu otrzymanym w wyniku minimalizacji następującego wskaźnika
jakości:
∞
(
)
J (u, x 0 ) = ∫ x T (t )Wx(t ) + u T (t )Ru(t ) dt ,
(17)
0
gdzie W = W T ≥ 0 i R = R T ≥ 0 .
Rys. 6. Przebiegi czasowe trajektorii x1, x2 i x3 obwodu Chuy sterowanego regulatorem, którego parametry dobrano techniką lokowania wartości własnych. Kolor szary - obwód Chuy z nieliniowością (2), kolor czarny - obwód Chuy z nieliniowością (11)
Fig. 6. Time tracking state variables x1, x2 and x3 of Chua’s circuit controlled by regulator which
parameters are found using root locus technique. Gray color – Chua’s circuit with non-linear
function (2), black color – Chua’s circuit with non-linear function (11)
Macierze W i R moŜna traktować jako macierze wagowe. Po odpowiednim ustawieniu
wartości macierzy W moŜemy zdecydować, która ze zmiennych będzie lepiej stabilizowana.
Przez dobór wartości macierzy R decydujemy o maksymalnej amplitudzie sterowania.
Na rysunku 7 przedstawiono na płaszczyźnie fazowej x1×x2 trajektorie obwodu Chuy
z regulatorem LQR. Parametry regulatora LQR wyznaczone dla obwodu Chuy z nieliniowością (11) zastosowano do obydwu Chuy z nieliniowością (2).
Na wykresach 6 i 8 zamieszczono przebiegi czasowe zmiennych x1, x2 i x3. Jak moŜna
zauwaŜyć, po pewnym czasie wszystkie zmienne stanu osiągają zadany punkt [0 0 0] .
49
Rys. 7. Trajektorie x1 i x2 obwodu Chuy sterowanego regulatorem LQR. Kolor szary - obwód Chuy
z nieliniowością (2), kolor czarny - obwód Chuy z nieliniowością (11)
Fig. 7. Trajectories x1 and x2 of Chua’s circuit controlled by regulator LQR. Gray color – Chua’s
circuit with non-linear function (2), black color – Chua’s circuit with non-linear function (11)
Rys. 8. Przebiegi czasowe trajektorii x1, x2 i x3 obwodu Chuy sterowanego regulatorem LQR. Kolor
szary - obwód Chuy z nieliniowością (2), kolor czarny - obwód Chuy z nieliniowością (11)
Fig. 8. Time tracking state variables x1, x2 and x3 of Chua’s circuit controlled by LQR. Gray color –
Chua’s circuit with non-linear function (2), black color – Chua’s circuit with non-linear
function (11)
6. ROZWAśANIA NA TEMAT STEROWANEGO OBWODU CHUY
W tym rozdziale przeprowadzimy rozwaŜania, dotyczace stabilizacji sterowanego
obwodu Chuy. Będziemy analizować przypadki, w których sterowanie w postaci źródła
50
napięcia jest umieszczone w jednym z trzech oczek w obwodzie. Następnie sprawdzimy, czy
regulator proporcjonalny będzie w stanie ustabilizować system.
RozwaŜmy obwód Chuy ze sterowaniem w pierwszym równaniu, tzn.
C1 x&1 (t ) = −
1
1
x1 (t ) + x2 (t ) − g ( x1 (t )) + u (t ) .
R
R
(18)
Sprawdźmy, dla jakich parametrów k1 regulatora proporcjonalnego
u (t ) = −k1 x1 (t ),
k1 > 0 ,
(19)
zerowy punkt równowagi układu zamkniętego będzie asymptotycznie stabilny. Powstały
układ zamknięty moŜna opisać równaniem
x& (t ) = A1x(t ) + G 1 (x(t )) ,
(20)
gdzie
 1 + ( g1 + k1 )R
−
C1 R

1
A1 = 

C2 R

0


1
C1 R
1
−
C2 R
1
−
L
 g
3
G 1 (x(t )) = − 2 x1 (t )
 C1

0 

1 
,
C2 
R 
− 0
L
(21)
T

0 0 .

