Zestaw SM1

Zestaw SM1
1. Niech X 1 ,K, X n będzie próbą prostą z populacji o dystrybuancie F (x) . Znaleźć dystry-
buantę statystyki X n:n = max( X 1 ,K, X n ) oraz jej gęstość, gdy rozkład populacji jest jednostajny na odcinku < a, b > .
2. Średnia liczba punktów uzyskiwanych w pewnym teście kwalifikacyjnym wynosi m = 60 .
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej grupie 150 zdających test, średnia w
próbie będzie różniła się od średniej dla ogółu kandydatów o mniej niż 15 punktów, jeśli dla
tej próby wariancja liczby uzyskanych punktów wynosi s 2 = 400 .
3. Wiadomo, że błąd pomiaru pewnego przyrządu ma rozkład normalny N (0,σ ) i z prawdopodobieństwem 0,95 nie wychodzi poza przedział (-1,1).
a) dokonano 10 niezależnych pomiarów tym przyrządem. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że wariancja empiryczna dla tej próby mieści się między 0,2 a 0,3.
b) dokonano 100 niezależnych pomiarów tym przyrządem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wariancja empiryczna dla tej próby jest większa od 0,28.
4. Niech X 1 ,K, X n będzie próbą prostą z populacji, w której cecha X ma rozkład o dystrybuancie
gdy
x≤0
 0
 2
F ( x) =  x + x gdy 0 < x ≤ ( 5 − 1) 2
 1
gdy
x > ( 5 − 1) 2

.
Znaleźć gęstość statystyki X 1:n = min( X 1 ,K, X n ) .
5. Z populacji, w której badana cecha ma rozkład Weibulla z parametrami λ = 1 , α = 2,5
wybrano próbę 100-elementową (plik: Weibull_zadanie_1.5). Wyznaczyć kwartyle empiryczne (w tym medianę) i odchylenie ćwiartkowe. Narysować histogramy, dzieląc dane na
odpowiednie liczby klas i porównać z wykresem gęstości rozkładu Weibulla o zadanych parametrach.
6. Niech X 1 ,K, X n będzie próbą prostą pochodzącą z populacji o rozkładzie Poissona z nie__
znanym parametrem λ . Do oszacowania λ użyto estymatorów X i S 2 . Który z nich jest
estymatorem nieobciążonym parametru λ ?
7. Korzystając z Excela (Narzędzia/Analiza danych/Generowanie liczb pseudolosowych)
zaproponować i przeprowadzić eksperyment ilustrujący rozwiązanie zadania 6.
8. Jakie są zalety statystyk dostatecznych? Czy można sobie wyobrazić jakieś wady tych
statystyk?
9. Przypuśćmy, że dysponujemy dwiema statystykami, A i B, jako estymatorami tego samego parametru w populacji. Estymator A jest nieobciążony, ale ma dużą wariancję. Estymator
B ma niewielkie obciążenie, ale wariancję równą jednej dziesiątej wariancji estymatora A.
Który estymator należy uznać za lepszy? Odpowiedź uzasadnić.
10. Koloseum, najbardziej znany zabytek rzymski, było zbudowane około 70 r. n.e. Trzęsienia ziemi poważnie uszkodziły potężną budowlę; inżynierowie próbują zapewnić budowli
przetrwanie kolejnych wstrząsów. Koloseum można podzielić na kilka tysięcy niewielkich
segmentów. Przypuśćmy, że przeciętny segment może przetrzymać trzęsienie ziemi o sile 3,4
stopnia w skali Richtera, przy odchyleniu standardowym 1,5. Wybrano losowo 100 segmentów i zbadano, jaką maksymalną siłę trzęsienia ziemi mogą one przetrzymać. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeciętny segment w próbie przetrzyma trzęsienie ziemi o sile co najmniej 3,6 stopnia w skali Richtera?
11. Niech X i Y będą takimi niezależnymi zmiennymi losowymi, że EX = 1 , EY = 3 ,
var X = var Y = σ 2 . Dla jakiej stałej c statystyka cX 2 + (1 − c)Y 2 jest nieobciążonym estymatorem parametru σ 2 ?
12. T1 i T2 są nieobciążonymi i niezależnymi estymatorami parametru θ oraz var Ti = σ i2 dla
i = 1, 2 . Sprawdzić, że dla każdego a ∈  statystyka T = aT1 + (1 − a )T2 jest nieobciążonym
estymatorem parametru θ . Wyznaczyć wartość a, przy której wariancja jest najmniejsza.
13. Badanie rynku kapitałowego sugeruje, że 58% funduszy inwestycyjnych osiągało w pewnym roku (na pewno różnym od 2007) na rynku papierów wartościowych wyniki lepsze od
przeciętnych. Analityk chce sprawdzić tę sugestię. Po zbadaniu losowej próby 250 funduszy
stwierdza, że tylko 123 fundusze osiągnęły w analizowanym roku wyniki lepsze od przeciętnych. Ustalić prawdopodobieństwo, że inna próba losowa charakteryzowałaby się frakcją z
próby powyżej tej, którą otrzymał analityk. Zakładamy, że wynik badania z pierwszego zdania jest prawdziwy.
14. Niech X 1 ,K, X n będzie próbą prostą pochodzącą z rozkładu jednostajnego na przedziale
(0,θ ) , gdzie θ > 0 . Wyznaczyć taka stałą a, przy której statystyka T = a min( X 1 ,K, X n ) jest
nieobciążonym estymatorem parametru θ .
15. Korzystając z Excela (Narzędzia/Analiza danych/Generowanie liczb pseudolosowych)
zaproponować i przeprowadzić eksperyment ilustrujący rozwiązanie zadania 14.