Zadanie 1. Rozważ zadanie 1 z poprzedniego zestawu. Preferencje
Transkrypt
Zadanie 1. Rozważ zadanie 1 z poprzedniego zestawu. Preferencje
Zadanie 1. Rozważ zadanie 1 z poprzedniego zestawu. Preferencje Jasia w które dni można reprezentować racjonalną relacją preferencji (pre-porządkiem zupełnym)? Zadanie 2. Dana jest relacja preferencji R będąca porządkiem częściowym (tzn. jest przechodnia, zwrotna i antysymetryczna) w skończonym zbiorze X. Dla dwóch elementów x,yX powiemy, że xPy, jeśli xRy i nie yRx. Sformułowano następujące funkcje przyporządkowujące podzbiorom X ich podzbiory, kolejno wybierające: C1 – elementy największe, tj. C1(Y)={yY: zY zachodzi yRz}, C2 – elementy maksymalne, tj. C2(Y)={yY: zY, że zachodzi zPy}, C3 – elementy preferowane względem największej liczby elementów, tj. C3(Y)={argmaxyY #{zY: yRz}}. Uzupełnij tabelę wpisując „tak” lub „nie”. M C1(M) C2(M) C3(M) zawsze zwraca jakiś element wskazuje, co najwyżej jeden element zawiera się w C1 (tzn. jeśli zwraca jakiś element, to C1 też go zwraca) zawiera się w C2 (tzn. jeśli zwraca jakiś element, to C2 też go zwraca) zawiera się w C3 (tzn. jeśli zwraca jakiś element, to C3 też go zwraca) jeśli zwraca kilka elementów (np. x, y), to znaczy, że są równie dobre dla decydenta (czyli xRy i yRx) tak (z def.) tak (z def.) tak (z def.) Zadanie 3. Rozważmy zbiór X=R3, zawierający elementy x=(x1,x2,x3). Wprowadźmy 4 relacje – R1, R2, R3, R4. Powiemy, że: xR1y, jeśli x≥y (czyli x1≥y1, x2≥y2, x3≥y3), xR2y, jeśli istnieje wektor y* z przestawionymi elementami wektora y, że x≥y*, xR3y, jeśli x1+x2+x3≥y1+y2+y3, xR4y, jeśli min(x1,x2,x3)≥min(y1,y2,y3). (Jeśli elementy X oznaczają bogactwo trzech osób w grupie, to relacje te możemy interpretować: R 1 – wolimy rozkład x niż y, jeśli nikomu się nie pogarsza, przy czym osoby są odróżnialne; R 2 – wolimy rozkład x niż y, jeśli nikomu się nie pogarsza, przy czym osoby są nieodróżnialne; R3 – wolimy rozkład x niż y, jeśli suma bogactwa jest większa; R4 – wolimy rozkład x niż y, jeśli najgorzej sytuowanej osobie się poprawia.) Wypełnij tabelę, wstawiając T w komórce (i,j), jeśli z xRiy wynika xRjy, tj. zachodzenie relacji z wiersza dla x i y implikuje zachodzenie relacji z kolumny dla x i y. Wstaw N w pozostałych komórkach tabeli. Wariant R1 R1 T R2 R3 R4 R2 R3 R4 T T T Zadanie 4. Rozważmy zbiór wariantów decyzyjnych X=R+. Rozważmy trzy relacje R1: x R1 y x ≥ y R2: x R2 y x ≥ y+, dla ustalonego ściśle dodatniego (traktujmy jako dany parametr) R3: x R3 y x ≥ y-, dla ustalonego ściśle dodatniego (traktujmy jako dany parametr) Wskaż, które relacje R1-R3 posiadają poszczególne własności. Jeśli dana relacja nie posiada danej własności, podaj jak najprostszy przykład. A. zupełność B. przechodniość C. antysymetryczność D. negatywna przechodniość Dla danej relacji R można zdefiniować relację P w następujący sposób: x P y xRy yRx Dla każdej z powyższych relacji Ri zdefiniujmy w ten sposób relację Pi. Wskaż, które relacje P1-P3 posiadają poszczególne własności. E. x,y,x≠y zachodzi xPiy lub yPix F. jest przechodnia Zadanie 5. Rozważmy zbiór X=R3, zawierający elementy x=(x1,x2,x3). Wprowadźmy 4 relacje preferencji ostrej („jest lepsze niż”) – P1, P2, P3, P4. Powiemy, że: { } xP1y – xP2y – Me{x1,x2,x3}>Me{y1,y2,y3}, gdzie Me to mediana xP3y – x1+x2+x3 > y1+y2+y3 xP4y – max{x1,x2,x3} - min{x1,x2,x3} < max{y1,y2,y3} - min{y1,y2,y3} Jeśli elementy X oznaczają użyteczność trzech osób w grupie, to relacje te możemy interpretować: P1 – wolimy rozkład x niż y, jeśli co najmniej dwóm osobom jest lepiej P2 – wolimy rozkład x niż y, jeśli klasie średniej jest lepiej P3 – wolimy rozkład x niż y, jeśli łączna użyteczność jest większa (utylitaryzm) P4 – wolimy rozkład x niż y, jeśli dysproporcje (zdefiniowane jako różnica między najlepiej a najgorzej sytuowanym) są mniejsze Wypełnij tabelę, wskazując, które własności mają poszczególne relacje. P1 P2 przechodniość asymetryczność negatywna przechodniość P3 P4