(22)
NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe układ (20) ma zerowy punkt równowagi, który będzie
asymptotycznie stabilny, jeŜeli A1 będzie macierzą asymptotycznie stabilną. Wynika to
bezpośrednio z pierwszej metody Lapunowa (zob. [7, s. 53], [9, s. 34 ]). O asymptotycznej
stabilności macierzy A1 decydują jej wartości własne, które z kolei moŜna łatwo sprawdzić
posługując się liniami pierwiastkowymi. Linie pierwiastkowe są wykresami pierwiastków
równania charakterystycznego układu zamkniętego w funkcji wartości wzmocnienia
regulatora w pętli sprzęŜenia zwrotnego. Pokazują one zatem, jak będą się przemieszczać
bieguny, gdy wzmocnienie będzie rosło. Linie pierwiastkowe zaczynają się zawsze
w punktach odpowiadających biegunom transmitancji układu otwartego (k1=0) - na rys. 9
zaznaczone krzyŜykiem. Linie te kończą się w punktach odpowiadających zerom
transmitancji (k1=∞) - na rys. 9 zaznaczone kółeczkiem. Z rys. 9 moŜna wyliczyć zakres
wartości wzmocnienia k1, dla których zerowy punkt równowagi układu zamkniętego będzie
asymptotycznie stabilny.
51
Rys. 9. Linie pierwistkowe dla układu liniowego z macierzą A1
Fig. 9. Root locus plot for the linear system with matrix A1
RozwaŜmy teraz obwód Chuy ze sterowaniem w drugim równaniu, tzn.
C 2 x& 2 (t ) =
1
1
x1 (t ) − x2 (t ) + x3 (t ) + u (t ) ,
R
R
(23)
wraz z regulatorem proporcjonalnym
u (t ) = −k 2 x1 (t ),
k2 > 0 .
(24)
Układ zamknięty będzie moŜna opisać równaniem (20), z tym Ŝe zamiast macierzy A1 naleŜy
rozwaŜyć macierz A2 o postaci
 1 + g1 R
− C R
1

1

A2 =
 C2 R

0


1
C1 R
1 + k2 R
−
C2 R
1
−
L

0 

1 
.
C2 
R 
− 0
L
(25)
Linie pierwiastkowe dla układu liniowego z macierzą A2 pokazano na rys. 10. Jak moŜna
łatwo zauwaŜyć, jedna z wartości własnych macierzy A2 ma część rzeczywistą większą od
zera dla kaŜego k2>0. Wnioskujemy stąd, Ŝe zerowy punkt równowagi jest niestabilny.
52
Przy analizie sterowania w trzecim równaniu, tzn.
Lx&3 (t ) = − x2 (t ) − R0 x3 (t ) + u (t ) ,
(26)
z regulatorem proporcjonalnym
u (t ) = − k3 x1 (t ),
k3 > 0 ,
(27)
naleŜy rozwaŜyć macierz
 1 + g1 R
− C R
1

1
A3 = 
 C2 R

0


1
C1 R
1
−
C2 R
1
−
L



1
.
C2 
R +k
− 0

L 
0
(28)
Linie pierwiastkowe dla układu liniowego z macierzą A3 przedstawia rys. 11. Jak widać,
zerowy punkt równowagi będzie niestabilny dla kaŜdego k3>0.
53
Symulacje zamieszczone w pracy wykonano przy uŜyciu pakietu MATLAB®. Przyjęto
następujące dane C1=0.7, C2=7.8, L=1.891, R0=0.01499, g1=-0.59, g2=0.02 tak jak w pracy [4,
s. 36].
7. UWAGI NA TEMAT DYNAMIKI CHAOTYCZNEJ W OBWODZIE CHUY
W rozdziale tym pokaŜemy, Ŝe jeŜeli nieliniowy element w obwodzie elektrycznym Chuy
jest elementem dysypatywnym, to zachowania chaotyczne nie wystąpią, a układ będzie
asymptotycznie stabilny. Przyjmijmy zatem, Ŝe nieliniowa charakterystyka g spełnia
następujące zaleŜności
g (0) = 0,
g (v )v > 0,
v ∈ Ω \ {0} ,
(29)
przy czym Ω jest pewnym otoczeniem zera. Spełnienie zaleŜności (29) oznacza, Ŝe energia
będzie rozpraszana na rozwaŜanym elemencie.
Równania róŜniczkowe opisujące dynamikę układu przepisujemy do postaci
~
~
~
Hx& (t ) = Ax (t ) + G ( x (t )),
x (0 ) = x0 ,
(30)
przy czym
~
H = diag (C1 , C 2 , L ), ,
(31)
54
 1
− R
~  1
A=
 R
 0

