Transformata falkowa dr inż. Przemysław Berowski Instytut Elektrotechniki

Transformata falkowa dr inż. Przemysław Berowski Instytut Elektrotechniki

Transformata falkowa
dr inż. Przemysław Berowski
[email protected]
Instytut Elektrotechniki
Warszawa
Joseph Fourier
„
Fourier – na podstawie badań rozpływu
ciepła w niejednorodnie ogrzewanych
ciałach – zasugerował, że każda funkcja
matematyczna, obojętnie jak
skomplikowana, może być przedstawiona
jako suma pewnych prostych funkcji
podstawowych, a mianowicie takich jak te,
które opisują czysty ton w muzyce lub
czystą barwę światła.
LA Steen, Matematyka współczesna. 12 esejów. WNT, Warszawa 1983
Jean Baptiste Joseph Fourier
1768 Auxerre – 1830 Paris
Skąd wzięły się falki?
W XIX w. w standardową techniką
rozwiązywania równań różniczkowych
cząstkowych było stosowanie do tego celu
szeregu Fouriera, jednak Cauchy, Abel i
Dirichlet wskazywali na problemy, związane
z rozbieżnością szeregu Fouriera dowolnej
funkcji.
„
„
Paul David Gustav
du Bois-Reymond
1831 Berlin – 1889 Freiburg
W 1873 r. Paul Du Bois-Reymond jako
pierwszy podał przykład ciągłej funkcji
okresowej o okresie 2π, której rozwinięcie w
szereg Fouriera jest rozbieżne w punkcie.
Skąd wzięły się falki?
„
Rozwinięcie w szereg Fouriera nie daje
informacji o zachowaniu się takiej
funkcji, a także nie daje dobrej
aproksymacji w otoczeniu punktu x=0.
W 1910 r. Haar podaje nowy system
ortogonalny, oparty na funkcji
„
zdefiniowanej w przedziale [0,1].
Alfréd Haar
1885 Budapeszt – 1933 Szeged
Historia falek
„
„
„
„
„
„
„
„
1938, Paley-Littlewood, diadyczne grupowanie częstotliwości,
1948, Shannon, podstawy teorii informacji,
1977, Calderon, dekompozycja atomowa dystrybucji
w przestrzeniach parabolicznych Hp,
1981, Stromberg, usprawnienie systemu Haara,
1984, Grossman i Morlet, analiza sygnałów sejsmicznych
za pomocą dekompozycji funkcji Hardyego na całkowalne
z kwadratem falki,
1986, Meyer, konstrukcja bazy ortogonalnej w L2,
z przesuwaniem i rozszerzaniem funkcji gładkiej,
1987, Daubechies, ortogonalny system falek oparty na nośniku
zwartym (compactly supported),
1988, Mallat, analiza wielorozdzielcza i unifikacja konstrukcji
falek Stromberga, Battle-Lemarie’a i Meyera.
GW Pan, Wavelets in Electromagnetics and Device Modeling, Wiley 2003
Fala i falka
„
Fala sinusoidalna
„
„
„
stała amplituda,
nieskończona energia,
analiza Fouriera.
„
Falka
„
„
skończona energia
skupiona wokół punktu,
analiza falkowa.
Falka
„
zerowa wartość średnia
„
normalizacja
„
skupiona wokół t=0
„
skończone pasmo
przenoszenia
Rodzina falek
„
„
przesunięcie u
i skalowanie s
falki bazowej (ang.
mother wavelet)
normalizacja
Transformata falkowa
„
„
Ciągła TF (ang. Continuous (Integral)
Wavelet Transform, CWT (IWT))
Jest miarą zmienności funkcji f(t) w
otoczeniu u o rozmiarze
proporcjonalnym do s
Odwrotna transformata falkowa
„
Calderon, Grossmann, Morlet
gdzie:
warunek dopuszczalności
ang. admissibility condition
„
„
– falka nie może mieć składowej stałej
– musi być różniczkowalna w sposób ciągły
Wady CWT
„
„
„
zmiana współczynników
u i s w sposób ciągły,
nieskończona ilość
generowanych
współczynników,
oczywiście w praktyce
obliczeniowej przyjmuje
się skończony krok –
próbkowanie płaszczyzny
czasowoczęstotliwościowej
Funkcja i jej CWT z użyciem
maksykańskiego kapelusza (Mexican
hat wavelet)
S Mallat, A wavelet tour of signal processing
Funkcja skalująca φ (t)
„
„
„
„
przyjęcie granicznej wartości współczynnika skali s=s0 ,
jeśli Wf(u,s) jest znane tylko dla wartości s<s0 to do
odtworzenia oryginalnej funkcji f(t) konieczna jest
informacja o Wf(u,s) dla s>s0 ,
w tym celu wprowadza się funkcję skalującą (ang.
