kombinatoryka

Kombinatoryka
Zadaniem tego działu jest nauczenie tzw. kombinacji czyli łączenia kilku elementów lub
zdarzeń w taki sposób, aby wyczerpać wszystkie dostępne możliwości.
1. Wypisanie:
Metoda wypisanie polega na rozpisaniu wszystkich możliwych sytuacji i policzeniu ich. Jest
skuteczna przy małych liczbach zdarzeń. Warto omówić tę metodę - czasem rozpisanie tylko
części przypadków pozwala nam wpaść na poprawne rozwiązanie.
Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 30 podzielnych przez 3?
Wypisujemy każdą z tych liczb: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ma być mniejsze od 30, więc
samo 30 się nie kwalifikuje. Mamy więc 9 takich liczb..
2. Reguła Mnożenia:
Regułę mnożenia (zasadę mnożenia) wykorzystujemy do zliczenia zdarzeń
elementarnych dla doświadczeń losowych, które można podzielić na etapy.
Jeśli doświadczenie losowe możemy podzielić na dwa etapy i pierwszy etap możemy
wykonać na n1 sposobów, zaś drugi na n2 sposobów, to całą czynność możemy wykonać
na n1 ⋅n2 sposobów.
Przykład. Rzucamy trzy razy monetą. Ile jest wszystkich możliwych wyników tego
doświadczenia?
Rozwiązanie:
Możliwe wyniki to np.: (Orzeł, Orzeł, Reszka), (O,R,R), (R,O,R), (R,R,R) ...
Zatem:
W I rzucie może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości.
W II rzucie również może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości.
W III rzucie również może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości.
Reguła mnożenia mówi, że w takiej sytuacji mamy:
2⋅ 2⋅ 2=8
możliwości.
W regule mnożenia zawsze zamieniamy spójnik "i" na mnożenie.
Przykład. Rzucamy 10 razy monetą. Ile jest możliwych wyników?
Rozwiązanie:
W każdym rzucie możemy otrzymać 2 wyniki: Orzeł albo Reszka. Powiemy:
1
W pierwszym rzucie mamy 2 możliwości i w drugim rzucie mamy 2 możliwości i w trzecim
rzucie mamy 2 możliwości... i w dziesiątym rzucie mamy 2 możliwości.
Zatem łącznie mamy:
możliwości.
Przykład. Rzucamy 3 razy sześcienną kostką do gry. Ile jest możliwych wyników?
Rozwiązanie:
W każdym rzucie możemy otrzymać jeden z sześciu wyników. Powiemy:
W pierwszym rzucie mamy 6 możliwości i w drugim rzucie mamy 6 możliwości i w trzecim
rzucie mamy 6 możliwości.
Zatem łącznie mamy:
6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63
możliwości.
Przykład. Rzucamy 5 razy sześcienną kostką do gry. Ile jest możliwych wyników?
Rozwiązanie:
W każdym rzucie możemy otrzymać jeden z sześciu wyników.
Zatem łącznie mamy:
6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 65
możliwości.
Przykład. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Ile jest wszystkich możliwych
wyników rzutu?
Czynność rzucania dwiema kostkami można podzielić na dwa etapy:


etap 1: rzut pierwszą kostką do gry,
etap 2: rzut drugą kostką do gry.
Etap 1 możemy wykonać na n1 = 6 sposobów (tyle jest możliwych różnych wyników rzutu
sześcienną kostką). Podobnie etap 2 – na n2 = 6sposobów.
Zatem z reguły mnożenia: n1 ⋅ n2 = 6 ⋅ 6 = 36 – tyle jest wszystkich możliwych wyników
rzutu dwoma sześciennymi kostkami. Obliczenia można poprzeć rysunkiem:
2
Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych, w których obie cyfry są mniejsze od 4?
Dzielimy tu na etapy:
1. ustaw cyfry dziesiątek:
Możliwe cyfry dziesiątek to 1,2,3,4 - 4 cyfry
2. ustaw cyfry jedności:
Możliwe cyfry dziesiątek to 0,1,2,3,4 - 5 cyfr
Zatem takich liczb jest 4 5 = 20
Doświadczenie losowe może się też składać z trzech etapów. Regułę mnożenia stosujemy
wtedy bardzo podobnie. Niech:



n1 to liczba sposobów na jakie możemy wykonać etap 1,
n2 to liczba sposobów na jakie możemy wykonać etap 2,
n3 to liczba sposobów na jakie możemy wykonać etap 3.
Wtedy całą czynność możemy wykonać na n1 ⋅n2 ⋅n3 sposobów.
Przykład. Ile mamy nieparzystych liczb trzycyfrowych?
Wszystkich cyfr mamy dziesięć: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Czynność składania liczby
trzycyfrowej możemy podzielić na trzy etapy:



etap 1: wybór cyfry setek,
etap 2: wybór cyfry dziesiątek,
etap 3: wybór cyfry jedności.
Etap 1 możemy wykonać na n1 = 9 sposobów (cyfrą setek może być dowolna cyfra oprócz 0,
bo wtedy liczba nie byłaby trzycyfrowa).
Etap 2 możemy wykonać na n2 = 10 sposobów (dowolna cyfra może stać na miejscu cyfry
dziesiątek).
Etap 3 możemy wykonać na n3 = 5sposobów (ponieważ liczba ma być nieparzysta, to cyfrą
jedności musi być jedna z cyfr: {1, 3, 5, 7, 9}).
3
Zatem z reguły mnożenia całą czynność ułożenia nieparzystej liczby trzycyfrowej możemy
wykonać na n1 ⋅n2 ⋅n3 = 9⋅10⋅5 = 450 sposobów. Czyli mamy 450 nieparzystych liczb
trzycyfrowych. Obliczenia można poprzeć rysunkiem:
Regułę mnożenia możemy rozszerzać na doświadczenia losowe (czynności) złożone z
większej liczby etapów.
3. Reguła dodawania:
Przypuśćmy, że możemy wykonać dwie czynności. Pierwsza z nich kończy się jednym z m
wyników, druga kończy się jednym z n wyników. Żaden z wyników pierwszej czynności nie
jest jednocześnie wynikiem drugiej czynności. Załóżmy następnie, że wykonujemy jedną z
tych dwóch czynności. Otrzymamy wówczas jeden z m + n wyników
Przykład:
Zamek szyfrowy jest strzeżony przez dwie wieże, jedna z nich jest zamknięta kodem
dwucyfrowym nieparzystym, druga kodem dwucyfrowym parzystym. Wystarczy złamać kod
na jednej wieży, aby wejść. Na ile sposobów możemy wejść do zamku?
Mamy tutaj jednocześnie regułę mnożenia i dodawania.
Najpierw mnożenia, wieża z kodem parzystym składa się z 2 cyfr.
Możliwe dziesiątki: 2,4,6,8
Możliwe jedności: 0,2,4,6,8
Zatem z reguły mnożenia mamy możliwości: 5 4 = 20
Tak samo w wieży nieparzystej.
Możliwe dziesiątki: 1,3,5,7,9
Możliwe jedności: 1,3,5,7,9
Z reguły mnożenia mamy 5 5 = 25 możliwości.
Z racji, że mamy „albo” (ta wieża albo tamta) sumujemy nasze wyliczone możliwości:
25+20 = 45
Odpowiedź: Do zamku możemy wejść na 45 sposobów.(tyle mamy możliwości złamania
kodu).
4