1
R
1
−
R
−1

0 

1 ,

− R0 

(32)
− g ( x1 (t ))
~
.
G (x(t )) = 
0



0
(33)
Twierdzenie
JeŜeli nieliniowa oporność charakteryzowana przez funkcję g spełnia zaleŜności (29), to
zerowy punkt równowagi systemu (30) jest lokalnie asymptotycznie stabilny.
Dowód. Idea dowodu polega na pokazaniu, Ŝe następujący funkcjonał
x1
x
( )
~ T
V ( x (t )) = ∫ g 1 (ξ ) dξ − ∫ Aξ dξ ,
0
(34)
0
jest funkcjonałem Lapunowa dla systemu (30). Niech Xl będzie jednospójnym zbiorem
ograniczonym zawierającym początek układu współrzędnych. Niech V(x)<1 dla x ∈ Xl,
l ∈ R, l>0. ZauwaŜmy, Ŝe forma kwadratowa
~
1
2
ξ T Aξ = − (ξ1 − ξ 2 ) − R0ξ 32 ≤ 0 ,
R
(35)
jest ujemnie półokreślona, wobec czego całka występująca we wzorze (34) nie będzie
przyjmować wartości dodatnich
x
x1
0
0
x2
x3
1 
1
~ T
 1
1

∫ (Aξ ) dξ = ∫  − R ξ1 + R x2  dξ1 + ∫  R x1 − R ξ 2 + x3  dξ 2 + ∫ (− x2 − R0ξ 3 )dξ 3 . (36)

