Smak obliczeń kwantowych

Paradygmaty i języki programowania
Smak obliczeń kwantowych
UMCS Lublin
5 czerwiec, 2014. w–15
Teleportacja
TH-researchers cannot “beam” objects or humans of flesh and blood through space
yet, a feat sometimes alluded to in science fiction movies. They managed, however, to
teleport information from A to B – for the first time in an electronic circuit, similar
to a computer chip.
ETH news. Sierpień, 2014.
E
Artykuł:
Deterministic quantum teleportation with feed-forward in a solid state system. L. Steffen,
Y. Salathe, M. Oppliger, P. Kurpiers, M. Baur, C. Lang, C. Eichler, G. Puebla-Hellmann,
A. Fedorov and A. Wallraff. Nature 500, 319–322 (15 August 2013) doi:10.1038/nature12422
http://www.nature.com/nature/journal/v500/n7462/full/nature12422.html
2 / 50
Teleportacja
| ψi C
•
H
•
| φi †A
| φi †B
•
| ψi B
G = (H ⊗ I)Cn .
3 / 50
Teleportacja – streszczenie
ngineered macroscopic quantum systems based on superconducting electronic circuits are attractive
for experimentally exploring diverse questions in quantum information science1,2,3 . At the current
state of the art, quantum bits (qubits) are fabricated, initialized, controlled, read out and coupled to
each other in simple circuits. This enables the realization of basic logic gates4 , the creation of complex
entangled states5,6 and the demonstration of algorithms7 or error correction8 . Using different variants of
low-noise parametric amplifiers9 , dispersive quantum non-demolition single-shot readout of single-qubit
states with high fidelity has enabled continuous10 and discrete11 feedback control of single qubits. Here
we realize full deterministic quantum teleportation with feed-forward in a chip-based superconducting
circuit architecture12,13,14 . We use a set of two parametric amplifiers for both joint two-qubit and
individual qubit single-shot readout, combined with flexible real-time digital electronics. Our device uses
a crossed quantum bus technology that allows us to create complex networks with arbitrary connecting
topology in a planar architecture. The deterministic teleportation process succeeds with order unit
probability for any input state, as we prepare maximally entangled two-qubit states as a resource and
distinguish all Bell states in a single two-qubit measurement with high efficiency and high fidelity. We
teleport quantum states between two macroscopic systems separated by 6mm at a rate of 104 s−1 ,
exceeding other reported implementations. The low transmission loss of superconducting waveguides is
likely to enable the range of this and other schemes to be extended to significantly larger distances,
enabling tests of non-locality and the realization of elements for quantum communication at microwave
frequencies. The demonstrated feed-forward may also find application in error correction schemes.
E
4 / 50
Co to są obliczenia kwantowe?
Wykorzystanie zjawisk mikroświata opisywanych mechaniką kwantoweą do obliczeń ... teoria
istnieje już 90 lat! Główne wysiłki:
Budowa urządzeń
Projektowanie algorytmów
5 / 50
Plan
1. Czy potrzebujemy komputerów kwantowych?
2. Bit i qubit
3. Algebra
4. Mechanika kwantowa w pigułce
5. Model obliczeń kwantowych
6. Bramki logiczne
7. Algorytmy
Algorytm Deutscha
Inne algorytmy
8. Informacja kwantowa
Teleportacja
9. Literatura
6 / 50
Jonowy komputer kwantowy
Komputer kwantowy. N-jonów. (Aspect, Grangier (2004).
7 / 50
Po co są komputery kwantowe?
Świat działa wg. mechaniki kwantowej (MK)
Urządzenia są coraz mniejsze; upakowanie (patrz prawa Moora 1 )
W mikroświecie obowiązują prawa fizyki kwantowej
Wykorzystanie MK może pozwolić na wykonanie klasycznie niemożliwych obliczeń
1
Czy potrzebujemy komputerów
kwantowych?
8 / 50
Bit
Komputer klasyczny oparty jest na pracy układów dwustanowych:
0↔1
Układ o dwóch stabilnych stanach dyskretnych z możliwością kontroli przejść między nimi
może być elementem komputera klasycznego.
Realizacja: Kondensator naładowany – 1, nienaładowany – 0.
Bit i qubit
9 / 50
Bit / Qubit
Realizacja: cząstka ze spinem w polu magnetycznym, atom o dwóch stanach.
