Liczby zespolone

MiBM; S-I 0 .inż.
dr Krzysztof Żyjewski
8 października 2014
Liczby zespolone
Postać z = a + bi nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej, gdzie liczbę a nazywamy częścią
rzeczywistą liczby zespolonej z, oznaczamy Re z = a; liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby
zespolonej z, co oznaczamy Im z = b.
Definicja. Liczbę sprzężoną do liczby zespolonej z = a + ib oznaczamy poprzez z i określamy
wzorem:
z = a − ib.
Definicja.Modułem liczby zespolonej z = a + ib nazywamy liczbę rzeczywistą |z| określoną następująco:
√
|z| = a2 + b2 .
Definicja. Argumentem niezerowej liczby zespolonej z = a + bi (ozn. arg z ) nazywamy każdą liczbę
ϕ ∈ R spełniającą warunki:
cos ϕ =
a
|z|
sin ϕ =
oraz
b
.
|z|
Wówczas postać z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej.
Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
Niech z1 , z2 ∈ C oraz z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ), gdzie r1 = |z1 |, r2 = |z2 |.
Wówczas:
• z1 · z2 = r1 · r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )]
•
z1
z2
=
r1
[cos(ϕ1
r2
− ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )].
Twierdzenie. (Wzór de Moivre’a)
Niech z = r(cos ϕ + i sin ϕ) będzie dowolną liczbą zespoloną oraz n ∈ N. Wówczas zachodzi wzór
z n = rn (cos nϕ + i sin nϕ).
Twierdzenie. Dla każdej liczby zespolonej z = r(cosϕ + i sin ϕ) istnieje dokładnie n różnych liczb
zespolonych z0 , z1 , . . . , zn−1 takich, że (zk )n = z. Pierwiastki te wyrażają się wzorem:
√
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
dla k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
zk = r cos
n
n
Geometryczne zbiór pierwiastków stopnia n ≥ 3 z liczby zespolonej
z pokrywa się ze zbiorem
√
n
wierzchołków n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu r i o środku w początku układu
współrzędnych. Wierzchołki wyznaczone są w punktach z0 , z1 , ..., zn−1 , a kąt pomiędzy ich sąsiednimi
promieniami wodzącymi wynosi 2π
.
n
Pewne wartości funkcji trygonometrycznych
π
ϕ
0
6
1
sin ϕ
0
√2
3
cos ϕ
1
√2
3
tg ϕ
0
√3
ctg ϕ brak
3
1
π
√4
2
2
√
2
2
1
1
π
√3
3
2
1
√2
π
2
1
0
3 brak
√
3
0
3
MiBM; S-I 0 .inż.
dr Krzysztof Żyjewski
8 października 2014
Wzory redukcyjne
ϕ
sin ϕ
cos ϕ
tg ϕ
ctg ϕ
π
2
−α
cos α
sin α
ctg α
tg α
π
2
+α
cos α
− sin α
− ctg α
− tg α
π−α
sin α
− cos α
− tg α
− ctg α
π+α
− sin α
− cos α
tg α
ctg α
3π
2
−α
− cos α
− sin α
ctg α
tg α
3π
2
+α
− cos α
sin α
− ctg α
− tg α
2π − α
− sin α
cos α
− tg α
− ctg α
Zadania
1.Wykonaj podane działania w zbiorze liczb zespolonych. Wynik przedstaw
√
√ w postaci algebraicznej.
(a) (−4 + 3i) + (8 − 7i) (b) (4i − 3) − (1 − 10i)
(c) (1 + 2i) − ( 3 − 6i)
√
√
√
√
√
√
(d) ( 2 + i)(3 − 3i)
(e) ( 7 + 3i)( 7 + 3i) (f ) (3 − 2i)(1 + i) + |3 + 4i|
2
(1−i)3 −1
i(2−3i)
(h) (2−3i)
− 3−7i
(i) (1+i)
(g) 5+4i
3 +1
1−i
2−3i
2. Znajdź liczby a i b spełniające dane równania.
(a) a(2 + 3i) + b(4 − 5i) = 6 − 2i (b) (2 + ai)(b − 3i) = 7 − i
(c) 2a−3i
+ 3b+2i
=0
(d) 1+ai
= 3i − 1
5−3i
3−5i
b−2i
(e) (a − i)(2 − bi) = 11 − 23i
3. W
(a)
(d)
(g)
zbiorze liczb zespolonych rozwiąż podane równania.
z 2 − 4z + 13 = 0
(b) z + i − z + i = 0
3+i
i−1
z 2 + (2 + 2i)z + 3 − 2i = 0 (e) z−2i+1
= 2−iz
z 2 + (1 + 3i)z + i − 2 = 0 (h) z 4 + (1 + 3i)z 2 + i − 2 = 0
(c) (i − 3)z = 5 + i − z
Re z−iz−2i
(f ) (i+1)Im
= 1 − 3i
z−i
4. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb spełniające podane warunki.
(a) Re z = 3
(b) Im z = −2
(c) |z − 2i| < 3
(d) π3 < arg z < 43 π (e) 1 < |z − 3 + 2i| < 3 (f ) |z 2 | ≥ |Im (4z)| + 5
1−z
3i+4 ≥5
(g) Re 1+z
=1
(h) z−2i
5. Przedstaw w postaci trygonometrycznej następujące
√ liczby zespolone.
√
√
(a) 5 (b) i (c) − i (d) − 2 + 2i (e) 1 − i (f ) 3 − i (g) 2 − 6i
6. Korzystając
(a) sin 135o
(g) sin 23 π
(m) ctg 32
π
3
ze wzorów redukcyjnych oraz własności funkcji trygonometrycznych oblicz:
(b) cos 32 π
(c) tg 65 π
(d) cos 180o
(e) ctg 54 π (f ) sin 210o
(h) ctg 315o (i) cos 330o (j) sin 73 π
(k) cos 11
π (l) tg 510o
3
2
4
7
(n) sin 37 3 π (o) cos 58 3 π (p) tg 1001 4 π
7. Oblicz i zapisz w postaci algebraicznej.
√
√
(a) ( 3 − i)32
(b) (2 3 − 2i)30
(d) (cos 330 + i sin 330 )10
√ 4 √ 4
1+i 7
(g)
+ 1+i2 7
2
(j)
(1+i)42
√
( 3−i)17
(c)
(e) (1 + i)−6
(f )
√
(h) (1 + i)8 · (1 − i 3)6
(k)
√
(1−i 3)6
9
i (1+i)3
6
√1−i
3+i
(1+i)22
√
(1− 3i)6
(i) (1 + i)8 + (1 − i)8
√ 20
− 3+i
(l)
1−i
8. Oblicz i narysuj na płaszczyźnie zespolonej.
√
√
√
√
6
(a) 3 1
(b) p
64
(c) 4 116i (d) 5 1 + i
√
√
√
√
8
(f ) 5 −1 − i (g)
3 − i (h) 4 1 + i (i)
3 − 4i
2
p
√
(e)
1 − 3i
√
(j)
−3 − 4i