Laboratorium 5: 1. Korzystając z tablicy ”ogokob” przyjąć, że e100

Laboratorium 5:
1. Korzystając z tablicy ”ogokob” przyjąć, że e100 = 2,29 a następnie użyć kolumn
x i qx do sporządzenia tabeli wartości ex dla x = 0, 1, . . . , 99. Stosować wzór
ex = px (1 + ex+1 ). Porównać z wartościami podanymi w tablicy.
2. a) Korzystając z tablicy ”ogokob” znaleźć wartości t p50 dla t = 1, 2, . . . , 50 i
zapisać je w kolumnie. (Wzór: 2 p50 = p50 p51 , 3 p50 = 2 p50 p52 , . . .)
b) W sąsiedniej kolumnie wpisać wartości t p50 dla t = 1, 2, . . . , 50 wyliczone przy
założeniu Gompertza (tzn. µx+t = Bcx+t ), a więc
t p50 = exp −
Bc50 t
c −1 .
ln c
Przyjąć początkowo B = 0, 0001, c = 1, 1.
c) W kolejnej kolumnie wpisać wartości kwadratów różnic poprzednich kolumn.
d) Obliczyć sumę kwadratów i przy pomocy Solvera znaleźć wartości B i c dla
których suma kwadratów jest najmniejsza.
3. a) Przyjmując, że A50 = 1000 i korzystając ze wzoru Ax = υqx + υAx+1 px
znaleźć wartości Ax dla x = 20, 21, . . . , 49 oraz r = 5%.
b) Sporządzić tabelę wartości A20 dla stóp procentowych od 4% do 6%, co 0,2%.
Wsk.: Przygotowując tabelę w punkcie a) odwoływać się do stopy zmienianej
Pokrętłem. Wtedy łatwo będzie uzyskać wartości do punktu b), które można
wpisać w osobnej tabelce stosując Wklej specjalnie.
4. Aby zabezpieczyć finansowo nowonarodzone dziecko, 25-letnia kobieta zawarła
ubezpieczenie na życie na 100 000 zł.
a) Obliczyć jednorazową składkę netto 105 A25 , tj. E(105 Z), posługując się tablicą
trwania życia i przyjmując r = 5%.
P
k+1 p q
Wsk.: Można ze wzoru A25 = 75
k 25 25+k ; wtedy pomocniczo sporządzić
k=0 υ
k+1
kolumny wartości υ
= exp(−δ(k + 1)) i k p25 . Wprowadzenie δ jest wygodne ze
względu na b) niżej.
b) Obliczyć wariancję zmiennej losowej Z. (wniosek: Var(105 Z) = 1010 Var(Z))
P
−2δ(k+1) p q
Wsk.: E(Z 2 ) = E(e−2δ(K+1) ) = 75
k 25 25+k
k=0 e
c) Wyliczyć odpowiednie wartości A25 i Var(Z) dla stóp procentowych od 3% do
8%, co 0,5%.
5. Obliczyć jednorazową składkę netto äx korzystając ze wzoru äx = 1 + υäx+1 px :
a) Przyjąć r = 5%, x = 50, 51, . . . , 99 oraz ä100 = 1.
b) Sporządzić tabelę wartości äx dla x przebiegających kolumnę, a r – wiersz (x
j.w, a r = 2, 3, 4, . . . 8%).
Komentarz do tablic trwania życia: najpierw tworzy się kolumnę qx , przyjmuje
się l0 = 100000 i oblicza L0 . Reszta wynika z zależności:
lx = lx−1 (1 − qx−1 ),
dx = lx qx ,
Lx =
lx + lx+1
,
2
Tx =
X
y­x
Ly ,
ex =
Tx
lx