Doświadczenie Sterna-Gerlacha (atomy srebra w polu magnetycznym)
E = −µ · B .
µ – moment magnetyczny atomu, B – indukcja magnetyczna.
Bit i qubit
10 / 50
Qubity
Układy dwustanowe, wg. mechaniki kwantowej, moga istnieć jako superpozycja stanów
czystych (bazowych).
|0i
ẑ
θ
Bit kwantowy (qubit) jest postaci
|ψi
•
α| 0i + β| 1i
ŷ
gdzie α i β – amplitudy
prawdopodobieństwa. – liczby zespolone
x̂
φ
|α| + |β| = 1 .
2
2
Przykład:
√
| xi = 1/
2 (| 0i
+ | 1i )
|1i
Sfera Blocha
α| 0i + β| 1i = e−iφ/2 cos
Bit i qubit
θ
θ
| 0i + eiφ sin | 1i
2
2
11 / 50
Pomiar
Wykonanie pomiaru na qubicie daje stan | 0i
z prawdopodobieństwem |α|2 i stan | 1i z prawdopodobieństwem
|β|2 .
Po pomiarze...
układ znajduje się w stanie zmierzonym: następny pomiar da
stan zmierzony.
Bit i qubit
12 / 50
Pomiar
Stany α| 0i + β| 1i i α| 0i − β| 1i są różne.
Prawdopodobieństwa pomiarów w obu przypadkach są jednakowe!
Ewolucja obu stanów jest różna.
Bit i qubit
13 / 50
Wektory
Qubit α| 0i + β| 1i możemy reprezentować wektorem w przestrzeni C2 . Wektor
α
β
interpretujemy jako
Wektorami bazowymi są: | 0i =
α
β
=α
1
0
1
0
i | 1i =
+β
0
1
0
1
.
(| .i – ket-Diraca). Jest to tzw. baza
obliczeniowa.
Bit i qubit
14 / 50
Splątanie stanów – entanglement
Układ złożony, np. z 4 qubitów (4-qubit)
a0 | 0000i + a1 | 0001i + · · · + a215 | 1111i
lub ogólniej
n
2X
−1
X
ai | i2 i ,
|ai |2 = 1 .
i=0
W wielu przypadkach taki stan można zapisac w postaci “iloczynu” stanów pojedynczych
qubitów, np.
1/2(| 00i
Bit i qubit
√
− | 01i − | 10i + | 11i ) = 1/
2(| 0i
√
2(| 0i
+ | 1i ) ⊗ 1/
− | 1i ) .
15 / 50
Splątanie stanów – entanglement
Splątanie . . .
Rozpatrzmy stany
√
| ai = 1/
2(| 00i
+ | 01i )
oraz
√
2(| 00i
| bi = 1/
+ | 11i ) .
Jeśli dokonamy pomiaru pierwszego qubitu w stanie
| ai zobaczymy | 0i z prawdopodobieństwem 1 i stan się
nie zmieni.
W drugim przypadku, pomiar da | 0i lub | 1i z równym
prawdopodobieństwem. Znamy też drugi qubit. Jest to
tzw. stan EPR (Einsteina-Podolskiego-Rosena).
Bit i qubit
16 / 50
Algebra
Qubity – wektory z abstrakcyjnej przestrzeni rozpiętej nad ciałem C2 – algebra przestrzeni
zespolonych.
Iloczyn tensorowy przestrzeni.
Operator liniowy
^ 0i + β| 1i ) = α(A|
^ 0i ) + β(A|
^ 1i )
A(α|
działający w przestrzeni z bazą ei reprezentowany jest macierzą o elementach Aij :
^ ei i =
A|
X
Aki | ek i .
k
Algebra
17 / 50
Algebra
Obrót wektorów
1
0
i
0
1
o 45o realizuje macierz
√
1/ 2
√
1/ 2
Wynikiem jej działania są wektory:
√ 1/ 2
√
1/ 2
Algebra
√
−1/ 2
√
1/ 2
oraz
√
−1/ 2
√
1/ 2
.
18 / 50
Iloczyn skalarny – wewnętrzny
W przestrzeni V iloczyn wektorów h u || vi jest odwzorowaniem: V × V → R.
Własności
h u || αv + βwi = α h u || vi + β h u || wi
h u || vi = h v || ui ∗
h v || vi ≥ 0;
Algebra
h v || vi ∈ R; h v || vi ↔v = 0.
19 / 50
Iloczyn skalarny – wewnętrzny
u, v ∈ C2 z bazą | ii :
u=
X
i
v=
ui | ii ,
X
vi | ii
i
h u || vi =
X
u∗i vi
i
Algebra
20 / 50
Inne pojęcia
Norma: |u| =
p
h u || ui
Wektor jednostkowy: |u| = 1.
Ortogonalność: h u || vi = 0.
Przestrzeń Hilberta = przestrzeń z iloczynem skalarnym.
^ Jeśli u jest jednostkowy to P^ = | vi h v | jest operatorem
Operator rzutowy: P^ 2 = P;
rzutowania.
Każdy operator liniowy można zapisać w postaci:
X
A^ =
Aij | ii h j | .
i
Algebra
21 / 50
Operatory unitarne, Hermitowskie, itp.
^
Operator sprzężony A^† z operatorem A:
^ = h A^+ u || vi .
h u || Avi
Reprezentacja macierzowa: A† = (A∗ )T .
Przykład.
1
1
1+i
1−i
†
=
1
1−i
1
1+i
.
^
Operator Hermitowski: A^† = A.
Algebra
22 / 50
Operatory unitarne
^
Operator liniowy unitarny: A^A^† = A^† A.
lub: A^† = A^−1 – odwrotny.
^ || vi = h Au
^ || vi .
Ważna własność: h Au
Przykład: Macierze Pauliego.
σ0 =
σy =
Algebra
1
0
0
1
0
i
−i
0
,
σx =
0
1
,
σz =
−1
0
1
0
0
−1
,
.
23 / 50
Iloczyn tensorowy
u ∈ U, v ∈ V, gdzie U, V – przestrzenie wektorowe.
| uvi ∈ U ⊗ V:
| (u + u 0 )vi = | vui + | vu 0 i
| u(v + v 0 )i = | uvi + | uv 0 i
a| uvi = | (au)vi = | u(av)i
Dla operatorów liniowych A^ : U → U i B^ : V → V definiujemy operator
A^ ⊗ B^ : U ⊗ V → U ⊗ V:
^ uvi = | Au, Bvi .
A^ ⊗ B|
Algebra
24 / 50
Iloczyn tensorowy
^
Macierz operatora A^ ⊗ B:

A11 B
 A21 B


An1 B
A12 B
A22 B
...
An2 B
...
...
...

A1m
A2m 


Anm
Przykład.

σx ⊗ σy =
Algebra
0
1
−1
0
⊗
0
i
−i
0
0
 0

=
0
i
0
0
−i
0
0
−i
0
0

i
0 
.
0 
0
25 / 50
Mechanika kwantowa
1
Fizyczny stan układu ↔ stan w przestrzeni Hilberta
2
Ewolucja układu
ih̄
∂| ψi
^ ψi
= H|
∂t
lub
| ψ(t)i = U(t)| ψ(0)i ,
^
U(t) = e−iHt/h̄
U(t) – unitarny operator ewolucji kwantowej układu w czasie; zależy od hermitowskiego
^
Hamiltonianu H
3
Postulat pomiaru: Pomiar wtrąca układ w stan zmierzony. Prawdopodobieństwo
^
pomiaru po obserwabli O:
X
^ † O|
^ ψi ,
po = h ψ |O
po = 1 .
P jest operacją nieunitarną. Pomiar prawdopodobieństwa znalezienia układu w stanach
obliczeniowych | ii realizowany jest przez operacje rzutowe P^i .
Mechanika kwantowa w pigułce
26 / 50
Mechanika kwantowa
Pomiar prawdopodobieństwa znalezienia układu w stanach obliczeniowych | ii , w przypadku
jednego qubitu, realizowany jest przez operacje rzutowe P^i = | ii h i |, i = 0, 1.
p0 = (α∗ h 0 | + β∗ | 1i )P0† P0 (α| 0i + α| 1i ) = |α|2
p1 = (α∗ h 0 | + β∗ | 1i )P1† P1 (α| 0i + α| 1i ) = |β|2
Mechanika kwantowa w pigułce
27 / 50
Modele obliczeń
Schemat obliczeń kwantowych:
^=O
^1 O
^2 . . . O
^n
O
^ k jest operacją na układzie qubitów.
gdzie O
^ są unitarne.
Obliczenia O
Pomiarów wielkości obliczonych dokonuje sie po obliczeniach unitarnych.
^i !
Założenie: Fizycy realizują operacje O
Model obliczeń kwantowych
28 / 50
Dekoherencja
Wrogiem obliczeń kwantowych jest
DEKOHERENCJA
czyli rozpad stanów splątanych powodowany oddziaływaniem z otoczeniem, które jest tym
większe im większy jest komputer – większa jest liczba qubitów.
Czasy rozpadu, w zależności od realizacji układu fizycznego (komputera) są zazwyczaj
bardzo krótkie. Ilość operacji, które w tym czasie można wykonać zależy od średniego czasu
przeprowadzania jednej operacji. Obecnie, szacuje się, że liczba operacji na sekundę (flopy)
wynosić może nawet do 1013 w przypadku komputera NMR.
Komputery, które zrealizowano (małe) pracują z szybkością tysięcy operacji na sekundę.
Model obliczeń kwantowych
29 / 50
Bramki klasyczne
Komputer klasyczny zbudowany jest z bramek logicznych, przetwarzających bity.
Np. bramki AND; x AND y = x ∧ y = xy oraz NOT:
| xi
| yi
| xi
Bramki logiczne
| xyi
AND
NOT
| 1 ⊕ xi
30 / 50
Bramki kwantowe
| xi
Bramki kwantowe maję taką samą liczbę wejść
i wyjść – unitarność ewolucji – odwracalność
obliczeń.
| yi
Przykład. cNOT (2 qubity).
| yi
| xi