scaling function) i tworzy rodzinę funkcji skalujących
(funkcja bazowa funkcji skalującej bywa nazywana po
angielsku father wavelet),
funkcja skalująca jest „połączeniem” wszystkich falek o
współczynniku skali s>s0
Funkcja skalująca φ (t)
Wartość średnia różna od zera!!!
Falka
Funkcja skalująca
Falka Haara
Falka Haara nie jest ciągła i w konsekwencji jest trudno
lokalizowalna w przedziale częstotliwości
Iwona Piotrowska, Falki otrzymywane metodą analizy wieloskalowej
i ich zastosowania,Praca magisterska, UAM Poznań 2004
Falka Shanonna
Iwona Piotrowska, Falki otrzymywane metodą analizy wieloskalowej
i ich zastosowania,Praca magisterska, UAM Poznań 2004
Falka Franklina
Iwona Piotrowska, Falki otrzymywane metodą analizy wieloskalowej
i ich zastosowania,Praca magisterska, UAM Poznań 2004
Falka Meyera
Modyfikacja odwrotnej
transformaty falkowej
„
Funkcję skalującą można traktować jak odpowiedź
impulsową filtru dolnoprzepustowego, natomiast
falkę – filtru pasmowego
Kostka Heisenberga
„
„
jej powierzchnia jest
niezależna od
współczynnika skali
rozdzielczość
względem czasu i
częstotliwości zależy
od współczynnika
skali
Falki dyskretne
Jeśli ciągłe skalowanie s i przesunięcie u zastąpi się dyskretnym
otrzyma się dyskretną rodzinę falek (j,k – liczby całkowite)
„
„
„
Zazwyczaj przyjmuje się
oraz
co daje diadyczne próbkowanie i obliczenia
prowadzi się oktawę po oktawie
Zatem rodzinę falek otrzymujemy przez
skalowanie j i przesunięcie k
,
Analiza falkowa
„
Sygnał może zostać przedstawiony jako suma funkcji
skalujących i falek, tworzących rodzinę funkcji ortogonalnych.
Piramida Mallata
„
„
„
Mallat podał zależności między kolejnymi
współczynnikami rozkładu.
h – współczynniki filtru dolnoprzepustowego
skalującego H,
g – współczynniki filtru górnoprzepustowego
falkowego G.
Piramida Mallata
„
„
na wyjściu filtru H otrzymujemy uśrednioną,
wygładzoną informację o sygnale wejściowym,
na wyjściu filtru G – szczegóły sygnału.
Piramida Mallata
3-poziomowa analiza
Zakresy częstotliwości
Ograniczenia
„
„
Rozmiar analizowanego sygnału czy funkcji musi
mieć rozmiar 2n, n ∈ N.
Powstały metody dopasowujące rozmiar sygnału,
przez dodanie dodatkowych informacji na jego
krańcach.
Ograniczenia
„
Zero-padding:
„
„
„
Symetryzacja:
„
„
„
„
poza swoim oryginałem sygnał równy 0,
nieciągłości na granicy.
symetryczne powielanie sygnału,
nieciągłość pierwszej pochodnej na granicy,
dobrze nadaje się do obrazów.
Smooth-padding 0:
„
„
ekstrapolacja stała,
dodanie pierwszej wartości sygnału po lewej i ostatniej po
prawej jego stronie.
Ograniczenia
„
Smooth-padding 1:
„
„
„
„
Periodic-padding 1:
„
„
„
„
ekstrapolacja pierwszą pochodną,
rozszerzenie sygnału musi pokrywać się z pierwszymi dwoma i
ostatnimi dwoma wartościami sygnału,
do funkcji gładkich.
dla parzystej liczby próbek
rozszerzenie okresowe,
nieciągłości na granicy.
Periodic-padding 2:
„
„
„
dla nieparzystej liczby próbek,
dodaje się dodatkową wartość po prawej stronie równą ostatniej
wartości sygnału,
potem (jw.).
