Pewnie każdy z nas nie raz miał okazję przyglądać się falom na

Pewnie każdy z nas nie raz miał okazję przyglądać się falom na powierzchni wody. Jak
wspominaliśmy na początku rozważań o falach, fale na powierzchni wody nie są falami ani
podłużnymi ani poprzecznymi. Cząsteczki wody mogą wykonywać dość skomplikowany ruch. Funkcja
falowa opisująca te fale nie spełnia klasycznego równania falowego. Prędkość rozchodzenia się fal na
wodzie zależy od długości fal. To są zasadnicze różnice w porównaniu do fal na strunie czy fal
dźwiękowych. W niniejszych rozważaniach ograniczymy się do najprostszego opisu pomijając
niektóre własności wody, np. nie będziemy uwzględniać lepkości, która jest przyczyną powstawania
wirów. Zainteresowanych bardziej zaawansowanym opisem fal na wodzie (w cieczach) odsyłamy do
literatury specjalistycznej.
W naszym najprostszym opisie przyjmijmy następujące założenia (patrz rysunek Figure 1):
1. Woda znajduje się w długim kanale o prostokątnym przekroju i głębokości h.
2. Ruch fali wzdłuż współrzędnych z i y jest niezależny od współrzędnej x.
3. Woda jest nieściśliwa (w fali 1 m wzrost gęstości o około 0.05%).
Zbiornik wody o
głębokości h.
Przyjmujemy, że wychylenie cząsteczek z położenia równowagi opisane jest funkcjami:
Zakładamy również następujące warunki brzegowe:
a. Na powierzchni wody
.
b. Na dnie nie ma ruchu pionowego cząsteczek wody:
Przyjęte założenia prowadzą do następujących wyrażeń:
W rozpatrywanym prostym modelu cząsteczki wody poruszają się po elipsach:
.
Na rysunku Figure 2. pokazano jak zmienia się stosunek
ze zmianą głębokości.
Stosunek amplitud
w funkcji głębokości.
Widzimy, ze im głębiej, tym oś pozioma dłuższa, czyli elipsa bardziej płaska, aż do prostej na dnie.
Pozioma oś też ulega skróceniu, ale wolniej niż pionowa. Ruch cząsteczek wody jest zgodny z ruchem
wskazówek zegara dla fali biegnącej w prawo. Cząsteczka wody na grzbiecie fali porusza się tylko do
przodu, w dolinie — tylko do tyłu (patrz rysunek Figure 3).
Ruch cząsteczek wody.
Gdy rozpatrujemy ruch cząsteczek na głębokiej wodzie, tzn. gdy spełnione są warunki:
, to funkcje falowe mają postać:
Na głębokiej wodzie orbity po których poruszają się cząsteczki wody są okręgami, których promień
maleje wykładniczo z głębokością i na głębokości większej niż
ruch praktycznie zanika (patrz
rysunek Figure 4). Z tego powodu np. pływaki platform wiertniczych są zanurzone głęboko, a więc
tam gdzie ruch falowy jest niewielki.
Ruch cząsteczek wody na
głębokiej wodzie.
Z kolei na płytkiej wodzie, a wiec gdy spełniony jest warunek: funkcje falowe przyjmują postać:
W tym przypadku amplituda pozioma praktycznie nie zależy od głębokości i jest bardzo duża, fala
jest głównie podłużna. Natomiast amplituda pionowa maleje prawie liniowo z głębokością (do zera
na dnie). Woda przelewa się „tam i z powrotem”.
Dla fal na strunie oraz fal dźwiękowych związek łączący częstość kołową i wartość wektora falowego
jest bardzo prosty:
, gdzie prędkość fali jest stała
i nie zależy od długości fali. Dla
fal na wodzie związek ten jest bardziej skomplikowany. Wyprowadza się go korzystając z prawa
Bernouliego. Całkowita energia na jednostkę masy W wynosi:
,
gdzie: p — ciśnienie, — gęstość, v — prędkość płynu, V — energia potencjalna na jednostkę masy.