1
 0

 0
0
Bramki logiczne
0
1
0
0
0
0
0
1
•
•
| xi
| x ⊕ yi

0
0 

1 
0



a1
a1
 a2 


 −→  a2
 a3 
 a4
a4
a3




31 / 50
Bramki kwantowe
PODSTAWOWE (1 qubit)
Hadamarda
H
Pauliego-σx
X
Pauliego-σy
Y
Pauliego-σz
Z
Fazowa
S
π/8
T
1
−1
0 1
1 0
0 −i
0
i
1 0
0 1
1 0
0 i
1
0
0 eiπ/4
√
1/ 2
1
1
Więcej qubitów – iloczyny tensorowe.
Bramki logiczne
32 / 50
Elementy obwodów kwantowych – słowniczek
Symbol
Znaczenie
drut kwantowy, qubit
•
symbol qubitu kontrolnego
B
bramka kwantowa B
bit klasyczny
Pomiar na qubicie
unitarne obliczenia funkcji f, 3 qubity
Uf
Bramki logiczne
33 / 50
Bramki kwantowe
Przykład. Uogólnienie cNOT: cU. Kontrolowane U.
I 0
1
cU =
,
I=
0 U
0
0
1
.
Jeśli x = 0 to y się nie zmienia; jeśli x = 1, cU modyfikuje y: | yi → | Uyi .
•
•
•
=
U
Bramki logiczne
A
B
C
34 / 50
Bramki kwantowe
Przykład. Bramka Toffoliego
U=
√
1
1+i
=
•
•
U2
U
U†
Bramki logiczne
1
i
•
•
•
σx =
i
1
•
•
U
35 / 50
Algorytm Deutscha
Rozpatrzmy operację odwracalną (2 qubity):
Uf (x, y) = (x, x ⊕ f(y)) .
Jest to operacja obliczania funkcji f(x). Dla y = 0
U
f
(x, 0) −→
(x, f(x)) .
Uf jest unitarna. (Sprawdzić U2f = 1)
Działanie H (operacja Hadamarda) na pierwszy qubit (x) i kolejne działanie Uf daje:
√
| ψi = Uf | H0 ⊗ 0i = Uf 1/
2(| 0
√
2(| 0
⊗ 0i + | 1 ⊗ 0i ) = 1/
⊗ f(0)i + | 1 ⊗ f(1)i ) .
Wyliczone zostały jednocześnie f(0) i f(1)!
Algorytmy
Algorytm Deutscha
36 / 50
Algorytm Deutscha
U
f
(x, y) −→
(x, y ⊕ f(x)) .
Unitarność Uf :
U
f
(x, y ⊗ f(x)) −→
(x, [y ⊕ f(x)] ⊕ f(x)) = (x, y)
x
y
x
Uf
y ⊕ f(x)
Jednoczesne obliczanie f(0) i f(1).
Algorytmy
Algorytm Deutscha
37 / 50
Algorytm Deutscha
Czy f jest funkcją stałą? (tzn. czy f(0) = f(1), czy też f(0) 6= f(1)?)
| 0i
H
H
x
Uf
| 1i
H
↑
↑
| ψi
| φi
1
X
| ψi = (H| 0i ) ⊗ (H| 1i ) = 1/2(| 0i + | 1i ) ⊗ (| 0i − | 1i ) = 1/2(
| xi ) ⊗ (| 0i − | 1i )
x=0
Po zastosowaniu Uf :
U
f
1. f(x) = 0: (| 0i − | 1i ) −→
+(| 0i − | 1i )
U
f
2. f(x) = 1: (| 0i − | 1i ) −→
−(| 0i − | 1i )
Czyli
U
f
(| 0i − | 1i ) −→
(−1)f(x) (| 0i − | 1i ) .
Algorytmy
Algorytm Deutscha
38 / 50
Algorytm Deutscha
Wiemy, że
| ψi = 1/2(
1
X
| xi ) ⊗ | 0i − | 1i ,
x=0
czyli
Uf | ψi = 1/2(
1
X
(−1)f(x) | xi ) ⊗ (| 0i − | 1i ) .
x=0
Wynik dla rejestru wejścia:
U
f
| xi −→
(−1)f(x) | xi .
Po obliczeniu stan qubitu jest więc
| φi = 1/2 (−1)f(0) | 0i + (−1)f(1) | 1i .
Algorytmy