0

0
Zatem, V(x)>0 dla x ∈ Xl, x ≠ 0 oraz V(x)=0 dla x=0.
Pochodna czasowa funkcjonału V wyraŜa się wzorem
~
V& ( x ) = g1 ( x1 (t ))x&1 (t ) − x(t )A T x& (t ).
(37)
Na trajektoriach systemu (30) pochodna sprowadza się do wyraŜenia
~
~
V& ( x ) = − G ( x (t ))T x& (t ) − x (t )T AT x& (t )
T
~
~
= − G ( x (t )) + Ax (t ) x& (t )
,
T ~ −1 ~
~
~
~
= − G ( x (t )) + Ax (t ) H G ( x (t )) + Ax (t )
(
(
)
)
(
)
(38)
55
które moŜna takŜe zapisać w postaci
T ~
V& (x ) = − x& (t ) Hx& (t ) ≤ 0.
(39)
Na podstawie twierdzenia LaSalle'a [7, s. 64] rozwiązania układu startujące ze zbioru Xl będą
dąŜyć asymptotycznie do maksymalnego inwariantnego zbioru zawartego w S, gdzie
S = x ∈ X ⊂ R 3 : V& (x ) = 0 .
(40)
{
l
}
~
PoniewaŜ V& (x ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x& = 0 (macierz H jest macierzą dodatnio
określoną), więc z równania (30) otrzymamy zaleŜność
− x1 + x2 = Rg ( x1 ).
(41)
Po pomnoŜeniu obustronnie równania (41) przez x1 dostaniemy
− x12 + x1 x2 = Rg ( x1 )x1 .
(42)
Łatwo sprawdzić, Ŝe jedynym rozwiązaniem powyŜszego równania jest element zerowy x1=0.
Oznacza to równieŜ, Ŝe x2=x3=0. Zatem, największym zbiorem inwariantnym zawartym w S
jest zbiór {0}. Na podstawie twierdzenia LaSalle'a kaŜda trajektoria układu (30) zmierza
asymptotycznie do zerowego punktu równowagi.
8. WNIOSKI
W pracy opisano sposób doboru regulatora dla obwodu Chuy, wykorzystującego ideę
zapoŜyczoną z teorii odtwarzania stanu. Regulator otrzymany w ten sposób jest regulatorem
proporcjonalnym do stanu i realizuje on załoŜone zadanie - stabilizuje system w niestabilnym
punkcie równowagi. Parametry regulatora dobrano na dwa sposoby: korzystając z techniki
lokowania wartości własnych i rozwiązując problem z liniowo-kwadratowym wskaźnikiem
jakości (regulator LQR). W obydwu przypadkach, jeŜeli tylko trajektorie systemu znajdowały
się w obszarze atrakcji punktu równowagi, regulatory pracowały poprawnie. W pracy opisano
teŜ, w jaki sposób w pewnym przedziale wartości zmiennych stanu nieliniowość występująca
w obwodzie Chuy moŜe być przybliŜona inną funkcją, co prawda teŜ nieliniową, ale jest to
funkcja kawałkami liniowa. W pewnym przedziale wartości zmiennych stanu takie
przybliŜenie jest dostatecznie dokładnie i upraszcza ono analizę obwodu Chuy, który moŜe
być traktowany jako układ liniowy. W drugiej części pracy przeprowadzono analizę
moŜliwości stabilizacji obwodu Chuy za pomocą proporcjonalnego regulatora w zadanym
punkcie, ale w przypadku gdy regulator mógł sterować tylko jedną zmienną stanu.
Z przeprowadzonej analizy wynika, Ŝe tylko dla pierwszej zmiennej stanu jesteśmy w stanie
znaleźć taki regulator proporcjonalny, który będzie stabilizował system.
56
Praca finansowana z projektu badawczego nr N N514 414034 i częściowo z działalności
statutowej AGH nr pracy 11.11.120.817
BIBLIOGRAFIA
1.
Yeong Chan Chang.: A robust cracking control for chaotic Chua’s circuits via
fuzzyaproach. “IEEE Transactions on Circuits and System I: Fundamental Theory and
Applications” 2001, No. 48(7), p. 885-889.
2. Guanrong Chen and Xiaoning Dong.: From chaos to order. Methodologies, perspectives
and applications. Word Scientific, Singapore 1998.
3. Liang Chen and Guanrong Chen.: Fuzzy predictive control of uncertain chaotic systems
using time series. “International Journal of Bifurcation and Chaos” 1999, No. 9(4),
p. 757-767.
4. Galias Z.: Metody arytmetyki przedziałowej w badaniach układów nieliniowych.
Rozprawy Monograficzne vol. 122, Monografie, UWND AGH, Kraków 2003.
5. Ge S. S. and Wang C.: Adaptive control of uncertain Chua’s circuits. “IEEE Transactions
on Circuits and Systems I, Fundamental Theory and Applications” 2000, No. 47(9),
p. 1397-1402.
6. Guo-Ping Jiang, Guanrong Chen and Wallace Kit-Sang Tang.: Stabilizing unstable
equilibria of chaotic systems from a state observer approach. “IEEE Transaction on
Circuits and Systems II, Express Briefs”, 2004, No. 51(6), p. 281-288.
7. LaSalle J. and Lefschetz S.: Zarys teori stabilności Lapunowa i jego metody
bezpośredniej. PWN, Warszawa 1966.
8. Liu L.and Huang J.: A remark on stabilization of Chua’s circuit. Control Conference
2006, Chinese, p. 2045-2049.
9. Mitkowski W.: Stabilizacja systemów dynamicznych. WNT, Warszawa 1991.
10. Mitkowski W.: Równania macierzowe i ich zastosowania. UWND AGH, Kraków 2006.
11. Puebla H., Alvarez-Ramirez J. and Cervantes I.: A simple tracking control for Chua’s
circuit. “IEEE Transaction on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and
Applications”, 2003, No. 50(2), p. 280-284.
12. Yu Y., Zhong Q., Li K., Yu J. and Liao X.: Absolute stabilization for impulsive control
of Chua’s oscillators. International Conference on Communications, Circuits and
Systems, 2007, p.1141-1144.
Recenzent: Dr hab. inŜ. Andrzej Kapłon, prof. Pol. Świętokrzyskiej
Wpłynęło do Redakcji dnia 15 października 2010 r.
57
Abstract
In this paper various control methods of Chua's circuit are proposed. The goal is to
stabilise Chua's circuit in unstable equilibria points. Chua’s circuit is an example of simple
electrical dynamic system where we can observe chaotic behavior.
Under some conditions non-linear function (10) can be approximated by piecewise linear
function (11). As we can see on figure 4 in Chua’s circuit with the function (11) we also
observe chaotic trajectories. Using the function (11) instead of non-linear function (10) gives
us ability to use well known proportional regulator. Parameters of regulator have been found
using root locus technique and LQR technique. Figures 5, 6, 7, 8 present simulations results.
As we can see all regulators work properly for both original and modified Chua’s circuit.
The second part of the paper contains discussion about stabilisation of Chua’s circuit in
unstable equilibria points by using proportional controller. However, in this case the
controller can control only single variable of the state space vector. For these types of
controllers, a root locus method is used to analyse the corresponding closed-loop systems (see
figures 9, 10 and 11). Simulation results show the effectiveness of the proposed controllers.

Wersja elektroniczna artykułu

Transkrypt

Podobne dokumenty

tutaj

LITERATURA

Odcinek1

Obejrzyj na stronie internetowej