Energia
(g — przyśpieszenie ziemskie, — funkcja falowa), natomiast ciśnienie:
20°C), a
, gdzie: — napięcie powierzchniowe (
— ciśnienie atmosferyczne.
dla granicy woda/powietrze w
Związek dyspersyjny dla fal na wodzie jest następujący:
często podaje się przybliżony wzór na prędkość fazową fal na wodzie:
. W oparciu o ten związek
.
W zależności dyspersyjnej są dwa składniki: grawitacyjny (opadanie wody) i kapilarny („prostowanie”
powierzchni wywołane siłą napięcia powierzchniowego). Powyższa zależność jest pokazana na
rysunku Figure 5.
Prędkość fazowa fal na
wodzie.
Zwróćmy uwagę, że dla fal krótkich prędkość fali maleje wraz z długością fali. Ten zakres fal
nazywamy zakresem dyspersji anomalnej. Dla fal krótkich decydującym czynnikiem są siły napięcia
powierzchniowego, natomiast dla fal długich decydujące znaczenie ma czynnik grawitacyjny.
Równość obu wkładów (grawitacyjnego i kapilarnego) daje graniczną długość fali: dla wody
w 20°C. Dla fal dużo krótszych (powierzchnia mocniej pozakrzywiana) decyduje
napięcie powierzchniowe, wkład grawitacyjny można zaniedbać. W takim przypadku mówimy o
falach kapilarnych („zmarszczkach na wodzie”). Na płytkiej wodzie dla fal kapilarnych związek
dyspersyjny przyjmuje postać:
prędkość fali wynosi:
najszybciej.
, a prędkość fali:
. Dla fal kapilarnych najkrótsze fale poruszają się
Z kolei na głębokiej wodzie związek dyspersyjny jest następujący:
prędkość fal kapilarnych jest stała:
. Na przykład dla
, co oznacza, ze
.
Dla fal spełniających warunek
można zaniedbać wpływ napięcia powierzchniowego i
wówczas mówimy o falach grawitacyjnych. W przypadku tego rodzaju fal na głębokiej wodzie
związek dyspersyjny jest następujący:
, a stąd prędkość fazowa fali
.
Widzimy, że dłuższe fale grawitacyjne poruszają się szybciej niż krótsze, a więc jeśli fale są
wywołane daleko to pierwsze dotrą do brzegu fale najdłuższe. Dla płytkiej wody:
takim przypadku oczywiście prędkość fazowa jest stała
wynosi:
iw
i np. dla zbiornika o głębokości
.
Czasami gdy źródłem fal są trzęsienia Ziemi na dnie oceanu lub meteoryty, powstają fale o bardzo
dużej długości λ — nawet do 500 km (zwykłe fale na Oceanie około 100 m) i osiągają prędkości
nawet do 900 km/h. Fale te nazywamy tsunami. Są one dużym zagrożeniem dla osiedli ludzkich
znajdujących się na brzegu do którego dociera tsunami.
Pewnie wielokrotnie mieliśmy okazję obserwować fale docierające do brzegu morza. Jeśli fale są
duże ulegają załamaniu tak jak na poniższym zdjęciu:
Załamywanie się fal.
W dużym uproszczeniu w ramach rozpatrywanego przez nas wyżej modelu dla płytkiej wody funkcję
falowa możemy przedstawić w postaci:
kierunku rozchodzenia się fali):
korzystając ze związku dyspersyjnego dla tego przypadku (
, oraz jej prędkość (w
. Łącząc oba wyrażenia oraz
otrzymujemy:
Widzimy więc, że prędkość cząsteczek wody wzdłuż osi z zależy od ich wychylenia położenia
równowagi. Cząsteczki znajdujące się na szczycie fali są bardziej wychylone niż cząsteczki
znajdujące się poniżej (mają większą wartość funkcji falowej
) a więc mają też większą prędkość.
Dlatego wyprzedzają cząsteczki znajdujące się niżej i fale załamuje się.
Na koniec rozważań do tyczących fal na wodzie należy zwrócić uwagę na bardzo ważny fakt, że
prędkość fali zależy od jej długości. Dlatego miedzy innymi używaliśmy nazwy prędkość fazowa fali.
Do tego zagadnienia wrócimy szerzej w następnym rozdziale.