Algorytm Deutscha
39 / 50
Algorytm Deutscha
Przed pomiarem zastosujemy do φ operację H (Hadamarda):
h
i
H| φi = 1/2 (−1)f(0) (| 0i + | 1i ) + (−1)f(1) (| 0i − | 1i )
i
i
h
h
= 1/2 (−1)f(0) +(−1)f(1) | 0i + 1/2 (−1)f(0) −(−1)f(1) | 1i .
Jeśli zmierzony qubit ma wartość zero to f(0) = f(1).
jeśli wartość zmierzona to jeden, wówczas f(0) 6= f(1).
Prowadzi do tego JEDNO obliczenie wszystkich wartości f jednocześnie.
Algorytmy
Algorytm Deutscha
40 / 50
Algorytm Grovera
Algorytm Grovera Dotyczy przeszukiwania. Dla N
√ elementów czas klasycznych
obliczeń T ∼ N/2. Czas algorytmu kwantowego: T ∼ N !
Algorytm szybkiej transformacji Fouriera Niech x ∈ N, x0 ≤ x ≤ 2n − 1 i niech | xi
bębzie wektorem w bazie obliczeniowej
| xi = | xn−1 · · · x1 x0 i ,
xi = 0 lub 1.
Transformata Fouriera jest zdefiniowana jako
h y |UFT | xi = (UFT )xy =
n
1
e2iπxy/2 .
2n/2
Algorytm FT dotyczy tej transformacji. Wykorzystywany jest w algorytmie Shora
faktoryzacji liczb.
Algorytm Shora Klasyczny algorytm Rivesta-Shamira-Adlemana (RSA) służy do
szyfrowania i deszyfrowania dokumentów. Polega na ... Algorytm Shora jest algorytmem
faktoryzacji liczb - rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Jeśli wypali ... nie ma RSA!
Algorytmy
Inne algorytmy
41 / 50
Informacja kwantowa
Teleportacja
Entropia (Shannon vs. von Neumann)
Kwantowa korekcja błędów
Kryptografia kwantowa
...
Informacja kwantowa
42 / 50
Stany Bella
| q1 i ⊗ | q2 i
| xi
We
| 00i
| 01i
| 10i
| 11i
Wy
(| 00i
(| 01i
(| 00i
(| 01i
Informacja kwantowa
√
+ | 11i )/√2
+ | 10i )/√2
− | 11i )/√2
− | 10i )/ 2
| β00 i
| β01 i
| β10 i
| β11 i
| yi
H
•
| βxy i
Obwód realizujący splątane stany Bella.
Teleportacja
43 / 50
Teleportacja
Załóżmy, że Alicja chce przesłać Bolkowi informację o spinie stanu | φi A cząstki A.
| φi A = λ| 0A i + µ| 1A i ,
który nie jest a priori znany, bez przesłanie samej cząstki. Nie może zmierzyć spinu bo nie
zna bazy, w której przygotowano stan i pomiar wtrąciłby cząstkę w inny stan.
Transfer informacji polega na użyciu dodatkowej pary cząstek B i C, w stanie splątanym,
z których jedną posiada Alicja, a drugą Bolek. Cząstki te są np. w stanie Bella
1
| ψAB i √ (| 0B 0C i + | 1B 1C i ) .
2
Początkowy stan wszystkich cząstek
λ
µ
| φABC i = | φA i ⊗ | ψBC i = √ | 0A i (| 0B 0C i + | 1B 1C i ) + √ | 1A i (| 0B 0C i + | 1B 1C i ) .