Dekompozycja sygnału
„
„
filtr
dolnoprzepustowy
filtr
górnoprzepustowy
Przykładowa analiza sygnału
Analiza obrazu
„
Obraz przed i po DWT
Analiza
obrazu
Kompresja obrazu
„
Po DWT część współczynników stanie się bardzo
mała – można je pominąć (tu: 88,15%)
Kompresja obrazu
„
„
„
„
„
JPEG, bez kompresji, 438 874 B
Kompresja bezstratna
Kompresja stratna
W 1986 roku została powołana
grupa Joint Photographic Expert
Group mająca zająć się
standaryzacją algorytmów do
przetwarzania obrazów
monochronatycznych
i kolorowych.
W 1991 w normie ISO zawarto
standard JPEG. Standard ten
odnosi się do obrazów
statycznych, a zatem polega na
usunięciu nadmiarowej informacji
drogą kodowania
wewnątrzobrazowego, tj.
dokonanego w obrębie jednego
obrazu.
Kompresja obrazu
„
„
Oko ludzkie, w przypadku kolorowych detali, nie wymaga tak dużej
rozdzielczości, jak w przypadku obrazów czarno-białych. Dlatego też
na początku w stratnej kompresji obrazu - w przypadku obrazu
kolorowego - wyjściowy obraz przenosimy z przestrzeni RGB do
przestrzeni kolorów YUV. Ludzkie zmysły są bardziej wyczulone na
składowe Y (luminancję) niż na składowe U (chrominancję, zmiany
odcienia szarości w kierunku niebieskim). czy też V (chrominancję,
zmiany odcienia szarości w kierunku czerwonym).
Obraz jest tablicą pikseli i z powodu ogromnej liczby pikseli w jednym
obrazie nie wszystkie piksele są jednocześnie poddawane
przetworzeniu. Najpierw dzielimy nasz obraz (macierz) na bloki pikseli
rozmiaru 8x8 (zaczynając od lewego górnego rogu), i dopiero te bloki
podlegaj¡ kompresji jeden po drugim za pomoc¡ systemu JPEG.
Kompresja obrazu
„
W roku 2001 grupa Joint Photographic Expert Group okeśliła nowy
standard JPEG2000. Standard ten należy traktować jako rozszerzenie
poprzedniego, gdyż jego ogólna struktura jest anologiczna, czyli:
„ przeniesienie obrazu do przestrzeni Y UV ,
„
„
„
„
transformacja wartości,
kwantyzacja,
kodowanie.
Uwzględnia on jednak użycie nowych narzędzi jakimi są falki.
Kompresja obrazu
JPEG
JPEG2000
kompresja 90%
kompresja 90%
16 116 B
19 469 B
Kompresja obrazu
JPEG
JPEG2000
kompresja 95%
kompresja 95%
8 012 B
9 985 B
Kompresja obrazu
JPEG
JPEG2000
kompresja 99%
kompresja 99%
4 429 B
2 395 B
Kompresja macierzy
współczynników
„
Jeśli potraktuje się macierz współczynników jak obraz cyfrowy i
zastosuje się do niej dwuwymiarową transformatę falkową to
znaczna część współczynników stanie się bardzo mała i będzie
mogła zostać pominięta (jak przy kompresji obrazu).
Macierz DWT
„
Macierz przekształcenia falkowego W:
filtr H
filtr G
Macierz DWT
„
„
Macierz ortogonalna, macierz odwrotna do niej
jest równa jej macierzy transponowanej.
Spełnione są zależności:
„
„
„
„
h02+ h12+ h22+ h32 = 1,
h2h0 + h3h1 = 0,
h3 - h2 + h1 + h0 = 0,
0h3 - 1h2 + 2h1 - 3h0 = 0.
Kompresja macierzy
współczynników
„
„
W macierzy można zaniedbać wszystkie współczynniki o
wartości bezwzględnej mniejszej od przyjętego progu .
Pozostanie nam wtedy około
współczynników o wartościach różnych od zera.
Kompresja macierzy
współczynników
„
Macierz pełna po DWT i zaniedbaniu współczynników
Wpływ na prędkość obliczeń
„
Czasy rozwiązywania układów równań po DWT macierzy
współczynników
552,6
5477,5
„
Dla 8192 równań przyspieszenie do 31,4 razy
przy błędzie względnym ok. 1%.