2
2
Informacja kwantowa
Teleportacja
44 / 50
Teleportacja
(z przeniesienia)
λ
µ
| φABC i == √ | 0A i (| 0B 0C i + | 1B 1C i ) + √ | 1A i (| 0B 0C i + | 1B 1C i ) .
2
2
Alicja stosuje operację cNOT do qubitów A i B, otrzymując
λ
µ
0
| φABC
i == √ | 0A i (| 0B 0C i + | 1B 1C i ) + √ | 1A i (| 1B 0C i + | 0B 1C i )
2
2
i następnie H. Wynik końcowy:
00
| φABC
i
Informacja kwantowa
=
1
| 0A 0B i (λ| 0C i + µ| 1C i )
2
1
+ | 0A 1B i (µ| 0C i + λ| 1C i )
2
1
+ | 1A 0B i (λ| 0C i − µ| 1C i )
2
1
+ | 1A 1B i (−µ| 0C i + λ| 1C i ) .
2
Teleportacja
45 / 50
Teleportacja
(z przeniesienia)
00
| φABC
i
=
1
| 0A 0B i (λ| 0C i + µ| 1C i )
2
1
+ | 0A 1B i (µ| 0C i + λ| 1C i )
2
1
+ | 1A 0B i (λ| 0C i − µ| 1C i )
2
1
+ | 1A 1B i (−µ| 0C i + λ| 1C i ) .
2
Alicja mierzy następnie pierwsze dwa qubity w bazie {| 0i , | 1i }. Wysyła do Bolka (kanałem
klasycznym) informacje o tym co ma zrobić:
00: OK!
01: (XC) – rotacja qubitu C o π wokół Ox.
10: (ZC) – rotacja o π wokół Oz.
11: (YC) – rotacja o π wokół Oy.
Informacja kwantowa
Teleportacja
46 / 50
Teleportacja, uwagi
Współczynniki λ i µ nie są nigdy mierzone i stan | φA i jest niszczony przy pomiarze.
Nie ma więc sprzeczności z twierdzeniem o nieklonowaniu.
Bolek dowiaduje się o stanie cząstki C po tym jak Alicja prześle mu (klasycznie)
informacje o pomiarach. Szybkość transmisji nie przekracza więc prędkości sygnałów
świetlnych.
Teleportacja nigdy nie dotyczy transportu materii.
Informacja kwantowa
Teleportacja
47 / 50
Podsumowanie
Dowiedzieliśmy się kilku podstawowych rzeczy o obliczeniach kwantowych.
Informacja kwantowa
Teleportacja
48 / 50
Literatura
Penrose, R. (2006) Droga do rzeczywistości. Prószyński i S-ka.
Milburn, G.J. (2000) Procesor Feynmana. CiS, Warszawa.
Deutsch, D. (1997) The fabric of reality. Penguin Books Ltd.
Le Bellac, M. (2006) Quantum information and quantum computation. Cambridge Uni.
Press. JEST WYDANIE POLSKIE.
Nielsen, M.A. and Chuang, I.L. (2010). Quantum Computation and Quantum
Information. 2nd ed. Cambridge University Press.
Mermin, N.D. (2007). Quantum Computer Science. CUP.
Kitaev, A.Y., Shen, A.H. and Vyalyi, M.N. (2002). Classical and Quantum
Computation. AMS.
Preskill: http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/#lecture
Literatura
49 / 50
Literatura
Literatura
50 / 50