Uzupełnianie układu równań
„
Jeśli rozmiar macierzy nie jest całkowitą potęgą 2
„
„
uzupełniamy macierz do takiego rozmiaru
zerami poza i jedynkami na głównej przekątnej,
uzupełniamy jedynkami wektor prawych stron.
Uzupełnianie układu równań
DWT z permutacjami (DWTPer)
„
„
„
macierz przekształcenia
- macierz zerowa,
- macierz jednostkowa
o wymiarach 2L-1 – 1,
gdzie L – poziom DWTPer
DWT z permutacjami (DWTPer)
DWT z permutacjami (DWTPer)
„
skrócenie obliczeń już dla 4096 elementów,
jednak większe błędy rozwiązania
Zastosowania falek
„
„
„
„
„
„
„
„
„
próby detekcji fal grawitacyjnych (CWT),
badanie aktywności Słońca i plam na Słońcu (CWT),
JPEG2000,
cyfrowe znaki wodne,
automatyczne monitorowanie ruchu statków na
podstawie obrazów satelitarnych,
charakterystyka obrazów (van Gogh, Picasso, Monet,
Klee i in.),
analiza danych sejsmicznych (CWT i DWT),
rozwiązywanie równań różniczkowych i całkowych,
filtracja obrazów radarowych (SAR, Synthetic
Aperture Radar),
Zastosowania falek
„
„
„
„
rozpoznawanie i
identyfikacja twarzy (falka
Gabora),
rozpoznawanie pisma
(OCR) drukowanego
i ręcznego,
analiza dokumentów,
projektowanie czcionek,
„
„
„
eliminacja szumów z obrazów i sygnałów,
analiza i klasyfikacja faktury (tekstury),
falkowe deskryptory kształtu
„
32
„
64
Zastosowania falek
„
„
„
„
„
„
„
„
Rozpoznawanie głosu,
Detektory wykrywające zdalnie moment pęknięcia tafli szklanej
drogą analizy odebranego sygnału dźwiękowego,
Identyfikacja stanu funkcjonalnego mózgu,
Redukcja zakłóceń mięśniowych w sygnale
elektrokardiograficznym,
Detekcja zwarć w systemach elektroenergetycznych,
Identyfikacja nasycenia rdzeni transformatorów
energetycznych,
Klasyfikacja dźwięków instrumentów muzycznych,
Klasyfikacja sygnałów
Zastosowania falek w ekonomii
„
„
„
„
„
„
Badanie własności procesów ekonomicznych oraz
zależności między procesami w różnych skalach czasu
(w długim i krótkim okresie),
Badanie lokalnych i globalnych własności procesów
w różnych rozdzielczościach (z większą
bądź mniejszą dokładnością),
Wykrywanie załamań strukturalnych, obserwacji nietypowych,
punktów zwrotnych, nieciągłości czy skupiania się wariancji,
Badanie sezonowości i dostosowywania sezonowego szeregów,
Wygładzanie szeregów i wyznaczanie trendów,
Modelowanie dynamiki procesów nieliniowych za pomocą sieci
falkowych,
„ Badanie procesów z długą pamięcią,
„ Odkrywanie fraktalnej natury procesów ekonomicznych.
J. Bruzda, Teoria ekonometrii – wykłady,
Katedra Ekonometrii i Statystyki WNEiZ UMK
Zastosowania falek
„
„
Monitorowanie tętna i oddychania
P Addison, The little wave with the big future,
Physics World, March2004
Zastosowania falek
wdech (czarny)
„
„
wydech (biały)
Zastosowania
„
„
Wizualnie wyraźnie
widoczna korelacja
między sygnałem a jego
CWT – informacje te
mogą zostać
zanalizowane przez
komputer metodami
statystycznymi.
Konwencjonalna
transformata Fouriera nie
dostarcza użytecznych
informacji o cechach
sygnału!
Astronomia
„
„
Odkrycie okresowości
oscylacji pola
magnetycznego Słońca
Oscylacje o okresach:
„
„
„
U góry: analiza falkowa badanych danych,
u dołu: analiza Fouriera.
R Knaack, JO Stenflo, SV Berdyugina, Periodic oscillations in the north–south
asymmetry of the solar magnetic field, A&A 418, L17–L20 (2004)
1,50 ± 0,04 roku,
1,79 ± 0,06 roku oraz
3,6 ± 0,3 roku .
Dziękuję za uwagę